Математический анализ ИДЗ №1 Введение в анализ
.pdf
|
Вариант 28 |
|
|
I. |
Заштриховать ту |
II. |
Записать |
|
часть диаграммы на |
|
множество, |
|
рис. 55, которая |
|
изображенное с |
|
соответствует |
|
помощью кругов |
|
множеству |
|
Эйлера на рис. 56. |
|
(A B) (B \ C). |
|
|
|
Рис. 55 |
|
Рис. 56 |
III.Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что
(A \ B) \ C A \ (B C) .
IV. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
lim n2 3 .
n n 2
V.Исследовать на сходимость последовательность с общим членом
|
|
a |
|
cos1 |
|
cos 2 |
|
cos 3 |
|
cos n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
2 |
22 |
23 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
VI. Пользуясь определением предела функции, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) lim |
6x2 5x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
2x 1 |
|
3x 2 |
|
2 |
|
VII. Найти пределы, если они существуют. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
lim |
|
8sin(2n! |
|
n4 7) 3n2 4 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
16n4 9n3 8 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
18 sin(x2 |
8x 15) 3 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
x 2 sin |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x 3 |
|
|||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6 cos(7x 21) |
|
|
|||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
lim |
2x3 7x2 9 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
tg2 x tg3 3 |
; |
||||
|
x2 |
|
|
|
|||
|
x 3 |
|
9 |
|
|
||
|
lim |
|
7n 1 |
2n |
|
||
г) |
|
|
|
; |
|
||
7n 3 |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
е) lim sin4 2x .
x 0 x4 tg4 x
VIII. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:
|
x2 2x, |
|
3 x 1; |
|
|
|
||
а) |
|
x 2, |
1 x 3; |
б) f (x) sign(x |
2 |
4) . |
||
f x = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 7, |
x 3. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
I. |
Заштриховать ту |
II. |
Записать множество, |
|
часть диаграммы на |
|
изображенное с |
|
рис. 57, которая |
|
помощью кругов |
|
соответствует |
|
Эйлера на рис. 58. |
|
множеству |
|
|
|
(A C) (B C). |
|
|
|
Рис. 57 |
|
Рис. 58 |
III.Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что
(A \ B) ( A \ C) ( A \ B) \ C .
IV. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
lim |
n2 n 2 |
|
|
1 |
. |
|
3n2 n 1 |
3 |
|||||
n |
|
|
V.Исследовать на сходимость последовательность с общим членом
an |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
5 2 |
52 2 |
53 2 |
5n 2 |
VI. Пользуясь определением предела функции, доказать, что
а) lim |
x2 |
2x 3 |
; |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
3x 2 |
|
x 0 |
2x 1 |
|
2x 1 |
|
|
VII. Найти пределы, если они существуют.
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
en tg |
|
(5 sin n) |
||||||
|
|
|
|||||||
а) lim |
n5 |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
arctg(n2 |
|
||||||
n |
|
|
3) |
в) |
lim |
7x3 |
8x2 9x 6 |
; |
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
(x3 6x 1) sin 5x2 |
|
; |
|
|
|
4) tg12x arcsin(x2 |
|
||||
|
x 0 (x2 |
3x) |
б) lim |
1 cos8x |
; |
|
|
|
|
||||||||
x sin 4x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n3 |
2n2 3n 1 |
n2 2n 1 |
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
7n |
2 |
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 1 x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
VIII. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:
x 1 |
|
x 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
а) f x = |
|
|
x |
|
|
, |
1 x 2; |
б) f (x) |
|
|
|
|
. |
3 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
4, x 2. |
|
3x 2 |
|||||||
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 30 |
|
|
I. |
Заштриховать ту |
II. |
Записать множество, |
|
часть диаграммы на |
|
изображенное с |
|
рис. 59, которая |
|
помощью кругов |
|
соответствует |
|
Эйлера на рис. 60. |
|
множеству |
|
|
|
(A \ C) (B \ C). |
|
|
Рис. 59 |
Рис. 60 |
|
III.Пользуясь определением равенства множеств, доказать, что
(A \ B) ( A \ C) A \ (B C) .
IV. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
|
|
4n2 5 |
|
|
|
последовательность |
|
бесконечно большая при n . |
|||
|
|
|
|||
3n 1 |
|||||
|
|
n 1 |
|
V.Исследовать на сходимость последовательность с общим членом
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
1 3 |
|
2 5 |
|
3 7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
VI. Пользуясь определением предела функции, доказать, что |
|
|
||||||||||||||||
а) lim |
|
|
2x 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 3x |
2 3x 2 |
|
|
VII. Найти пределы, если они существуют.
|
|
n4 cos |
|
|
|
n10 8n 4 |
|
|
|||
а) lim |
|
n! |
; |
б) |
|||||||
6n5 |
8n4 6n 4 |
||||||||||
n |
|
|
|||||||||
г) lim |
|
2x3 5x2 4x 3 |
; |
|
д) |
||||||
|
x4 |
7x2 6 |
|
|
|||||||
x 1 |
|
|
|
|
7n 9 |
3n 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
в) lim |
|
cos 4x |
|
||||
lim |
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
x2 |
||||||
n |
3 10n |
|
x 0 |
|
|
|
x2 cos |
1 |
|
|
ln 1 sin x |
|
|
lim |
x |
; е) lim |
. |
||||
|
|
||||||
arctg x2 12x |
sin 5x |
||||||
x 0 |
x 0 |
|
VIII. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва:
|
x2 |
x 1, 2 x 0; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
а) |
f x = |
|
|
|
, |
0 x 2; |
б) |
f (x) |
|
|
|
. |
1 |
3x |
log1 |
x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2x, |
2 x 4. |
|
|
4 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Оглавление |
|
Указания к оформлению контрольных работ....................................................................................... |
3 |
Индивидуальные задания по теме «Введение в анализ»..................................................................... |
4 |
Вариант 1.............................................................................................................................................. |
4 |
Вариант 2.............................................................................................................................................. |
5 |
Вариант 3.............................................................................................................................................. |
6 |
Вариант 4.............................................................................................................................................. |
7 |
Вариант 5.............................................................................................................................................. |
8 |
Вариант 6.............................................................................................................................................. |
9 |
Вариант 7............................................................................................................................................ |
10 |
Вариант 8............................................................................................................................................ |
11 |
Вариант 9............................................................................................................................................ |
12 |
Вариант 10.......................................................................................................................................... |
13 |
Вариант 11.......................................................................................................................................... |
14 |
Вариант 12.......................................................................................................................................... |
15 |
Вариант 13.......................................................................................................................................... |
16 |
Вариант 14.......................................................................................................................................... |
17 |
Вариант 15.......................................................................................................................................... |
18 |
Вариант 16.......................................................................................................................................... |
19 |
Вариант 17.......................................................................................................................................... |
20 |
Вариант 18.......................................................................................................................................... |
21 |
Вариант 19.......................................................................................................................................... |
22 |
Вариант 20.......................................................................................................................................... |
23 |
Вариант 21.......................................................................................................................................... |
24 |
Вариант 22.......................................................................................................................................... |
25 |
Вариант 23.......................................................................................................................................... |
26 |
Вариант 24.......................................................................................................................................... |
27 |
Вариант 25.......................................................................................................................................... |
28 |
Вариант 26.......................................................................................................................................... |
29 |
Вариант 27.......................................................................................................................................... |
30 |
Вариант 28.......................................................................................................................................... |
31 |
Вариант 29.......................................................................................................................................... |
32 |
Вариант 30.......................................................................................................................................... |
33 |
34