ИДЗ Аналитическая геометрия

Вариант № 21

1. Даны четыре точки А1(1, -2, 7), А2 (4, 2, 10), А3 (2, 3, 5), А4(5, 3, 7). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Найти расстояние между параллельными плоскостями x y 4z 8 0 и

x y 4z 5 0.

3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(2, 5,3) параллельно пря-

	2x y 3z 1 0,
мой		Вычислить угол между найденной прямой и плоскостью
	5x 4y z 7 0.

x y 5 0.

4.	Найти точку, симметричную точке A( 4, 1, 2) относительно прямой	x 1			y 1		z	.
	2			3		1
5.	Через вершину поверхности x2 3y2 6y 9z 3 0 провести плоскость перпенди-
кулярно прямой x 2t 1, y t 3, z t 1. Составить уравнение этой				плоскости.
Выполнить построение.
Вариант № 22
1.	Даны четыре точки А1(4, 2, 10), А2 (1, 2, 0), А3 (3, 5, 7), А4 (2, -3, 5). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2.	Найти угол между прямой x 2t, y 9t 7, z 2t 2 и прямой, проходящей через точ-
ку M0 9, 2,0 параллельно плоскостям x y z 3 0												и 7x 5y 2z 1 0.
3.	Найти проекцию прямой x 4t, y 3t 4, z 2t 1											на плоскость x y 3z 8 0.
4.	Вычислить расстояние от точки A(2,1,2) до плоскости, проходящей через две точки
A	(2,3,0), A (1,3, 1) и параллельно прямой							x 2			y 3			z 1	.
1	2				2						1	1
5.	Через центр поверхности 8x2 2y2 z2 32x 8y 32 0 провести плоскость, прохо-
дящую через прямую		x 1		y 2		z 3	. Составить уравнения прямой. Выполнить по-
	2		3		1

строение.

Вариант № 23

1. Даны четыре точки А1(2, 3, 5), А2 (5, 3, -7), А3 (1, 2, 7), А4 (4, 2, 0). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Найти точку Q, симметричную точке M0(2,0, 9)относительно прямой, проходящей через точки M1(1,1, 2) и M2(2,3, 3). Найти расстояние от точки Q до этой прямой.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1,2,1) и прямую

	x 2y z 0,
		Найти	угол	между этой	плоскостью	и	прямой
2x y 3z 5 0.
x 2t 2, y 2t 3, z 3t.
4. Показать, что прямые x 2t 3, y						пересекаются
				4t 2, z t 2 и z y 2x 1 0,
					3x y z 2 0

и найти точку их пересечения.
5. Доказать,	что	прямая,	проходящая	через	центр	поверхности
2x2 y2 6z2	4x 4y 36z 50 0		и точку A(1,3, 3), перпендикулярна плоскости

5x 2y 7z 10 0. Выполнить построение.

Вариант № 24

1. Даны четыре точки А1(5, 3, 7), А2 (-2, 3, 5), А3 (4, 2, 10), А4 (1, 2, 7). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox перпендикулярно плос-
кости 2x 3y 5z 10 0.
			2x y 3z 1 0,		3x y 3z 6 0,
3.	Проверить, являются ли прямые 3x 2y z 7 0				и 2x y 2z 10 0		параллель-
ными. Найти кратчайшее расстояние между ними.
4.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей		через	прямую
x	2t 3, y t 4, z 3t 7 параллельно прямой			x y 1 0,
				2y z 3 0.
5.	Проверить,	принадлежит ли	прямая, проходящая через			центр поверхности
x2 y2 z2 4x 10y 6z 29 0			и точку A(1,2,3) плоскости 2y z 7 0.				Выполнить
построение.

Вариант № 25

1. Даны четыре точки А1(4, 3, 5), А2 (1, 9, 7), А3 (0, 2, 0), А4 (5, 3, 10). Составить уравне-

ния: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоско-

сти А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей че-

рез точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A1(2,3, 2), A2(1, 3,4) и

			x y 2z 1 0,
A3(0, 2,1). Вычислить угол между полученной плоскостью и прямой				2y 3z 2 0.
	x 2y 3z 4 0,
3. Из точки пересечения прямой		с плоскостью		2x y z 3 0
	3x 2y 5z 4 0

восстановить перпендикуляр к данной плоскости.

4.	Вычислить расстояние от точки P( 5,0,2) до плоскости, проходящей через прямую
2x y z 0,
x 3y 2 0 параллельно прямой x 2t 1, y t 3, z 3t 1.
5.	Через центр поверхности	3x2 2y2 z2 6x 4y 5 0 провести плоскость, прохо-
дящую через точку A(1,1,4)		и параллельно вектору a (3, 1,2). Составить уравнение

этой плоскости. Выполнить построение.

Вариант № 26

1. Даны четыре точки А1(3, 2, 5), А2 (4, 0, 6), А3 (2, 6, 5), А4 (6, 4, -1). Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходя-

щей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку					A(2,3, 1)		и перпендику-
лярно плоскостям 2x 3y z 5 0 и x 2y z 10 0.
3.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(1,3, 5)						параллельно пря-
	2x y z 6 0,
мой x 4y z 7 0 . Найти расстояние между этими прямыми.
4.		x y 3z 0,		и плоскостью, проходящей через точку
	Найти угол между прямой x y z 0
A(2, 3,1)		и прямую x t, y 1 t, z t.
5.	Найти	угол между прямой,	проходящей		через	вершину		поверхности
3x2 4y2		12x 16y 12z 52 0 и	точку A(1,3,4),		и плоскостью		4x y 3z 15 0.

Выполнить построение.

Вариант № 27

1. Даны четыре точки А1(2, 1, 6), А2(1, 4, 9), А3(2, -5, 8), А4(5, 4, 2). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Найти точку, симметричную точке A(3, 1,4) относительно прямой, заданной общи-

ми уравнениями x 4y 4z 12 0, 2x y 2z 3 0.

3. Найти кратчайшее расстояние от прямой x 2t, y 9t 7, z 2t 2 до прямой, про-

ходящей через точку A(9, 2,0)		и параллельно плоскостям x y z 3 0,	7x 5y 2z 1.
4. Через точку P(2, 1,0) провести плоскость параллельно двум прямым			2x y z 4,
			x 3y 2z 1
и x t 1, y t 2, z 2t 5.
5. Составить	уравнение плоскости, проходящей через центр		поверхности
2x2 4y2 z2	12x 8y 22 0	и прямую 2x y z 1 0, . Выполнить построение.
		3x y 2z 3 0

Вариант № 28

1. Даны четыре точки А1(2, 1, 7), А2 (3, 3, 6), А3 (2, -3, 9), А4 (1, 2, 5). Составить урав-

нения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плос-

кости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей

через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(2, 3,4) и образующей с

осями координат Ох, Оу углы 600,1200 соответственно, а с осью Oz острый угол. Най-

ти расстояние от точки B(1, 2,3)

до полученной прямой.

3.

Найти угол между прямой

x y 3z 0,

и плоскостью, проходящей через точку

x y z 0

A(2, 3,1) и прямуюx t,y 2 t,z t 1.

4.

Показать, что прямые

x 2

y 1

z 1

и

2x y 2 0,

пересекаются и найти точ-

z x 4 0

4

2

6

ку их пересечения. Составить уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

5. Через центр поверхности x2 y2 z2 10x 2y 6z 34 0 провести плоскость пер-

x y 2z 15 0,

пендикулярно прямой 2x 3y z 3 0. Составить уравнение плоскости. Выполнить

построение.

Вариант № 29

1. Даны четыре точки А1(2, -1, 7), А2 (6, 3, 1), А3 (3, 2, 8), А4 (2, -3, 7). Составить

уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходя-

щей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,2,3) и перпендикуляр-

но к двум плоскостям x y 2z 5 0, 2x y 3z 10 0.

2x 3y 4z 1 0,

x y 1

z 3

3.

При каком m прямые

и

перпендикулярны?

3x y z 5 0

m

1

4

4.

Найти расстояние от точки P( 2,5,3)

до плоскости, проходящей через прямую

x

2t 4, y t 1, z 3t

2x y z 0,

и параллельно прямой

x z 4.

5.

Через центр поверхности x2 2y2 8z2 16y 48z 104 0 провести прямую перпен-

дикулярно плоскости x 2y 10 0. Составить уравнения прямой и найти угол между полученной прямой и плоскостью Oxz. Выполнить построение.

Вариант № 30

1. Даны четыре точки А1(0, 4, 5), А2(3, -2, 1), А3(4, 5, 6), А4 (3, 3, 2). Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходя-

	щей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
	2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки						A(0,1,0) и B(0,0,2) и об-
	разующей с плоскостью Oyz угол /4.
		5x y z 15 0		x 7		y 5		z 2
	3.	При каких aи b прямые	и						параллельны?
				a		b		11
		x 2y z 3 0
	4.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку P(1,2,0) перпендикулярно
	прямой, которая проходит через точки A1(3, 1,4),				A2(2,1,3). Найти угол между полу-
	ченной прямой и плоскостью x y z 3 0.
	5.	Найти расстояние от центра поверхности	4x2 5y2			20z2		8x 30y 29 0 до плос-

кости 4x 3z 15 0. Выполнить построение.