доп.материалы.Neopr_Integr_Jun_08_2011

Таблица производных

µx¶

(x®)0 = ® x®¡1;

(px)0 = 2px;

= ¡x2 ;

1

1

0

1

(ax)0 = ax ln a;

(ex)0 = ex;

(loga x)0 =

1

;

(ln x)0

=

1

;

x ln a

x

(sin x)0 = cos x;

(cos x)0

= ¡ sin x;

(tg x)0

1

(ctg x)0

1

=

;

= ¡

;

cos2 x

sin2 x

1

1

(arcsin x)0 =

p

;

(arccos x)0

= ¡

p

;

1 ¡ x2

1 ¡ x2

(arctg x)0

1

(arcctg x)0

1

=

;

= ¡

;

1 + x2

1 + x2

ch x :=

ex + e¡x

;

sh x :=

ex ¡ e¡x

;

ex = ch x + sh x;

2

2

(ch x)0 = sh x;

(th x)0 = ch12 x; (arcch x)0 = px21¡ 1;

(arcth x)0 = 1 ¡1x2 ;

(sh x)0 = ch x;

(cth x)0 = ¡ sh12 x; (arcsh x)0 = px21+ 1;

(arccth x)0 = ¡ 1 ¡1x2 ;

ch2 x

¡

sh2 x = 1;

sh2 x =

ch 2x ¡ 1

;

ch2 x =

ch 2x + 1

;

2

2

2sh xch x = sh 2x;

1

¡

th2 x =

1

;

1

¡

cth2 x =

¡1

;

ch2 x

sh2 x

1

2

Табличные интегралы

Z x® dx = ® + 1 + C (® 6= ¡1);

Z

x dx = ln jxj + C

(x 6= 0);

x®+1

1

Z

½

¡

Z

¡

¯

¡

¯

1

arctg x + C;

1

1

¯

1 + x

¯

1 + x2

dx =

arcctg x + C;

1

x2

dx =

2

ln

¯

1

x

¯

+ C;

¯

¯

Z

1

1

x

dx =

arctg

+ C

a2 + x2

a

a

Z

a2

1 x2 dx =

2a ln

¯a

¡

x

¯

+ C

¡

¯

¯

1

¯

a + x

¯

¯

¯

(a =6 0);

(a =6 0);

Z

§

1

¯

¯

x

dx = §

¯

a2 § x2

¯

a2 x2

2

ln

+ C;

p

¯

¡

§

¯

dx

arcsin x + C;

dx

¯

¯

Z

p1

x2 = ½ ¡ arccos x + C;

Z

px2

1

= ln

x +

x2

§ 1 + C;

Z

Z

¯

¯

pa2

¡ x2

= arcsin a + C

(a > 0);

px2

§ a2 = ln ¯x + px2 § a2¯ + C;

dx

x

dx

¯

¯

Z

§

p

¯

¯

p

x

dx = § a2 § x2 + C;

a2

x2

Z pa2 ¡ x2 dx = 2 nxpa2

¡ x2 + a2 arcsin ao + C

(a > 0);

1

x

Z px2 § a2 dx = 2 px2 § a2

+ 2

ln ¯x + px2 § a2¯ + C

(a > 0);

x

a2

¯

¯

¯

¯

3

Z ex dx = ex + C;			Z ax dx =		ax		+ C (a > 0; a 6= 1);
					ln a
Z	sin x dx = ¡ cos x + C;				Z	cos x dx = sin x + C;
Z	1	dx = ¡ctg x + C;			Z	1		dx = tg x + C;
	sin2 x						cos2 x
	Z sh x dx = ch x + C;			Z ch x dx = sh x + C;

Z1

sh2 x dx = ¡cth x + C;

Пусть n; k натуральные числа и

Z

dx

In := (1 + xk)n ;

Z1

ch2 x dx = th x + C;

Jn := Z	dx	:	(1)
	(1 ¡ xk)n

Тогда при n ¸ 2; k ¸ 2 выполняются следующие рекуррентные формулы:

I		=	kn ¡ k ¡ 1	I	n¡1		+		x		;
	n							k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1
			kn ¡ k
J		=	kn ¡ k ¡ 1	J		n¡1	+		x		:
	n								k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1
			kn ¡ k

Эти формулы позволяют свести вычисления интегралов In; Jn к вычислениям интегралов I1; J1 соответственно.

Пусть n натуральное число и		Cn := Z
Sn := Z	sinn x dx;		cosn x dx:	(2)

Тогда при n ¸ 2 выполняются следующие рекуррентные формулы:

S

n

=

n ¡ 1

S

n¡2

¡

cos x sinn¡1 x

;

C

n

=

n ¡ 1

C

n¡2

+

sin x cosn¡1 x

:

(3)

n

n

n

n

xk¡1 dx

4

Вывод рекуррентных формул для интегралов вида (1)

Пусть n ¸ 1; k ¸ 2 натуральные числа. Обозначим

			In := Z		dx	:
					(1 + xk)n
Преобразуем этот интеграл					dx = Z	(1 + xk)n dx¡Z
In = Z	(1 +1xk)n dx = Z		1(1 + x¡k)n
			+ xk	xk		1 + xk

Отсюда получаем равенство

xk

(1 + xk)n dx:

In = In¡1 ¡ A;			(4)
где
A = Z	xk
		dx:
	(1 + xk)n
Выразим A через In¡1; для этого преобразуем A :
Z	Z

A =

x

=

где

(1 + xk)n

Z

(1 + xk)n

= k Z

(1 + xk)n

= k Z

v(x) =

xk¡1 dx

1

dxk

1

Отсюда с помощью (5)Zполучаем

x dv(x);		(5)
d(1 + xk)		1
		=		:
(1 + xk)n			k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

Z

A = x dv(x) = xv(x) ¡ v(x) dx =

=

x

¡ Z

dx

=

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

x

1

=

+

In¡1

:

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(n ¡ 1)

Принимая во внимание (4), приходим к соотношению

x

1

In = In¡1 ¡

¡

In¡1;

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(n ¡ 1)

из которого следует искомая формула

I

=

kn ¡ k ¡ 1

I

n¡1

+

x

:

n

k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1

kn ¡ k

5

Пусть n ¸ 1; k ¸ 2 натуральные числа. Обозначим

Jn := Z	dx	:
	(1 ¡ xk)n

Преобразуем этот интеграл

J		=	Z	1	dx =	1 ¡ xk + xk
				(1 ¡ xk)n		(1 ¡ xk)n
	n				Z

Отсюда получаем равенство

Z	(1 + xk)n	Z
dx =	1 ¡ xk	dx+

xk

(1 ¡ xk)n dx:

Jn = Jn¡1 + B;

(6)

где

B = Z

xk

dx:

(1 ¡ xk)n

Выразим B через Jn¡1: Для этого преобразуем B :

B = Z

x

xk¡1 dx

= Z

x dV (x);

(7)

где

(1 ¡ xk)n

V (x) =

xk¡1 dx

=

1

dxk

=

¡1

d(1 xk)

=

1

:

(1 ¡ xk)n

(1 ¡ xk)n

(1 ¡¡xk)n

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

Z

k Z

k Z

Отсюда с помощью (7) получаем

B = Z x dV (x) = xV (x) ¡ Z V (x) dx =

=

x

¡ Z

dx

=

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

=

x

¡

1

Jn¡1

:

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)

Принимая во внимание (6), приходим к соотношению

x

1

Jn = Jn¡1 +

¡

Jn¡1;

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)

из которого следует искомая формула

J

=

kn ¡ k ¡ 1

J

n¡1

+

x

:

n

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

kn ¡ k

6

Вывод рекуррентных формул (3) для интегралов вида (2)

Докажем первую формулу в (3):
Sn = Z sinn x dx = ¡ Z		sinn¡1 x d cos x =
= ¡ cos x sinn¡1 x + Z		cos x d sinn¡1 x =
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z			cos2 x sinn¡2 x dx =
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z (1 ¡ sin2 x) sinn¡2 x dx =
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z	sinn¡2 x dx ¡ (n ¡ 1) Z			sinn x dx:

Отсюда получаем

Sn = ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1)Sn¡2 ¡ (n ¡ 1)Sn;

Sn =	n ¡	1	Sn¡2 ¡		1	cos x sinn¡1 x:
	n				n
Перейдем к доказательству второй формулы в (3):
Cn = Z cosn x dx = Z					cosn¡1 x d sin x =
= sin x cosn¡1 x ¡ Z					sin x d cosn¡1 x =
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z							sin2 x cosn¡2 x dx =
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z (1 ¡ cos2 x) cosn¡2 x dx =
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z				cosn¡2 x dx ¡ (n ¡ 1) Z				cosn x dx:

Отсюда получаем

Cn = sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1)Cn¡2 ¡ (n ¡ 1)Cn; Cn = n ¡n 1Cn¡2 + n1 sin x cosn¡1 x:

7

Интегрирование тригонометрических функций вида

Z

sin® x cos¯ x dx

в случае, когда ® + ¯ есть четное отрицательное число.

В этом случае применяется подстановка tg x = u:

Пример. Найти интеграл

Z

sin1=3 x cos¡13=3 x dx:

Так как

13 ¡ 133 = ¡4;

то вычисление интеграла сводится к интегрированию степеней переменной:

Z	sin1=3 x cos¡13=3 x dx = Z		tg1=3x	dx	= Z	tg1=3x(1 + tg2x)		dx		=
				cos4 x				cos2 x
	= Z	tg1=3x(1 + tg2x) d tg x = hu = tg xi = Z					u1=3(1 + u2) du = : : :

8

Интегрирование дифференциальных биномов:

J = Z

xm(®xn + ¯)p dx;

m; n; p

рациональные числа.

Случай

p 2 Z+ = f0; 1; 2; : : :g решается с помощью бинома Ньютона.

Случай

n = 0

простой.

Поэтому далее считаем

n 6= 0; p 62Z+:

С помощью замены

xn = t; x = t1=n; dx =

1

t1=n ¡1 dt

получим

n

1

Z

m+1

1

J =

t

¡1(® t + ¯)p dt =

I;

n

где

n

n

I = Z

tq(® t + ¯)p dt;

q =

m + 1

¡ 1:

n

Случай

q = 0

простой.

Поэтому далее считаем q 6= 0:

1-й случай:

q 2 Z;

q 6= 0:

Число p рациональное, т. е. оно представимо в виде

r

где

r 2 Z;

s 2 N:

p =

;

С помощью замены

s

® t + ¯ = us; t =

us ¡ ¯

; dt =

sus¡1

du

получим

®

®

I =

µ

us

¡ ¯

¶

q usr=s

sus¡1

du =

s

Z µ

us

¡ ¯

¶

q ur+s¡1 du:

®q+1

Z

®

®

®

Если q 2 N; то применяем бином Ньютона,

а если (¡q) 2 N; то под интегралом рациональная функция.

9

2-й случай: q рациональное 62Z, (¡p) 2 N:

Число q рациональное, т. е. оно представимо в виде

		r
	q =		; где r 2 Z;	s 2 N:
		s
С помощью замены
	t = us; dt = sus¡1 du
получим	usr=s(®us + ¯)psus¡1 du = s Z
I = Z				ur+s¡1(®us + ¯)p du

под интегралом рациональная функция.

3-й случай: p + q 2 Z:

Число p рациональное, т. е. оно представимо в виде

r

где r 2 Z;

s 2 N:

p =

;

С помощью замены

s

® t + ¯

= zs;

® t + ¯ = tzs;

® t ¡ tzs = ¡¯;

t

t(® ¡ zs) = ¡¯;

t =

¯

;

dt = µ

¯

¶0

dz

zs ®

zs

®

получим

¡

¡

I = Z tq(® t + ¯)p dt = Z tp+q µ

t

¶

dt =

® t + ¯

p

Z

µ

¡

¶p+q zsr=s µ

¡

¶0

=

¯

¯

dz =

=

zs ®

zs

¯

®

Z

µzs

¯ ®¶p+q zr µzs

®¶0

dz

¡

¡

под интегралом рациональная функция.

10

Интегрирование иррациональностей

Пусть P (u; v); Q(u; v) многочлены от двух переменных u; v:

Например, P (u; v) = 2 + uv + 3u2v + v7:

Функцию R(u; v) = P (u; v) называют рациональной функцией двух пе-

Q(u; v)

ременных u; v (или рациональной дробью).

Два случая интегрирования иррациональностей вида
Z R(x; pax2 + bx + c) dx; u = x; v = pax2 + bx + c:	(8)

Случай 1: a > 0: В этом случае применяется подстановка pax2 + bx + c = t + pax:

Выразим x через t: Имеем

ax2 +bx+c = t2 +2p

atx+ax2;

bx+c = t2 +2p

atx; bx¡2p

atx = t2 ¡c;

x =

t2 ¡ c

:

p

b ¡ 2

at

Отсюда получаем

µb ¡ 2pat

¶

0

dx =

t2 ¡ c

dt;

при этом множитель перед dt представляет собой рациональную функцию по переменной t:

Таким образом, приходим к равенству

t2 ¡ c

; t + p

t2 ¡ c

t2 ¡ c

0

ax2

R(x;

+ bx + c) dx =

R

a

dt;

Z

p

Z

µb ¡ 2pat

b ¡ 2pat

¶ µb ¡ 2pat

¶

в правой части которого под интегралом стоит рациональная функция по переменной t: