ИДЗ по матану
.pdfВариант 21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
x 4 |
|
|
arcsin x |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
||||||
2. |
esin x cos x dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
|
x |
1 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
1 |
x |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 3x 3 |
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 2x 3 |
|
||||||||||||||
6. |
(2x 5)e3xdx |
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
|
|
x3 5x2 5x 23 |
dx |
|||||||||||||
|
(x 1)(x 1)(x 5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||
x3 x2 x 1 |
|
||||||||||||||||
9. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x 1 |
4 |
2x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1
10. x 4 x2 dx
11. ctg6 x dx
cos x
12. sin3 x cos3 x dx
Вариант 22
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
3 |
x 2cos x 2 |
dx |
||
|
|
x |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
2.tg2x dx
3. |
|
|
|
|
4x 3 |
|
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2x 8 |
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x2 3x 5 |
|
|||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
|
|
|
2x 3)cos 2x dx |
||||||||||||||
7. |
|
|
|
4x4 2x2 x 3 |
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
x(x 1)(x 1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
||||||||||||||||
x3 x2 |
|
9.x 1 1 dx
x 1 1
10. |
|
|
|
1 |
dx |
|||
|
|
|
|
|||||
x4 |
|
|||||||
x2 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
11. |
|
|
|
1 |
|
dx |
||
|
|
|||||||
|
cos4 xsin2 x |
|||||||
12. |
|
|
1 |
|
|
dx |
||
|
||||||||
5sin x cos x |
51
Вариант 23
1. |
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||
|
(x sin x)2 |
|
||||||||||||||||
2. |
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(1 x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
arctg x 3x |
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4x2 4x |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
|
||||||||||||||||
x2 4x 7 |
|
|||||||||||||||||
6. |
x arctg x dx |
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
2x4 5x2 8x 8 |
dx |
|||||||||||
|
|
x(x 2)(x 2) |
||||||||||||||||
|
|
|
x4
8.(x2 1)(x 2) dx
9. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 3 |
|
|
|
|||||||||||
x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x2 |
|
9)3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
|
|
|
dx |
||||||||||
|
sin3 x cos x |
|||||||||||||
12. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|||||
|
||||||||||||||
4 tg x 4ctg x |
Вариант 24
1. |
|
|
|
etg x 7sin x |
dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
x2 |
3x 8 |
|
|||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
3 arctg 2x |
|
dx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
3x |
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||
x2 2x 10 |
|
|||||||||||||||||||||
6. |
(4x 7)sin 3x dx |
|
||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
3x3 x2 12x 2 |
dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
x(x |
1)(x 2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(x2 1)(x2 4) |
|
||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
1 x dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11. |
sin4 x cos5 x dx |
|
||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
5 4sin x |
|
52
Индивидуальные задания по теме «Определенные интегралы»
Вариант 1
1. Вычислить интегралы:
1 |
4 |
|
|
|
dx |
|
а) ln(x 1)dx ; |
б) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
2x 1 |
|||
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
2. |
Найти среднее значение функции |
||||
|
|
2 |
dx |
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
. |
||
|
|||||
10 3cos3 x |
|||||
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
; |
в) x2 a x2 dx . |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
f (x) sin3 x |
на отрезке 0, / 2 . |
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 2y2 , |
x 1 3y2 . |
5.Вычислить площадь фигуры, лежащей вне круга a и ограниченной кри-
вой 2a cos 3 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
|
y 1 2 x, |
y 2, |
x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) вокруг оси Oy , |
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|||||||||||||||
7. Вычислить длину одной арки циклоиды x a t sin t , |
y a 1 cost . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|||
|
а) x3ex |
dx ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
; |
в) |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
1 x2 3 |
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) sin2 x |
на отрезке 0, . |
|||||||||||||||||
3. |
Оценить интеграл |
|
10 |
x 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой |
|
y x2 2x 3 , |
||||
касательной к ней в точке M 2, 5 и осью ординат. |
|
|
|
||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a , кардиоидой |
||||||
a 1 cos и содержащей точку с декартовыми координатами |
a |
|
|||||
|
|
, 0 . |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли- |
||||||
ниями y sin x, |
x , |
y 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить длину астроиды x a cos3 t, |
y a sin3 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 8 |
|
|
||||
|
4 ln cos x |
|
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|||||||||
|
а) |
|
|
dx ; |
б) |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
dx . |
|
||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
x |
4 |
|
|||||||||
|
0 |
cos |
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) cos2 x |
на отрезке , . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
3 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 10x 25, |
y2 6x 9 . |
5.Вычислить площадь одного лепестка кривой 4sin2 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полуку-
бической параболой y2 x3 , осью Ox и прямой x 1 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
x t2 2 sin t 2t cos t , |
y 2 t2 cos t 2t sin t , за- |
|||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой |
||||||||||||||||||||
ключенной |
|
между |
точками, соответствующими |
|
значениям параметра |
||||||||||||||||
t1 0, |
t2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
29 |
|
3 x 2 2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x sin x |
|
|
|
4 x2 |
||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
в) |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
3 3 |
3 x 2 2 |
1 |
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти среднее значение функции f (x) 3x2 |
2x 1 |
на отрезке 1, 5 . |
2x3 1
3.Оценить интеграл 1 x5 1 dx .
4.Найти площадь фигуры, лежащей выше оси Ox и ограниченной линиями
y2 4x , y 2x 4 . |
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить |
площадь фигуры, ограниченной |
лемнискатой Бернулли |
|||||
2 |
a2 cos 2 |
|
и лежащей внутри окружности |
a |
. |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|||||||
x2 y2 a2 , |
x 2a , |
|
|
|
|
|
||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
|
|
||
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти длину дуги кривой x et cost, |
y et sin t , заключенной между точка- |
||||||
ми, соответствующими значениям параметра t1 0, t2 |
ln . |
54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
1 x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
|
sin |
|
x |
dx ; |
|
б) |
|
e |
e |
1 |
dx ; |
в) |
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) cos3 x |
на отрезке 0, / 2 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y 4x2 , |
y |
x2 |
и |
|
|||
|
9 |
|
|
прямой y 2 . |
|
|
|
5.Вычислить площадь четырехлепестковой розы a sin 4 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y x2 1, |
|
x 1, |
x 1, |
y 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
y 3a 2t2 |
t4 , |
|
||||||||||||
7. |
Вычислить длину дуги кривой x 8at3 , |
расположенной над |
|||||||||||||||||||
осью OX . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 arcsin x |
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
2a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) |
ex 1 dx ; |
в) |
|
|
|
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
1 x |
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) sin3 x |
|
|
на отрезке 0, / 2 . |
|||||||||||||||||
cos x |
|||||||||||||||||||||
3. |
Оценить интеграл |
2 |
|
x2 3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти |
площадь фигуры, |
заключенной |
между |
линиями y 2x , y 2 2x , |
||||||||||||||||
x 0, |
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2cos , 1 (вне кривой 1).
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
x2 y2 1, |
y 0, |
y |
|
3x |
|
, |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
||||
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
||||
7. Найти длину дуги кривой x 8sin t 6cost, |
y 6sin t 8cos t . |
55
Вариант 7
1
1. Вычислить интегралы: а) x 1 e x dx
0
2. Найти среднее значение функции f (x)
2
3. Оценить интеграл e x x2 dx .
0
5 |
|
|
|
2 |
|
|
x2 dx |
|
|
|
|
x dx |
; в) 2 |
|
|
|
|||||
; б) |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
4x 5 |
0 |
2 x2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
3x ln x 1 |
на отрезке 0, 2 . |
4.Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y x3 , y x, y 2x x 0 .
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a , кардиоидой
a 1 cos и содержащей точку |
|
|
a |
|
|
M |
|
, 0 |
. |
||
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли- |
||||||||||||||||||||||||||||
ниями x2 y2 4, |
y 2, |
|
x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) вокруг оси Oy , |
|
|
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Вычислить длину дуги полукубической параболы x t2 , y |
2 |
t3 , отсеченной |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прямой x 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
x |
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) x2 sin x dx ; |
б) |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
в) |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) |
sin3 x |
|
|
|
на отрезке 0, / 4 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями x y2 , |
|
x |
3 |
y2 1 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a , кардиоидой |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 1 cos и содержащей точку M |
|
|
a, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y ex , |
y 0, x 0, |
x 2 , |
|
|
|
|
а) вокруг оси Ox , б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
||
7. Найти длину дуги логарифмической спирали x et sin t, |
y et cost , |
заклю- |
||||
ченной между точками, соответствующими значениям параметра t 0, |
t |
2 |
. |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
56
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
dx ; |
|
б) |
|
|
|
dx ; |
|
в) (x 4) arctg x dx . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
на отрезке 0; 2 . |
|
|
||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) x3 |
16 x4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Найти |
|
площадь |
фигуры, |
заключенной |
между линиями y x, |
x 0, |
|||||||||||||||||||
y2 x2 4 32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 2 1 cos , |
2 и |
||||||||||||||||||||||||
содержащей точку M 1, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|||||||||||||||||||||||||
y2 y x, |
|
x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. Найти длину дуги кривой x 2 cos3 t, |
y sin3 t . |
|
|
|
Вариант 10
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
а) 2 ctg x ln(sin x)dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
6 |
|
|
|
2. |
Найти среднее значение функции |
|||
|
2 |
|
|
|
3. |
Оценить интеграл x4 e x2 dx . |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
0 |
||
|
; |
в) (x2 1) cosx dx . |
|||
|
|
|
|||
4 x2 |
2 |
||||
|
|
1 |
|||
f (x) |
|
|
1 |
на отрезке 3, 0 . |
|
|
|
|
|||
x2 |
4x 5 |
||||
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями |
|
|||
|
|
|
y3 y x , |
y 1 x 2 , y 0 . |
|
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 2 1 cos , |
2 и |
|||
содержащей точку M 1, 0 . |
|
|
|||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
||||
y x 3 x , |
y x , |
|
|
|
|
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
||
7. Найти длину дуги кривой x 6at5 , |
y 5at 1 t8 , отсеченной осью OX |
57
|
|
Вариант 11 |
||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|||
|
4 |
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
а) tg x ln(cos x)dx ; |
б) |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
||||
|
0 |
0 (16 |
x2 ) |
2 |
|
|
||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
|
3x 1 |
||||
|
|
|||||||
x2 2x 5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
x2 e x2 dx . |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
в) (x2 |
4) cos(3x)dx . |
2 |
|
на отрезке 3; 1 .
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y |
|
1 |
, |
y |
x2 |
. |
||||||||||||
|
x2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 2 cos2 |
и лежащей |
|||||||||||||||||
вне линии 2 sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия- |
||||||||||||||||||
ми 2 y x2 , 2x 2 y 3 0 , x 0 x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x et cos t, |
y et |
sin t , заключенной между точка- |
||||||||||||||||
ми, соответствующими значениям параметра t1 0, |
t2 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
x arctg4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) |
|
|
dx ; |
|
б) 16 x2 dx ; |
|
в) (1 5x2 ) sin xdx . |
|||||||||||
|
1 x |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) ln2 x |
на отрезке 1, |
e . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл ex |
1 x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y2 2x 1 , y x 1 .
5.Вычислить площадь общей части фигур, ограниченных линиями 3 cos4 ,
2 cos4 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y |
x2 |
2x 2 и y 2 |
, |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy |
|
||
7. Найти длину дуги кривой x a(3cost cos3t), |
y a(3sin t sin 3t) . |
58
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|||
|
а) (2x 5) e 3x dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
; |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 x |
|
|
0 5 3cos x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) arccos |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
2x на отрезке |
0, |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
1 arcsin x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x ( y 2)2 |
, x 4y 8 . |
|||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
a2 cos 2 |
и лежащей вне линии |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Фигура ограничена линиями y ex , |
y e, x 0. |
Найти объем тела, образо- |
||||||||||||||||||||||||
|
ванного вращением этой фигуры |
а) вокруг оси Ox , |
|
б) вокруг оси Oy . |
|||||||||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги |
кривой |
x et (cos t sin t), |
y et (cost sin t) , |
|
заключенной |
|||||||||||||||||||||
|
между точками, соответствующими значениям параметра t1 0, |
|
|
|
t2 1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
(x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) e 2 dx . |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
6x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
x |
|
|
|
0 |
2 |
3cos x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) x cos 2x на отрезке |
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 , |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2e x2
3.Оценить интеграл 2 1 x2 dx .
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y2 , x y2 2y .
5. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной кривой a sin 5 и лежащей вне |
||||||
|
круга |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|||||||
|
y sin x , y 0 , x 0, |
x , |
|
|
|
|
||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
||||||
7. |
Найти длину петли линии |
x t2 , |
y t |
t3 |
. |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
e |
ln x dx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
4 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) cos |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
на отрезке 0 , |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y |
27 |
|
, |
y |
x2 |
. |
|||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
6 |
|
5.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 4cos 3 и лежащей вне круга 2 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
|
y 2x x2 , y x 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x 3sin t 4cos t, |
y 4sin t 3cos t . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) 4 x cos2 x dx ; |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
б) |
|
; |
|
|
в) |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
x3 x |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
x |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
|
3x 5 |
на отрезке |
1, 1 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x2 |
4x 7 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Оценить интеграл |
2 |
|
3 sin2 x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 4x , |
y |
x2 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
5. |
Найти |
площадь фигуры, ограниченной кривой |
|
1 |
sin и лежащей |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
внутри круга |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
||||||||||||||||||||||||||
|
y x2 , |
y sin |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x 2cost cos 2t, |
y 2sin t sin 2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
60