ИДЗ по матем II семестр ФЭУ
.pdfИндивидуальные задания
по математике
Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.1. sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0;
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x2 |
( |
y |
) |
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( |
x3 |
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) |
( |
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) |
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1.2. |
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+1 dx + |
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−1 |
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y −1 dy = 0; |
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x |
( |
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) |
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− |
( |
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) |
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= 0; |
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|||
1.3. |
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y +1 dx |
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x2 +1 dy |
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1.4. |
y (1+ x2 )dy − x(1+ y2 )dx = 0; |
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1.5. |
xy (1+ y2 )dx − (1+ x2 )dy = 0; |
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1.6. |
x |
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1+ y2 + y |
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1+ x2 y′ = 0; |
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1.7. |
(4 − x2 )cos y dy + 4sin y dx = 0; |
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1.8. |
tg xsin2 y dx + cos2 xctg y dy = 0; |
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1.9. |
sin x(cos y)−1 dx + esin y (cos x)−2 dy = 0; |
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1.10. |
2xsin y dx − (1+ x2 )dy = 0; |
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1.11. |
(x2 −1) y′ + 2xy2 |
= 0; |
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( |
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2 |
)( |
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2 |
) |
−1 |
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−1 |
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−1 |
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1.12. |
y′ = 1+ y |
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1+ x |
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x |
y |
; |
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1.13. |
x |
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1− y2 dx + y 1− x2 dy = 0; |
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1.14. |
3ex tg y dx + (1− ex )sec2 y dy = 0; |
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1.15. |
dy + y ctg x dx = 0; |
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1.16. |
y′ =10x+y; |
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1.17. |
y y′ = (1− 2x) |
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y; |
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1.18. |
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1− y22 |
+ y′ = 0; |
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1−x |
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1.19.ex−y y′ =1;
1.20.y′ = y2 x−1 ( y −1)−1 ;
1.21.(xy2 + x)dx + (y − x2 y)dy = 0;
1.22.3ey tg x dy + (1− ey )sec2 x dx = 0;
1.23.sin x(cos y)−1 dx + esin y cos2 x dy = 0;
1.24.sin x sin y dx + cos x cos y dy = 0.
1
2.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
2.1. |
2(yy′x2 − xy2 ) |
= x3 exp{−( |
y |
)2 }; y(1) = 0; |
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x |
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2.2. |
x2 y′ = y2 − xy; |
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|
y(1) = 2; |
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2.3. |
ey x (x y′ − y) = x; |
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|
y(1) = 0; |
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2.4. |
y − xy′ = xsin2 |
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y |
; |
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|
y(1) = π 2; |
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|
x |
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2.5. |
y′ = (x2 + xy + y2 )x−2; |
y(1) = 0; |
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2.6. |
xy′ = y(1+ ln |
y |
); |
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|
y(1) = 2; |
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x |
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2.7. |
y′ = ey x + |
|
y |
; |
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|
y(1) = 1; |
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|
x |
|
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2.8. |
2x2 y′ = x2 + y2 ; |
y(1) = 0; |
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2.9. |
y − x y′ = xsin |
|
y |
; |
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|
y(1) = π 2; |
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|
x |
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2.10. |
y2 + x2 y′ = x y y′; |
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|
y(1) = 1; |
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2.11. |
xy′ − y = (x + y)ln |
x+ y |
; |
y(1) = 1; |
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x |
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|
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2.12. |
y′ = y2 (xy − x2 )−1 ; |
|
y(1) = 1; |
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2.13. |
(y2 − x2 ) y′ + xy = y2 ; |
y (1) = 1; |
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|
dx; y(1) = 1; |
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2.14. |
xdy − ydx = |
y2 − x2 |
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2.15. |
(x − y) dy = ydx; |
y(1) = 1; |
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2.16. |
y′ = |
|
x |
+ |
|
|
y |
; y(1) = 1; |
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|
y |
|
x |
|
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2.17. |
y′ = (x + y)(x − y)−1 ; |
y (1) = 0; |
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|
y(1) = 0; |
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2.18. |
xy′ = y + |
|
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|
x2 + y2 ; |
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2.19. |
xy′ = y ln |
y |
; |
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|
y(1) = 1; |
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x |
|
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2.20. |
xy′ = y(1+ ln |
y |
); |
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|
y(1) = e−1 2 ; |
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x |
|
|
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2.21. |
xy′ cos |
y |
|
= y cos |
y |
− x; |
y(1) = π 2; |
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x |
x |
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y |
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|
y (1) = 0; |
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2.22. |
y′ = |
+ |
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|
x2 + y2 |
x; |
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|||||||||||||||||||||||||||||
x |
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2.23. |
y′ = sin |
y |
+ |
y |
; |
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y(1) = π 2; |
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x |
x |
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2.24. |
y′ = x2 y2 + y |
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|
x; |
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|
y(1) = 0. |
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3. Найти общее решение дифференциального уравнения. |
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3.1. |
y sin x + y′ cos x = 1; |
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3.6. |
y′ + |
y |
= 3x2 ; |
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|
x |
|
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3.2. |
2xy′ − 6y + x2 = 0; |
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|
3.7. |
2 |
e |
−3x |
; |
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3.3. |
y′ + y tgx = sin 2x; |
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|
|
y′ + 3y = x |
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3.8. |
y′ + y tgx = cos2 x; |
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3.4. |
y′ + y cos x = cos x; |
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3.9. |
y′ + y = cos x; |
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3.5. |
y′ + y ctgx = 4 sin x; |
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3.10. |
2y′ − 2y tg x = 3x; |
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2 |
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3.11. |
y′ + |
3 |
y = x2e3 x ; |
3.18. |
y′ + y = x + 2; |
x2 |
|||||
3.12. |
y′ + y = sin x; |
3.19. |
y′ + xy = xe− x2 ; |
||
3.13. |
y′ + |
3 |
y = 1 x2 ; |
3.20. |
xy′ − 2y = 4x4 ; |
2 |
|||||
|
|
x |
|
x( y′ − y) = ex ; |
|
3.14. |
y′ cos x + y sin x = 1; |
3.21. |
|||
3.15. |
y′ + y − x2 = 0; |
3.22. |
xy′ + y = ex; |
||
3.16. |
y′ + xy = exp{− x2 2}; |
3.23. |
y = x( y′ − x cos x); |
||
3.17. |
y′ cos x − ysin x = cos2 x; |
3.24. |
xy′ = x3 − y. |
4.Для дифференциального уравнения найти интегральную кривую, проходящую через точку M0(x0, y0).
|
y′ − y cos x = 2 |
|
|
cos x; |
|
M0 (0, 4); |
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4.1. |
|
y |
|
|||||||||||||||||
4.2. |
y′ + y cos x = y2 cos x; |
M0 (0,1); |
||||||||||||||||||
4.3. |
y′ + |
y |
|
= x2 y3; |
M0 (1,1); |
|
||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||
4.4. |
y′ + y tg x = y2 sin x; |
|
|
M0 (0,1); |
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4.5. |
y′ − xy (1− x2 )−1 = xy2 ; |
|
M0 (0,1); |
|||||||||||||||||
4.6. |
xy′ = − y − xy2 ; |
M0 (1,1); |
||||||||||||||||||
4.7. |
xy′ + y = xy2 ln x; M0 (1,1); |
|||||||||||||||||||
4.8. |
ydy = (y2 x2 − x3 )dx; |
M0 (1,1); |
||||||||||||||||||
4.9. |
xy′ + y = y2 ; |
M0 (1, 2); |
|
|
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4.10. |
y′ + y tgx = y3 |
cos x; |
M0 (0,1); |
|||||||||||||||||
|
y′ + y x = |
|
|
|
|
|
x; |
|
M0 (4, 0); |
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4.11. |
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y |
|
|||||||||||||||||
|
y′ + y sin2 x = 2 |
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|
sin2 x; M0 (π 2, 4;) |
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4.12. |
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y |
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|
y′ − |
|
y = 2 |
|
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|
e−1 x ; |
|
M |
|
(1, e−2 ); |
|||||||||
4.13. |
2 |
|
y |
0 |
||||||||||||||||
2 |
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|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
4.14. |
2x y y′ = y2 − x; |
M0 (1,1); |
||||||||||||||||||
4.15. |
y′ = y4 cos x + y tgx; |
|
M0 (0, −1); |
|||||||||||||||||
4.16. |
y′ + 2xy = 2x3 y3; |
|
M0 (0,1); |
|||||||||||||||||
4.17. |
y′ = y x +1 |
y; |
|
|
M0 (1, 0); |
|||||||||||||||
4.18. |
y′ − xy = − y3 exp |
{−x3 }; |
|
M0 (0,1); |
||||||||||||||||
4.19. |
y′ + y x = −xy2 ; |
|
M0 (1, 2); |
|||||||||||||||||
4.20. |
y′ = xy + x3 y3; |
|
M0 (0,1); |
|||||||||||||||||
|
y′ + yctgx = |
|
|
|
|
|
; |
|
M0 (π 2, 0); |
|||||||||||
4.21. |
|
|
|
|
y sin x |
|
||||||||||||||
4.22. |
(1− x2 )dy − xydx = xy2dx; |
M0 (0, −1); |
||||||||||||||||||
4.23. |
2xyy′ = y2 − x2 ; |
|
M0 (0,1); |
|||||||||||||||||
4.24. |
xy′ = 3y − x4 y2 ; |
M0 (1,1). |
5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
3
5.1.y′′ = sin2 x;
5.2.y′′ = cos2 x;
5.3.y′′ =1sin2 x;
5.4.y′′ =1cos2 x;
5.5.y′′ = x + sin x;
5.6.y′′ = x2 + cos x;
5.7.y′′ = ln x;
5.8.y′′ = arctg x;
5.9.y′′ = (x +1)−2 ;
5.10.y′′ = (x +1)−3 ;
5.11.y′′ =1x2 −1x;
5.12.y′′ = (x2 + 2)(x2 +1);
5.13.y′′ = x;
5.14.y′′ = 2x;
5.15.y′′ = cos2 2x ;
5.16.y′′ = tg2 x;
5.17.y′′ = ctg2 x;
5.18.y′′ = 1(x − 2);
5.19.y′′ = 1(3 − x);
5.20.y′′ = cos x − cos 2x;
5.21.y′′ = sin (2x − 3);
5.22.y′′ = sin2 x2 ;
5.23.y′′ = 1cos2 x2 ;
5.24.y′′ = 1sin2 x2 .
6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
6.1.y′′ + y′ctg x = 3cos x;
6.2.xy′′ = y′ + x2;
6.3.y′′ − 3 y′x = 2x3;
6.4.y′′ sin x = y′ cos x;
6.5.y′′ = y′x + x;
6.6.(x +1) y′′ − (x + 2) y′ = −x − 2;
6.7.xy′′ = y′;
6.8.y′′ + y′tg x = sin 2x;
6.9.xy′′ − y′ + x = 0;
6.10.x2 y′′ = ( y′)2 ;
6.11.y′′ (x2 +1) = 2xy′;
6.12.y′′ + 2x( y′)2 = 0;
6.13.xy′′ − y′ = ex x2;
6.14.xy′′ = y′ ln( y′x);
6.15.x3 y′′ + x2 y′ =1;
6.16.y′′x ln x = y′;
6.17.2xy′′ = y′;
6.18.y′′ − y′(x −1) = x(x −1);
6.19.y′′ = y′ + x;
6.20.2xy′y′′ = ( y′)2 +1;
6.21.y′′ − 2y′ctg x = sin3 x;
6.22.y′′ = y′x + x3y′;
6.23.y′′ = y′ ln xx;
6.24.(1+ x2 ) y′′ = 1+ ( y′)2 .
7.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
7.1. |
2yy′′ = ( y′)2 +1; x = 1, y = 1, y′ = 0; |
7.2.6yy′′ = 2 + 3( y′)2 ; x = 0, y = 2512, y′ = 16;
7.3.y′′ = 1 y ; x = 0, y = 1, y′ = 2;
7.4.y3 y′′ = −1; x =12, y =1, y′ =1;
7.5.3y′′ = 4y5; x = −34, y =1, y′ = 23;
7.6. |
3y y′′ + 4y′ = 3( y′)2 ; |
x = 0, y = −3, y′ = 1 3; |
7.7. |
4yy′′ = 4( y′)2 − 3y′; |
x = 0, y = −2, y′ = 1 4; |
|
|
4 |
7.8.y′′ = 1+ ( y′)2 ; x = 0, y = 1, y′ = 0;
7.9.yy′′ = ( y′)2 ; x = 0, y = 1, y′ = 1;
7.10. y′′ + 2( y′)2 (1− y) = 0; x = −1, y = 2, y′ = 1;
7.11.( y′′)2 = y′; x = 2, y = 23, y′ = 1;
7.12.yy′′ + ( y′)2 = 1; x = 0, y = 1, y′ = 1;
7.13.2y ( y′)3 + y′′ = 0; x = 0, y = 0, y′ = −3;
7.14.2y′′ = 3y2; x = −2, y =1, y′ = −1;
7.15. yy′′ = ( y′)2 − ( y′)3 ; x = 1, y = 1, y′ = −1;
7.16.y′′ = e2 y; x = 0, y = 0, y′ =1;
7.17.y3 y′′ = y4 −1; x = 0, y = 2; y′ = 12 ;
7.18. y′′( y −1) = 2( y′)2 ; x = 1, y = 2, y′ = −1;
7.19.y3 y′′ =1; x = −2, y =1, y′ = −1;
7.20.2yy′′ = ( y′)2 ; x = −1, y = 4, y′ = 1;
7.21.y′′ y = 14; x = 43, y = 1, y′ = 1;
7.22.y′′y′ = y2; x = −1, y =1, y′ =1;
7.23. |
3yy′′ = 3( y′)2 − 4y′; x = 0, y = −3, y′ = 1 3; |
7.24. |
( y′′)2 − ( y′)2 = 1; x = 0, y = 1, y′ = 0. |
5
Линейная алгебра
8. Вычислить определитель.
|
1 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.1. |
0 |
1 |
1 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.2. |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||||||
8.3. |
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
; |
||||||
5 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
8 |
7 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||
|
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.4. |
2 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.5. |
2 |
2 |
3 |
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.6. |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.7. |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
; |
||
1 |
4 |
|
10 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.8. |
2 |
3 |
4 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8.9. |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
; |
||||
1 |
4 |
9 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||||||
|
1 |
8 |
27 |
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.10. |
−2 |
1 −4 |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
3 −4 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
3 −2 −1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
8.11. |
4 |
3 |
7 |
3 |
; |
|
|||||
1 |
7 |
8 |
7 |
|
|||||||
|
3 |
9 |
12 |
6 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.12. |
1 |
2 |
3 |
−1 |
|
|
; |
||||
3 |
0 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
1 |
1 |
4 |
5 |
|
|
|
||||
|
2 |
1 −1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.13. |
3 |
5 |
4 −1 |
|
|
; |
|
|
|
||
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 −1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.14. |
1 |
1 −1 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
||
3 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
1 |
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.15. |
3 |
0 −1 −1 |
|
|
; |
|
|
|
|||
7 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
1 |
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.16. |
1 |
0 −1 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
||
3 |
7 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
4 |
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 −1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
8.17. |
1 |
5 |
4 |
1 |
; |
|
|
|
|||
|
3 |
0 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.18. |
3 |
5 |
4 −1 |
|
|
; |
|
|
|
||
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 −1 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.19. |
3 |
5 |
4 −1 |
|
|
; |
|
|
|
||
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
3 −1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 −1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.20. |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 −1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6
|
2 |
-5 |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
8.21. |
3 |
5 |
4 |
-1 |
|
|
; |
||
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
||||
|
1 -6 |
3 |
1 |
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
-1 |
1 |
|
||||
|
|
||||||||
8.22. |
3 |
5 |
4 |
-1 |
; |
||||
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|||||
|
5 |
-1 |
3 -9 |
|
|
|
|||
|
2 |
1 -1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.23. |
3 |
3 |
4 -1 |
|
; |
|
|||
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
||||
|
1 |
-1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
9.Найти значение полинома f(x) от матрицы A.
9.1. f (x) = 3x2 - 2x + 5,
æ |
1 −2 |
3ö |
|
A = ç |
2 |
−4 |
1÷ ; |
è |
3 |
−5 |
2ø |
9.2. f (x) = x3 - 7x2 - 2x + 5,
æ |
5 |
2 |
−3ö |
A = ç |
1 |
3 −1÷ ; |
|
è |
2 |
2 |
−1ø |
9.3.f (x) = x3 - x2 - 9x + 9,
æ 1 2 −2ö
=ç 1 0 3÷ ;
è 1 3 0øA
9.4.f (x) = x3 - 5x2 + 7x - 3,
æ 1 −2 0ö
=ç −2 1 0÷ ;
è 0 0 3øA
9.5. f (x) = 4x4 -10x3 + 3x2 ,
æ0 1 0ö
A = ç0 0 1÷ ;
è0 0 0ø
9.6. f (x) = x2 - 3x - 9,
æ |
5 |
2 |
−3ö |
A = ç |
1 |
3 |
−1÷ ; |
è |
2 |
1 −1ø |
7
|
2 |
-2 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
8.24. |
3 |
5 |
4 |
-1 |
|
. |
0 |
2 |
1 |
4 |
|
||
|
1 -1 |
3 |
1 |
|
|
9.7. f (x) = x2 - 2x + 3,
æ 1 0 0ö
A = ç 0 1 2÷ ;
è 4 3 5ø
9.8. f (x) = 3x2 - x + 4,
æ |
1 −1 |
2ö |
|
A = ç |
3 |
0 |
1÷ ; |
è |
0 |
2 −1ø |
|
9.9. f (x) = (x -1)2 , |
|||
æ |
3 |
2 |
−1ö |
A = ç |
1 |
1 |
5÷ ; |
è |
2 −3 |
1ø |
9.10. f (x) = (2x - 2)3 ,
æ |
3 |
0 |
0ö |
A = ç |
−1 |
2 |
2÷ ; |
è |
0 |
1 |
1ø |
9.11. f (x) = 2x3 + 3, |
|||
æ −1 |
2 |
1ö |
|
A = ç |
1 |
0 |
3÷ ; |
è |
2 −1 |
1ø |
9.12. f (x) = x3 - x2 + 4,
æ |
1 |
2 |
0ö |
A = ç |
−1 |
1 |
0÷ ; |
è |
2 |
0 |
−1ø |
9.13.f (x) = x3 - 2x + 4,
æ |
0 |
1 |
1ö |
A = ç |
−1 |
1 |
−3÷ ; |
è |
1 |
−1 |
0ø |
9.14. f (x) = x3 - x + 5,
æ |
1 |
0 |
0ö |
A = ç |
2 |
−1 |
0÷ ; |
è |
0 |
1 |
2ø |
9.15. f (x) = 2x2 + x + 3,
æ |
4 |
−2 |
0ö |
A = ç |
0 |
3 −1÷ ; |
|
è |
1 |
1 |
1ø |
9.16.f (x) = 2x2 - x - 3,
æ 0 −1 1ö
=ç 1 −1 0÷ ;
è 0 2 −1øA
9.17.f (x) = x3 + 2x2 -1,
æ |
1 |
2 |
0ö |
A = ç |
0 |
0 |
2÷ ; |
è |
1 |
2 |
−1ø |
9.18. f (x) = x3 - 3x + 4,
æ |
1 |
2 |
−1ö |
A = ç |
0 |
0 |
1÷ ; |
è |
2 |
−1 |
0ø |
9.19.f (x) = x3 + 6x2 - 2x + 3,
|
æ −1 |
0 |
1ö |
|
|
A = ç |
0 |
1 |
1÷ ; |
|
è |
1 |
1 −1ø |
|
9.20. |
f (x) = 3x2 + x -1, |
|||
|
æ |
1 |
0 |
1ö |
|
A = ç |
−1 |
3 |
1÷ ; |
|
è |
1 |
1 |
1ø |
9.21. |
f (x) = 2x2 + 3x +1, |
|||
|
æ |
1 |
0 −1ö |
|
|
A = ç |
1 |
1 |
0÷ ; |
|
è −1 |
2 |
1ø |
|
9.22. |
f (x) = 3x2 + x -1, |
|||
|
æ |
1 |
2 |
−1ö |
|
A = ç |
0 |
1 −2÷ ; |
|
|
è |
2 |
1 |
0ø |
9.23. |
f (x) = (x + 2)3 , |
|||
|
æ |
1 |
0 |
2ö |
|
A = ç |
0 |
−2 |
1÷ ; |
|
è |
1 |
1 −1ø |
|
9.24. |
f (x) = (3x +1)2 , |
|||
|
æ |
1 |
−1 |
1ö |
|
A = ç |
1 |
0 |
1÷ . |
|
è |
0 |
2 −1ø |
10.Найти матрицы, обратные данным; проверить правильность вычислений, перемножив взаимно обратные матрицы.
|
A = ( |
23 −−21), |
|
æ 1 1 0ö |
|
A = (45 33), |
æ |
1 2 2ö |
||||||
10.1. |
B = ç 2 3 1÷ ; |
10.5. |
B = ç |
2 |
1 −2÷ ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
è 4 1 0ø |
|
|
|
è 2 −2 1ø |
|||||
|
A = (31 |
42), |
|
æ |
2 |
5 |
7ö |
|
A = (−−21 |
|
|
æ 1 |
1 3ö |
|
10.2. |
B = ç |
6 |
3 |
4÷ ; |
10.6. |
45), B = ç 0 0 |
1÷ ; |
|||||||
|
|
|
|
è 5 −2 −3ø |
|
|
|
|
è 3 4 1ø |
|||||
|
A = (53 |
77), |
|
æ 3 −4 |
5ö |
|
A = (−6Ѕ |
04), |
|
æ 2 1 5ö |
||||
10.3. |
B = ç |
2 |
−3 |
1÷ ; |
10.7. |
B = ç 3 2 0÷ ; |
||||||||
|
|
|
|
è 3 −5 |
−1ø |
|
|
|
|
è 0 0 1ø |
||||
|
A = (−23 41), |
|
æ 2 7 |
3ö |
|
A = (53 12), |
æ |
3 |
1 |
1ö |
||||
10.4. |
B = ç 3 9 |
4÷ ; |
10.8. |
B = ç |
2 |
0 |
1÷ ; |
|||||||
|
|
|
|
|
è 1 5 3ø |
|
|
|
è 0 |
1 −1ø |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ −2 |
1 |
0ö |
||
10.9. |
A = (13 79), B = ç |
3 |
1 |
1÷ ; |
|||
|
|
|
è |
1 |
2 |
−1ø |
|
|
A = (43 |
22), |
æ 2 |
1 |
1ö |
|
|
10.10. |
B = ç 3 |
0 |
1÷ ; |
||||
|
|
|
è 0 |
1 |
4ø |
|
|
|
A = (24 −11), |
æ |
|
1 |
3 |
1ö |
|
10.11. |
B = ç |
|
4 |
1 |
1÷ ; |
||
|
|
|
è −5 −4 −1ø |
||||
|
A = (−31 −21), |
B = |
æ |
5 |
3 −1ö |
||
10.12. |
ç |
0 |
1 |
2÷ ; |
|||
|
|
|
|
è −1 |
1 |
0ø |
|
|
A = (−72 −11), |
B = |
æ |
1 −2 |
3ö |
||
10.13. |
ç |
3 |
−1 |
0÷ ; |
|||
|
|
|
|
è |
0 |
4 |
2ø |
|
A = (42 |
53), |
æ9 |
7 |
6ö |
|
|
10.14. |
B = ç 1 |
1 |
2÷ ; |
|
|||
|
|
|
è 1 |
1 |
1ø |
|
|
|
A = (−05 |
21), |
B = |
æ |
1 |
3 −2ö |
|
10.15. |
ç |
2 |
−1 |
1÷ ; |
|||
|
|
|
|
è |
3 |
2 |
0ø |
|
A = (−71 −−21), |
B = |
æ |
1 −1 |
2ö |
||
10.16. |
ç |
2 |
4 −1÷ ; |
||||
|
|
|
|
è |
4 |
2 |
0ø |
|
A = ( |
21 −21), |
|
æ |
5 |
−6 |
4ö |
||
10.17. |
B = ç |
3 |
−3 |
2÷ ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
4 |
−5 |
2ø |
|
A = ( |
21 −63), |
|
æ −1 −1 |
2ö |
||||
10.18. |
B = ç |
0 |
5 −3÷ ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
è −1 |
4 |
0ø |
|
|
A = ( |
31 −42), |
|
æ |
2 |
3 |
1ö |
||
10.19. |
B = ç |
4 −1 |
1÷ ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
è |
5 |
1 |
1ø |
|
A = ( |
−11 |
01), |
|
æ |
4 |
−3 |
2ö |
|
10.20. |
B = ç |
6 |
−2 |
3÷ ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
5 |
−3 |
2ø |
|
A = ( |
−11 |
72), |
|
æ |
5 |
−6 |
4ö |
|
10.21. |
B = ç |
3 |
−3 |
2÷ ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
4 |
−5 |
2ø |
|
A = ( |
12 13), |
|
æ |
4 |
5 |
1ö |
|
|
10.22. |
B = ç |
3 |
4 |
0÷ ; |
|||||
|
|
|
|
|
è |
1 |
1 −1ø |
|
|
|
A = ( |
51 |
−23), |
|
æ 2 3 5ö |
|
|||
10.23. |
B = ç 3 7 |
4÷ ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
è 1 2 2ø |
|
||
|
A = (11 01), |
|
æ |
2 |
1 −1ö |
|
|||
10.24. |
B = ç |
1 |
2 |
1÷ . |
|||||
|
|
|
|
|
è |
1 −2 |
0ø |
|
11.Методом Гаусса найти общее решение и какое-нибудь частное решение (если таковые существуют).
|
ì3x + 2x |
+ x |
+ x - 3x |
= -2, |
|
ì2x |
+ |
3x |
- x |
+ x |
= 1, |
||||||||||||||||
11.1. |
ï |
1 |
|
x2 |
+ 2x3 |
+ 2x4 |
+ 6x5 |
= 23, |
11.5. |
ï8x1 |
+ 12x2 |
- 9x3 |
+ 8x4 |
= 3, |
|||||||||||||
í |
x |
+ |
x2 |
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ |
x5 |
= 7, |
í4x1 |
+ |
6x2 |
+ 3x3 |
- 2x4 |
= 3, |
|||||||||||
|
ï |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
ï |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
î5x1 |
+ |
4x2 |
+ |
3x3 |
+ |
3x4 |
- |
x5 |
= 12; |
|
î2x1 |
+ |
3x2 |
+ 9x3 |
- 7x4 |
= 3; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì3x |
+ 2x |
+ 5x |
+ 4x |
= 3, |
|||||||
|
ì2x |
- x - x + 3x = 1, |
|
11.6. |
ï2x11 |
+ 3x22 |
+ 6x33 |
+ 8x44 |
= 5, |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5, |
|
í |
x1 |
- 6x2 |
|
- 9x3 |
|
- 20x4 |
= -11, |
||||||
11.2. |
ï4x1 |
- |
2x2 |
- |
x3 |
+ |
x4 |
= |
|
|
ï |
|
|
||||||||||||||
í6x |
- 3x |
- |
x |
- |
x |
|
= |
9, |
|
|
î4x1 |
+ |
x2 |
+ 4x3 |
|
|
|
= |
2; |
||||||||
|
ï2x1 |
- |
x2 |
+ 2x3 |
- 12x4 |
= 10; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
î |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x |
- x + 5x - 6x |
= 1, |
|
|
ì 2x |
- x |
+ 3x - 2x |
= 4, |
||||||||||||||||||
11.3. |
ï2x1 |
- x2 |
- 3x3 |
+ 4x4 |
= 5, |
|
11.7. |
ï |
4x1 |
- 2x2 |
+ 5x3 |
+ x4 |
= 7, |
||||||||||||||
í2x1 |
- |
x2 |
+ |
x3 |
- |
x4 |
= 3, |
|
í |
2x1 |
- x2 |
+ |
x3 |
+ 8x4 |
= 2, |
||||||||||||
|
ï |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ï |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
î4x1 |
- |
2x2 |
- |
2x3 |
+ |
3x4 |
= 2; |
|
|
î14x1 |
- 7x2 |
+ 22x3 |
- 19x4 |
= 29; |
||||||||||||
|
ì2x |
+ 7x |
+ 3x + x |
= 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.4. |
ï |
x11 |
+ 3x22 |
+ 5x33 |
- 2x44 |
= 3, |
|
|
ì2x - 3x + 5x + 7x = 1, |
||||||||||||||||||
í |
x1 |
+ 5x2 |
- 9x3 |
+ 8x4 |
= 1, |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
= 2, |
|||||||||
|
ï |
|
11.8. |
ï4x1 |
- |
6x2 |
+ 2x3 |
+ |
3x4 |
||||||||||||||||||
|
î5x1 |
+ 18x2 |
+ 4x3 |
+ 5x4 |
= 12; |
|
í2x |
- 3x |
- 11x |
- 15x |
= 1, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï6x1 |
- 9x2 |
- x3 |
- x4 |
= 3; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì3x + 3x - 2x |
- 4x |
= 1, |
|||||
11.9. |
ï2x1 |
- x2 |
+ 3x3 |
- 4x4 |
= 3, |
|||
í |
x1 |
- 14x2 |
+ 21x3 |
- 8x4 |
= 12, |
|||
|
ï9x1 |
+ 18x2 |
- 19x3 |
- 8x4 |
= -1; |
|||
|
î |
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
ì3x |
- 2x |
+ 5x |
+ 4x |
= 2, |
|||
11.10. |
ï6x1 |
- 4x2 |
+ 4x3 |
+ 3x4 |
= 3, |
|||
í9x1 |
- 6x2 |
+ 3x3 |
+ 2x4 |
= 4, |
||||
|
ï3x1 |
- 2x2 |
- 13x3 |
- 11x4 |
= -1; |
|||
|
î |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
ì3x + 4x + x + 2x = 3, |
|
||||||||||||
|
ï |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
= 7, |
|
||
11.11. |
í6x1 |
+ 8x2 |
+ 2x3 |
+ |
5x4 |
|
||||||||
|
ï9x |
+ 12x |
2 |
+ 3x |
+ 10x |
|
= 13; |
|
||||||
|
î |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
||
|
ì5x - 5x + 8x - 7x = 3, |
|
|
|||||||||||
|
ï |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
= 2, |
|
|
||
11.12. |
í |
x1 |
- x2 |
+ |
2x3 |
- |
x4 |
|
|
|||||
|
ï |
x |
- x |
+ x |
- 2x |
= 1; |
|
|
||||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ì5x |
- 3x |
+ 2x |
+ 4x |
= 3, |
|
|
|||||||
11.13. |
ï4x1 |
- 2x2 |
+ 3x3 |
+ 7x4 |
= 1, |
|
|
|||||||
í8x1 |
- 6x2 |
- |
x3 |
- |
5x4 |
= 9, |
|
|
||||||
|
ï7x1 |
- 3x2 |
+ 7x3 |
+ 17x4 |
= 0; |
|
|
|||||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ì2x + x - x - x + x |
= 1, |
||||||||||||
11.14. |
ï |
x1 |
- x2 |
+ x3 |
+ x4 |
- 2x5 |
= 0, |
|||||||
í |
3x1 |
+ 3x2 |
- 3x3 |
- 3x4 |
+ 4x5 |
= 2, |
||||||||
|
ï4x1 |
+ 5x2 |
- 5x3 |
- 5x4 |
+ 7x5 |
= 3; |
||||||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
ì2x - 3x + 5x + 7x = 1, |
|
|
|||||||||||
|
ï |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
= 2, |
|
|
|
11.15. |
í4x1 |
- 6x2 |
+ |
2x3 |
+ |
3x4 |
|
|
|
|||||
|
ï2x |
- 3x |
- 11x |
|
- 15x |
|
= 1; |
|
|
|||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ì3x - 2x + 5x + 4x = 2, |
|
|
|||||||||||
|
ï |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
= 3, |
|
|
||
11.16. |
í6x1 |
- 4x2 |
+ |
4x3 |
+ 3x4 |
|
|
|||||||
|
ï9x |
- 6x |
+ 3x |
+ 2x |
= 4; |
|
|
|||||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ì2x |
- x |
+ x |
+ 2x |
+ 3x |
|
= 2, |
|||||||
11.17. |
ï6x1 |
- 3x2 |
+ 2x3 |
+ 4x4 |
+ 5x5 |
= 3, |
||||||||
í6x1 |
- 3x2 |
+ 4x3 |
+ 8x4 |
+ 13x5 |
= 9, |
|||||||||
|
ï4x1 |
- 2x2 |
+ x3 |
+ x4 |
+ 2x5 |
= 1; |
||||||||
|
î |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
ì6x |
+ 4x |
+ 5x |
+ 2x |
+ 3x |
= 1, |
|
11.18. |
ï3x1 |
+ 2x2 |
+ 4x3 |
+ x4 |
+ 2x5 |
= 3, |
|
í3x1 |
+ 2x2 |
- 2x3 |
+ x4 |
5 |
= -7, |
||
|
ï9x1 |
+ 6x2 |
+ x3 |
+ 3x4 |
+ 2x |
= 2; |
|
|
î |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
ì8x |
+ 5x |
- 10x - 3x |
= 37, |
|
||
11.19. |
ï |
x1 |
+ 5x2 |
+ 3x3 |
+ 2x4 |
= 13, |
|
í |
x1 |
+ x2 |
3 |
4 |
= 5, |
|
|
|
ï |
1 |
2 |
- 2x3 + x4 = -2; |
|
||
|
î3x1 |
- 2x2 |
|
ì 8x1 - x2 - x3 + 3x4 = 30,
11.20.ïí 5x1 - 5x2 - x3 - 2x4 = 1,
ï10x1 + 3x2 + 2x4 = 51, î 3x1 + 2x2 + x4 = 19;
|
ì3x |
+ x |
+ 2x |
+ |
2x |
= 27, |
||||
11.21. |
ï4x1 |
+ 3x2 |
- |
x4 |
= 50, |
|||||
í9x1 |
+ 7x2 |
- 6x3 |
+ 17x4 |
= 93, |
||||||
|
ï2x1 |
+ 2x2 |
- 7x3 |
+ |
7x4 |
= 12; |
||||
|
î |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
ì5x |
+ 5x |
+ |
7x |
|
- |
4x |
= -19, |
||
11.22. |
ï5x1 |
+ 6x2 |
+ 24x3 |
- 14x4 |
= -74, |
|||||
í2x1 |
+ 4x2 |
+ |
x3 |
|
|
4 |
= -17, |
|||
|
ï |
1 |
2 |
|
3 |
+ 2x4 |
|
|||
|
î |
|
x2 |
- |
3x3 |
= 1; |
ì 2x1 - 4x2 + 2x3 + x4 = -23,
11.23.ïí10x1 - 9x2 + 7x3 - 5x4 = -37, ï 10x2 + 2x4 = 96, î 4x1 + 3x2 + = 62;x3
|
ì5x |
+ 3x |
+ |
x |
- |
x |
= |
37, |
|
11.24. |
ï5x1 |
2 |
+ 18x3 |
+ 2x4 |
= 122, |
||||
í6x1 |
+ 2x |
+ |
5x3 |
+ |
x4 |
= |
64, |
||
|
ï2x1 |
+ x2 |
+ |
3x3 |
|
4 |
= |
28. |
|
|
î |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
12. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений.
|
ì x |
+ 2x |
+ 4x |
- 3x |
= 0, |
|
ì5x |
+ 6x |
- 2x |
+ 7x |
+ 4x |
= 0, |
||
12.1. |
ï |
3x1 |
+ 5x2 |
+ 6x3 |
- 4x4 |
= 0, |
12.3. |
ï2x1 |
+ 3x2 |
- x3 |
+ 4x4 |
+ 2x5 |
= 0, |
|
í4x1 |
+ 5x2 |
- 2x3 |
+ 3x4 |
= 0, |
í7x1 |
+ 9x2 |
- 3x3 |
+ 5x4 |
+ 6x5 |
= 0, |
||||
|
ï |
3x1 |
+ 8x2 |
+ 24x3 |
- 19x4 |
= 0; |
|
ï5x1 |
+ 9x2 |
- 3x3 |
+ x4 |
+ 6x5 |
= 0; |
|
|
î |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
î |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
ì3x |
+ 2x |
+ x |
+ 3x |
+ 5x |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2. |
ï6x11 |
+ 4x22 |
+ 3x33 |
+ 5x44 |
+ 7x55 |
= 0, |
|
ì |
3x |
+ 4x |
+ x |
+ 2x |
+ 3x = 0, |
||||
í |
+ 6x2 |
+ 5x3 |
+ 7x4 |
+ 9x5 |
= 0, |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
= 0, |
|
|
ï9x1 |
12.4. |
ï5x1 |
+ |
7x2 |
+ |
x3 |
+ |
3x4 |
+ 4x5 |
|||||||
|
î3x1 |
+ 2x2 |
|
+ 4x4 |
+ 8x5 |
= 0; |
í4x |
+ |
5x |
+ 2x |
+ |
x |
+ 5x |
= 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï7x1 |
+ 10x2 |
+ x3 |
+ 6x4 |
+ 5x5 |
= 0; |
||||
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|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
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2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
10