Dyukarev, Litvinova Diff

x t,

x t Сt2, С .

x t

2.Розглянемо диференціальне рівняння вигляду

x

f

at b x c

,

a ,b ,c ,a ,b ,c

1

1

1

.

(2.3)

a t b

x c

1 1 1 2

2 2

2

2

2

Якщо визначник

a1

b1

=0, то рядки цього визначника пропорційні, і

a2

b2

рівняння (2.3) має

вигляд

(1.9). Тому заміною

z a1t b1x

рівняння (2.3)

зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Якщо ж визначник 0, то розглянемо систему рівнянь

a1t b1x c1 0a2t b2x c2 0 .

Єдиний

розв’язок

цієї системи позначимо

(t0,x0).

Заміною

змінних

t t0,

y x x0

рівняння зводиться до однорідного.

Приклад 2.2. Розв’язати рівняння x

x 1

2

2

.

t x 2

Це рівняння вигляду (2.3),

причому визначник

0

1

0.

Розглянемо

1

1

систему

x 1 0

.

t x 2 0

Її єдиним розв’язком

є x 1 та

t 3. Заміною

змінних t 3

та

y x 1

рівняння перетворюється на однорідне:

dy

y2

y

2

2

2

.

d

( y)

2

1

y

2

11

y

Зробимо в цьому однорідному рівнянні заміну z . Отримаємо рівняння з

відокремлюваними змінними:

dz z z3 0. d (1 z)2

Його розв’язки

мають

вигляд z

C exp( 2arctgz). Підставимо

в цю

формулу

y

замість

z.

Отримаємо

y C exp 2arctg

y

.

Звідси,

повертаючись до змінних x та

t, знаходимо розв’язок нашого рівняння:

x 1

(x 1) exp 2arctg

C, C .

t 3

Вправи

Аудиторні

Домашні

Розв’язати рівняння:

Розв’язати рівняння:

№ 2.1. (t x)dt (t x)dx 0.

№ 2.6. (x2 2tx)dt t2 dx 0.

№ 2.2. tx x t tg

x

№ 2.7. (t2 x2)x 2tx.

.

t

x

№ 2.8. tx

x cosln

.

№ 2.3. tx

t2 x2 x.

t

№ 2.9. (x

x t

x t

№2.4. (2t x 1)dt (4t 2x 3)dx 0.

1)ln

.

t 3

t 3

№ 2.5. (t 4x)x 2t 3x 5.

№ 2.10. x

x 2

tg

x 2t

.

t 1

t 1

3. Лінійні рівняння першого порядку

Теорія

1. Неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння

a0(t)x a1(t)x f (t)

,

(3.1)

12

де функції a0(t), a1(t),	f (t) неперервні на деякому інтервалі ( , ), причому
a0(t) 0, t ( , ) та	f (t) 0. Разом з неоднорідним рівнянням (3.1)

розглядатимемо і відповідне йому однорідне лінійне диференціальне рівняння

a0(t)x a1(t)x 0

.

(3.2)

Можна довести, що всі розв’язки рівняння (3.1) (відповідно (3.2)) визначені на

інтервалі ( , ). Більш того, для будь-якого t0		( , )	та будь-якого x0
існує єдиний розв’язок x(t) рівняння (3.1)		(відповідно (3.2))		такий, що
x(t0) x0 . Наступні три теореми задають	структуру		множини	розв’язків
рівнянь (3.1) та (3.2).
Теорема 3.1. Нехай функція x0(t) 0	є розв’язком		однорідного рівняння
(3.2). Тоді формула
x(t) C x0(t),	C

задає всі розв’язки однорідного рівняння (3.2).

Теорема 3.2. (метод варіації довільних сталих). У неоднорідного

рівняння (3.1) існує розв’язок вигляду

x(t) C(t) x0(t).

Тут C(t) неперервна та диференційована функція, яка може бути знайдена за

допомогою інтегрування.
	Теорема 3.3. Нехай функція x0(t) 0		є розв’язком однорідного рівняння
(3.2),	а функція x(t) є розв’язком неоднорідного рівняння (3.1). Тоді формула
	x(t) C x0(t) x(t),		C
задає	всі розв’язки неоднорідного рівняння (3.1).
	Приклад 3.1. Розв’язати рівняння x x t.
	Крок 1. Розглянемо	однорідне рівняння x x 0. Це		рівняння з
відокремлюваними змінними,		всі розв’язки якого мають вигляд
		x(t) C et, Ñ .		(3.3)

13

Крок 2. З теореми 3.2

випливає, що

у

неоднорідного рівняння існує

розв’язок

у вигляді

t

.

Звідси

t

t

.

Підставимо

x(t) C(t)e

x(t) C(t)e

C(t)e

отримані

вирази для x(t)

та

у

вихідне

рівняння.

Отримаємо

x(t)

t

C(t)e

t

C(t)e

t

t. Звідси

t

та

C(t) (t 1)e

t

.

C(t)e

C(t) te

Таким чином,

x(t) (t 1).

(3.4)

Крок 3. З формул (3.3), (3.4) та теореми 3.3 випливає, що всі розв’язки нашого рівняння задаються формулою

x(t) C et (t 1), Ñ .

2. Рівнянням Бернуллі називається

a (t)x

a (t)x f (t) x

,

(3.5)

0

1

де функції a0(t),a1(t), f (t) неперервні на деякому інтервалі

( , ), причому

a0(t) 0, t ( , ), f (t) 0, а – довільне число. При

0 або

1

рівняння (3.5) є лінійним. Тому розглянемо випадок, коли

0 та

1.

Зауважимо, що при 0 рівняння (3.5) має розв’язок

x(t) 0.

Помножимо

обидві частини рівняння (3.5) на x . Отримаємо

a (t)xx

a (t)x1 f (t).

(3.6)

0

1

Зробимо заміну z(t) x(t) 1 . Тоді рівняння (3.6) зводиться до лінійного

рівняння

a0(t)

z(t) a1(t)z(t) f (t).

1

Приклад 3.2. Розв’язати рівняння Бернуллі tx 4x t2

,

t 0.

x

Це рівняння має розв’язок

x(t) 0. Поділимо наше рівняння на

.

x

Отримаємо t

x

4

t2 . Зробимо в цьому рівнянні заміну змінних z

.

x

x

x

14

Рівняння

звелось до

лінійного

рівняння 2t z 4z t2 . Його розв’язок має

lnt

t2

C

lnt

.

вигляд:

z t2

C

. Отже

x

2

2

Таким чином,

x t4 C

x 0.

	lnt 2
			, C ,
	2

Вправи

Аудиторні	Домашні
Розв’язати рівняння:	Розв’язати рівняння:
№ 3.1. tx 2x 2t4.	№ 3.7. t2x tx 1 0.
№ 3.2. (tx et)dt tdx 0.	№ 3.8. x t(x tcost).
№ 3.3. (tx 1)lnt 2x.	№ 3.9. tx (t 1)x 3t2e t.
№ 3.4. (t x2)dx xdt.	№ 3.10. (sin2 x tctgx)x 1.
№ 3.5. tx2 x t2 x3.	№ 3.11. (1 2tx)x x(x 1).
№ 3.6. txdx (x2 t)dt.	№ 3.12. tx 2x t5x3et 0.

4. Рівняння у повних диференціалах. Рівняння, не розв’язані відносно похідної

Теорія

1. Розглянемо диференціальне рівняння

M(t,x) dt N(t,x) dx 0

,

(4.1)

де функції M(t,x) та N(t,x) неперервні та диференційовані в однозв’язної

області 2 .

15

Рівняння (4.1) називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції U(t,x), тобто

dU(t,x) U(t,x)dt U(t,x)dx M(t,x)dt N(t,x)dx.

t x

Для того, щоб рівняння (4.1) було рівнянням в повних диференціалах,

необхідно і достатньо, щоб

M(t,x) N(t,x).

x t

Якщо ліва частина (4.1) є повним диференціалом функції U(t,x), то всі розв’язки рівняння (4.1) задаються формулою

U(t,x) C,

C .

(4.2)

Якщо рівняння (4.1) є рівнянням в повних диференціалах, то для

знаходження функції U(t,x) скористаємося рівностями:

U(t,x)

M(t,x),

U(t,x)

N(t,x).

(4.3)

t

x

Інтегруючи першу рівність по

t, визначимо U(t,x) з точністю до довільної

функції (x):

U(t,x) M(t,x)dt (t,x) (x).

(4.4)

Диференціюємо (4.4) по x, та,

враховуючи другу рівність

(4.3), здобудемо

диференціальне рівняння для визначення функції (x):

d (x)

N(t,x)

(t,x)

.

dx

x

Приклад 4.1. Розв’язати рівняння (2tx 3x2)dt (t2 6tx 3x2)dx 0.

Маємо M(t,x) 2tx 3x2,

N(t,x) t2 6tx 3x2. Тому

M(t,x)

2t 6x,

N(t,x)

2t 6x.

x

t

16

Таким чином, M(t,x) N(t,x) . Тобто наше рівняння є рівнянням в повних

	x		t
диференціалах. Для знаходження функції U(t,x) скористуємося (4.3):
	U(t,x)		2tx 3x2,	U(t,x)	t2 6tx 3x2.	(4.5)
		t		x

Інтегруючи першу з цих рівностей по t, отримаємо:

U(t,x) t2x 3x2t (x).

Підставимо вираз для U(t,x) у другу рівність (4.5). Отримаємо:

t2 6tx d (x) t2 6tx 3x2. dx

Звідси	d (x)	3x2. Функція	(x) є однією з первинних для функції		3x2 ,
	dx
наприклад (x) x3. Тоді			U(t,x) t2x 3x2t x3. Всі розв’язки нашого
рівняння задаються формулою
		t2x 3x2t x3 C,		C .

2. Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідною, мають вигляд:

F(t,x,x) 0 .

Одним з методів розв’язання таких рівнянь є розв’язання відносно x. Набуті

в результаті одне або декілька рівнянь розв’язуються одним з розглянутих раніше методів.

Приклад 4.2. Розв’язати рівняння x3		2tx2 x 2t.
Маємо	x3 2tx2 x 2t (x 2t) (x2	1). Тому вихідне рівняння
еквівалентне	рівнянню x 2t 0. Розв’язки	останнього рівняння мають вигляд

x t2 C,C .

Приклад 4.3. Розв’язати рівняння x2 (sint 2tx)x 2txsint 0.

17

З

рівності x2 (sint 2tx)x 2txsint (x sint) (x 2tx)

випливає, що

вихідне рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь

x sint та

x 2tx.

Розв’язавши ці рівняння, отримаємо

x cost C

та x Cexp(t2).

Вправи

Аудиторні

Домашні

Розв’язати рівняння:

Розв’язати рівняння:

№ 4.1. e xdt (2x te x )dx 0.

№ 4.6. 2txdt (t2 x2)dx 0.

№ 4.2.

3t2 x2

2t3

5x

№ 4.7. (2 9tx2)tdt (4x2

6t3)xdx 0.

x2

dt

x3

dx 0.

№ 4.3.

№ 4.8. (1 x2 sin2t)dt (2xcos2 t)dx 0.

t

(t2 1)cosx

2

dt

dx 0.

№ 4.9. x2 4x3 0.

cos2x 1

sinx

№ 4.4. x2

x2 0.

№ 4.10. x2 2t x 8t2.

№ 4.5. x2(x2 1) 1.

5. Метод введення параметра для рівнянь, не розв’язаних відносно

похідної. Рівняння Клеро і Лагранжа

Теорія

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної, мають вигляд F(t,x,x) 0. Як ми вже зазначали, одним із методів розв’язання таких рівнянь є розв’язок відносно x, тобто призведення рівняння до вигляду x f (t,x). У деяких випадках рівняння F(t,x,x) 0 не вдається

18

розв’язати відносно похідної, але	вдається розв’язати відносно x або
відносно t. Тоді ми здобудемо рівняння вигляду:
x f (t,x),	t g(x,x).

Розглянемо деякі рівняння цього типу, які розв’язуються методом введення параметра.

1. Розглянемо диференціальне рівняння:

t f (x)

,

(5.1)

де функція f

визначена і неперервна та диференційована на інтервалі (a,b).

Рівняння (5.1)

не розв’язане

відносно похідної. Розв’яжемо

його методом

введення параметра.

Нехай

dx

p. Звідси і з (5.1)

маємо

dt

t f (p).

(5.2)

Диференціюємо обидві частини (5.2).

Отримаємо

dt

df (p)

dp. Звідси та з

dp

dx

рівності dt

випливає, що

dx

df (p)

p dp.

Інтегруючи, отримаємо

p

dp

x

df (p)

pdp C,

С .

(5.3)

dp

Формули (5.2)

та

(5.3) задають розв’язок

рівняння (5.1)

в параметричній

формі.

Приклад 5.1. Розв’язати рівняння t exp(x) x.

Нехай

dx

p. Тоді

t ep p.

Звідси

dt ep 1 dp. Отже,

dt

dx ep 1 pdp. Інтегруючи,

отримаємо x (p 1)ep

p2

C. Таким чином,

2

всі розв’язки нашого рівняння задаються в параметричному вигляді:

t ep p

		p	2
	x (p 1)ep			C,	C .
		2

19

2. Розглянемо диференціальне рівняння
x f (x) ,	(5.4)

де функція f визначена і неперервна та диференційована на інтервалі (a,b).

Розв’яжемо рівняння (5.4) методом введення параметра. Нехай dx p. Звідси dt

та з (5.4) маємо

x f (p).

(5.5)

Диференціюємо обидві частини (5.5). Отримаємо dx df (p)dp. Звідси та з dp

рівності

dx pdt

випливає, що

df (p)

pdt

dp.

(5.6)

dp

Далі слід розглянути два випадки.

А) Нехай p 0. Якщо 0 (a,b), то з (5.5)

знаходимо розв’язок рівняння

(5.4):

x f (0).

(5.7)

Якщо ж

0 (a,b), то у нашого рівняння не існує розв’язків у вигляді (5.7).

Б)

Нехай

p 0.

Тоді

з

(5.6)

маємо

dt

df (p)

1

dp.

Інтегруючи,

dp p

отримаємо t

df (p)

1

dp C .

Таким чином, усі розв’язки нашого рівняння

dp

p

мають вигляд:

x f (0),

если

0 (a,b),

df (p)

1

t

dp C,

C

p

dp

x f (p).

Приклад 5.2. Розв’язати рівняння x x4 1.

Нехай	dx	p. Тоді x p4 1 та	dx 4p3dp. Звідси	pdt 4p3dp. Якщо
	dt

20