ИДЗ Аналитическая геометрия

Вариант № 1

1. Даны четыре точки А1(3, 1, 4), А2(-1, 6, 1), А3(-1, 1, 6), А4(0, 4, -1). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2.		Составить уравнение плоскости,						проходящей через точку А(1, 1, 3),			параллельно
плоскости 2x 3y z 5 0.
							x 2z 1,
3.		Найти угол между прямой y 2z 1 и							плоскостью,	проходящей	через точку
М0(2, 3,1)					и прямую x t,y 1 t,z t.
4.		Найти			точку симметричную			точке	A(4,3,10)	относительно прямой
	x 1			y 2		z 3	.
		2
			4		5
5.		Найти расстояние от центра поверхности							x2 y2 z2 2x 4y 1 0 до плоскости,
проходящей через ось Oy и точку A(1,2, 1). Выполнить построение.
Вариант № 2
1.		Даны четыре точки А1(3, -1, 2), А2(-1, 0, 1), А3(1, 7, 3), А4(8, 5, 8). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2. Составить уравнение плоскости,	проходящей через точку A( 1, 1,2), перпендику-
лярно к плоскостям x 2y z 4 0	и x 2y 2z 4 0.

	x y z 4 0,		x y z 4 0,
3. Найти угол между прямыми		и
	2x y 2z 5 0		2x 3y z 6 0.

4.	Через точку P(1,0,7) параллельно плоскости																		3x y 2z 15 0 провести прямую
так, чтобы она пересекала прямую						x 1					y 3					z		.
					4			2						1
5.	Найти расстояние от центра поверхности													x2 4y2							4z2 4x 8y 0 до плоскости,
проходящей через прямые		x 1		y 1						z 2		и			x					y 1			z 1	.
														1
	1				2			3												2	3

Вариант № 3

1. Даны четыре точки А1(3, 5, 4), А2(5, 8, 3), А3(1, 2, -2), А4(-1, 0, 2). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

	2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1( 1, 2,0) и M2(1,1,2),
	перпендикулярно к плоскости x 2y 2z 4 0.
			x		y		z	x z 1,
	3.	Найти кратчайшее расстояние между прямыми						и
			2		3		1
								y 1 z.

4. Можно ли через прямую	x 7		y 5		z 1	провести плоскость параллельно плос-
	4
		3		6

кости 2x y 7z 1 0? (Ответ обосновать).

5. Найти расстояние от центра поверхности 3z2 4x2 12y2 6z 16x 25 0 до плос-

кости, проходящей через точку M0(3, 4,2) и параллельно вектору a (1, 3,2) и

оси Oz.

Вариант № 4

1. Даны четыре точки А1(2, 4, 3), А2(1, 1, 5), А3(4, 9, 3), А4(3, 6, 7). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1( 1, 2,0), M2(1,1, 2)и

M3(1,1, 4). Вычислить расстояние от точки P( 2,3,4) до плоскости.

3. Найти проекцию точки пересечения плоскостей x 2y z 3 0, 2x y z 1 0,

x 3y 2z 4 0 на плоскость,					отсекающую на осях координат отрезки a 1 (на Ox),
b 2 (на Oy), c 2 (на Oz).
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую							3x y 2z 5 0,		па-
								x z 3 0
раллельно прямой	x 1		y 1		z 2	.
					1
0			2

5. Через вершину поверхности 9z2 4y2 36z 8y 36x 40 0 параллельно векторам

a1 (1,3, 2) и a2 (2,5,3) составить уравнение плоскости. Выполнить построение.

Вариант № 5

1. Даны четыре точки А1(9, 5, 5), А2(-3, 7, 1), А3(5, 7, 8), А4(6, 9, 2). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Через ось Oz перпендикулярно к плоскости x 2y 3z 5 0 провести плоскость.

								x y 3z 0,
3.	Найти угол между прямой x y z 0									и плоскостью, проходящей через точку
P( 1, 2,0)				и прямую x t, y 1 t, z t.
4.	Вычислить расстояние от точки A(3, 4, 2) до плоскости, проходящей через пря-
мые		x 5			y 6		z 3	и x 13t 2, y t 3, z 4t 3.
	13			1			4
5.	Через центр поверхности 9x2 36y2 4z2								18x 144y 8z 149 0 и точку M0(1,5,4)
провести прямую. Составить уравнения этой прямой. Выполнить построение.
Вариант № 6
1.	Даны четыре точки А1(0, 7, 1), А2(2, -1, 5), А3(1, 6, 3), А4(3, -9, 8). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2.

Найти

расстояние

от точки

A(4,3,0)до плоскости, проходящей

через точки

M1(1,3,0), M2(4, 1,2)

и M3(3,0,1).

3.

Найти угол между прямой x t 2, y t 1, z t 3. и прямой, проходящей через

точку M0(1, 1, 3) параллельно плоскости

3x y 2z 10 0 и пересекающей прямую

x

y 8

z 4

.

1

2

1

4.

Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из точки

A( 3,2,5) на

плоскости 4x y 3z 13 0 и x 2y z 11 0.

5.

Найти проекцию

центра поверхности

9x2 4y2 36z2 16y 72z 16 0 на плос-

кость, проходящую через точку

A(3, 1,0)

перпендикулярно вектору a (1,2, 3). Вы-

полнить построение.

Вариант № 7

1. Даны четыре точки А1(5, 5, 4), А2(1, -1, 4), А3(3, 5, 1), А4(5, 8, -1). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2.

Найти расстояние между плоскостями 4x 3y 5z 8 0

и 4x 3y 5z 12 0.

3.

Найти

точку,

симметричную

точке

A(3, 1,4)относительно

прямой

x 4y 4z 12 0,

2x y 2z 3 0.

4.

Проверить, что прямые

x 3

y 1

z 2

и

x 8

y 1

z 6

пересекаются, и со-

5

4

3

2

2

1

ставить уравнение плоскости, проходящей через них.

5.

Найти

угол

между

прямой,

проходящей через

центр поверхности

x2 y2 z2

2x 4y 6z 10 0

и точку

A( 1, 2,0),

и плоскостью 2x y 2z 10 0.

Выполнить построение.

Вариант № 8

1. Даны четыре точки А1(6, 1, 1), А2(4, 6, 6), А3(4, 2, 0), А4(1, 2, 6). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Через точку M( 5,16,12) проведены плоскости: одна из них содержит ось Ox, дру-

			2x y 5z 3 0,
гая перпендикулярна прямой			x 3y z 7 0. Составить уравнения этих плоскостей
и вычислить угол между ними.
3.	Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(2, 3,4) на ось Oy.
4.	Найти проекцию прямой	x		y 4		z 1	на плоскость x y 3z 8 0.
	4		3			2
5.	Через центр поверхности		x2 4y2 z2 4x 8y 6z 13 0 провести прямую парал-

x 2y z 10 0,

лельно прямой 2x 4y 3z 5 0. Выполнить построение.

Вариант № 9

1. Даны четыре точки А1(7, 5, 3), А2(9, 4, 4), А3(4, 5, 7), А4(7, 9, 6). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Через точку P(7, 5,1) провести плоскость, которая отсекает на осях координат рав-

ные, положительные отрезки.

2x y 7 0,			3x 2y 8 0,
3. Найти угол между прямыми		и
	2x z 5 0			z 3x 0.

4.	Найти кратчайшее расстояние между прямыми x 2y z и			x y 2.
5.	Составить	уравнение плоскости,	проходящей через	центр поверхности
			x 3 t,
x2 9y2 9z2		2x 36z 31 0 и прямую y 1 3t, Выполнить построение.
			z 4t.

Вариант № 10

1. Даны четыре точки А1(6, 8, 2), А2(5, 4, 7), А3(2, 4, 7), А4(7, 3, 7). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Найти угол между плоскостью x y 2 z 5 0 и плоскостью Oyz.

3.		Найти расстояние от точки M(3,0,4) до прямой						y 2x 1,
								z 2x.
4.		Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(1,0,1) на прямую
	x 1			y 1		z	.
		1
			2			3

5. Через вершину поверхности 4x2 5y2 24x 20y 20z 96 0 провести плоскость параллельно плоскости 2x 3y z 10 0. Составить уравнение этой плоскости. Вы-

полнить построение.

Вариант № 11

1. Даны четыре точки А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 1), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, зная, что точка P(3, 6,2) служит основанием пер-

пендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

	x 1			y 1		z 3
3. Найти расстояние между прямыми							и	4x y z 3 0,	убедив-
	1
			2		2			2x z 4 0,

шись, что они параллельны.

x 3

y 1

z 1

x 3z 4 0,

4. Показать, что прямые

и

пересекаются. Найти точку

y z 2 0

1

2

1

их пересечения и угол между ними.

5. Через центр поверхности 9x2 9y2 z2 18x 18y 4z 4 0 и точку A( 1, 2,3) про-

вести прямую. Составить уравнение этой прямой. Выполнить построение.

Вариант № 12

1. Даны четыре точки А1(4, 4, 10), А2(7, 10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 6, 9). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые		x 2		y 3			z 5	и
		1
x t 2, y 1 t, z 4 2t. Найти угол между прямой				1	2
	2y z 2 0,				и этой плос-

2x 3z 6 0

костью.

3.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M(2,3,1) перпендикулярно прямой x 2t 1, y t, z 2 3t и пересекающей эту прямую. Найти расстояние от точки P(1,1,1) до этой прямой.

4.	Найти проекцию точки P(1,2,8) на прямую		x 1			y		z.
						1
		2
5.	Составить	уравнение плоскости, проходящей						через центр поверхности
6x2 y2 2z2		36x 2y 49 0 и точки B (3,4,2),		B (2,1, 1). Выполнить построение.
		1		2

Вариант № 13

1. Даны четыре точки А1(4, 6, 5), А2(6, 9, 4), А3(2, 10, 10), А4(7, 5, 9). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A( 2,7,3) параллельно плоскости x 4y 5z 1 0.Найти угол между этой плоскостью и плоскостью Oyz.

		3x y 2z 5 0,		x 1 t,
3.
	Найти расстояние между прямыми		x z 3 0	и y 2 t,
				z 5 t.
4.	Найти проекцию точки P(3,1, 1) на плоскость 3x y z 20 0.
5.	Составить	уравнение плоскости,	проходящей	через центр поверхности
				x 1 2t,
x2 2y2 4z2		4y 16z 18 0 перпендикулярно прямой y 3 t,
				z 2 4t.

Выполнить построение.

Вариант № 14

1. Даны четыре точки А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5, 10, 4), А4(4, 7, 8). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярно к двум плоскостям 2x y 5z 3 0 и x 3y z 7 0.

3. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(2, 1,3) на ось Ox.

x 5t,

Найти расстояние между полученной прямой и прямой y t 2,

z 3t 4.

4.Найти точку, симметричную точке P(3, 4, 6) относительно плоскости, проходящей через точки A1( 6,1, 5), A2(7, 2, 1), A3(10, 7,1).

5.Через вершину поверхности 4x2 3z2 24x 12y 12 0 провести прямую перпен-

дикулярно плоскости 2x y 3z 4 0. Составить уравнения этой прямой. Выполнить

построение.

Вариант № 15

1. Даны четыре точки А1(10, 9, 6), А2(2, 8, 2), А3(9, 8, 9), А4(7, 10, 3). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки									A(0,0,1) и B(3,0,0) и об-
разующей угол /3 с плоскостью Oxy.
3.	Составить уравнения прямой,			проходящей					через точки	пересечения плоскости
2x 3y 3z 1 0 с прямыми		x 3			y 5		z 1		и x 2t 5, y 4t 3, z 6t 4.
					5
	1					2				5x y 2z 3 0,
4.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 13x 2y 5z 7 0

перпендикулярно плоскости 2x 3y z 11 0. Найти расстояние от точки M(1,2,1) до полученной плоскости.

5. Через центр поверхности 4x2 5y2 20z2 16x 30y 29 0 и параллельно векторам a1 (1, 2,0) и a2 (3, 4,1) провести плоскость и составить ее уравнение. Выполнить построение.

Вариант № 16

1. Даны четыре точки А1(1, 8, 2), А2(5, 2, 6), А3(5, 7, 4), А4(4, 10, 9). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Найти расстояние от точки A(1,2,0) до плоскости, проходящей через ось Oy и точ-

ку B(1,3,2).

					3x y 2z 5 0,
3.	Составить уравнение плоскости,	проходящей через прямую				x z 3 0	и
точку M0(4, 2, 3). Найти угол между этой плоскостью и плоскостью 4x 5y z 2.
4.	Найти точку, симметричную	точке	P(4,3,10)	относительно прямой

x 2t 13, y 4t 2, z 5t 3.

5. Через центр поверхности 9x2 36y2 4z2 36x 8z 4 0 провести прямую, парал-

2x y z 0,

лельную прямой x 3y z 4 0. Составить уравнения этой прямой.

Выполнить построение.

Вариант № 17

1. Даны четыре точки А1(6, 6, 5), А2 (4, 9, 5), А3 (4, 6, 11), А4 (6, 9, 3). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2.	Определить	взаимное	расположение	прямых	2x 2y z 10 0,	и
					x y z 22 0
x 3t 7, y t 5, z 4t 9. Вычислить кратчайшее расстояние между ними.
3.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку				A(2, 3,4), образующей с
осями координат Ох и Оу углы, равные 30 ,60				соответственно, а с осью Oz тупой
угол.
4.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A1(1,2,3)и A2(4,3, 2),
перпендикулярно плоскости			x 2y 2z 10 0.	Вычислить угол между полученной
плоскостью и прямой x 2t 5, y t 4, z 2t 3.
5.	Найти расстояние от центра поверхности x2 y2 z2 2y 8z 24 0 до плоскости,
проходящей через точки A1(1,4,3), A2(3,4,1), A3(2,1, 3). Выполнить построение.

Вариант № 18

1. Даны четыре точки А1(7, 2, 2), А2 (-5, 7, -7), А3(5, -3, 1), А4 (2, 3, 7). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Через точку A(1,4, 3) провести плоскость, которая отсекает на осях координат рав-

ные отрицательные отрезки.

3x 4y 2z 5 0,

4x y 6z 2 0,

3. Проверить, являются ли прямые 2x y 2z 1 0

и

y 3z 2 0

перпенди-

кулярными.

x

y

1

z

2

x y z 3 0,

4. Найти кратчайшее расстояние между прямыми

и

3

1

2

2x y 3z 1 0.

5. Составить

уравнение плоскости, проходящей

через

центр

поверхности

7x2 2y2 14z2

14x 12y 3 0 перпендикулярно прямой

3x y z 5 0,

Выпол-

2x 3y z 10 0.

нить построение.

Вариант № 19

1. Даны четыре точки А1(8, -6, 4), А2 (10, 5, -5), А3 (5, 6, -8), А4 (8, 10, 7). Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходя-

щей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящую через точку А(1,3, 4) параллельно плоскости Oyz.

2x y z 4 0,

3.

y 3z 2 0.

Найти расстояние от точки A(3,3,1) до прямой

4.

Составить уравнение плоскости, проходящей через

прямые

x 2

y 3

z 5

и

1

1

2

x

t 2,y t 1,z 2t 4. Найти угол между прямой

2y z 2 0,

и этой плоско-

2x 3z 6 0

стью.

5.

Найти проекцию центра поверхности x2 16y2

4z2

4x 8z 8 0

на

плоскость

x 2y z 15 0. Выполнить построение.

Вариант № 20

1. Даны четыре точки А1(1, -1, 3), А2 (6, 5, 8), А3 (3, 5, 8), А4 (8, 4, 1). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2.Найти угол между плоскостью 2x 3y z 6 0 и плоскостью Oxz.

3.Составить уравнения прямой, проходящей через точку A( 1,4,3) и составляющей

равные тупые углы с осями координат.

4. Найти расстояние от прямой x 2t, y 9t 7, z 2t 2. до прямой, проходящей че-

рез точку A(9, 2,0) параллельно плоскостям x y z 3 0 и 7x 5y 2z 1 0.

5. Составить	уравнение плоскости, проходящей через			центр поверхности
72x2 9y2 8z2	432x 18y 657 0 и прямую	2x 4y 3z 6,		Выполнить построе-
			2y z 2.

ние.