matan_belaev_1

			1		(здесь
95(603)	lim x
	x 0	x

превышающее z).

96(604) lim sin n2 1 .

n

98(606) lim sin sin .......	sin x
n

[z] – целая часть числа z, т. е. наибольшее целое число, не

97(605) lim sin 2 n2 n .

n

n раз. 99(612) Доказать, что lim n sin 2 en! 2 .

n

Построить графики функций:

100(613) а)

y 1 x100 ,

б)

y lim 1 x2n

х [–1, 1].

n

101(614) а)

y

x100

x 0 , б)

y lim

xn

x 0 .

x100

xn

1

n 1

102(620) а)

y sin1000 x ,

б)

y lim sin 2n

x .

n

xtg2n x

x e

tx

x

x 0 .

103(624)

y lim

.

104(625.1) y lim

4

t 1 etx

n

tg

2n x

1

4

105(625.2)

y lim x sgn

sin 2 n! x

.

106(630) Вычислить:

n

x

x

x

x

lim cos

cos

cos

....cos

2n

n

2

4

8

О.

1. 0; 1. 2. Например 19 . 3. а) f(x) b при х а, б) f(x) ограничена при х а, в) нет таких f(x),

г) f(x) = const = b, д) f(x) любая, е) f(x) непрерывна при х = а и f(x) = b, ж) f(x) b при х ,

з) f(x) при х а, и) f(x) + при х а, к) f(5x) + при х а. 4. а) 0 0 0 х – а b – y b, б) 0 ( ) 0 a x a + b – y b, в) 0 ( ) 0 a – x a

b y b + , г) 0 ( ) x b y b + , д) 0 ( ) x y – b ,

е) 0 ( ) x b – y b, ж) ( ) x y , з) ( ) x y .

	5. а)									1	, б) 0, в) , г)											1		. 6.			1			. 7. 1. 8.				10			. 9.			1				. 10.					1				. 11.		2			. 12.				3		. 13.				1	a b				. 14.				1		.
										4												2					2								9				2										4						27			2						2													2
	15. 2. 16. 0. 17. 0. 18. 0. 19. 0. 20. 0. 21. е. 22. 1. 23.																																														1		. 24. 0. 25.										1		. 26. а) 0, б)										ln 2		. 27. ln8. 28. –
																																															a											5													ln 3
	ln2.
	29.						1			. 30.				1		. 31. 1. 32.									1		. 33.					1	. 34.				1		. 35.			1				. 36.			1				. 37.		19			. 40. а) 2х, б) х, в)														x 2		, г)				x3			.
			3											6											12							3					4		3										6						90																2						2
																					1 x				13																																																									1
															2																																																	1 1													1					2
	41. а) 3 x 1																	,	б)								,			в)	х – 1,				г)				е(х –							1), д)							х –		1.			42. а)												,	б)			2									, в)
																					3 2																																												2 x 1										1		x
														1
		1								1				3
															,
	3		3 1 x															1		. 43. а)					1 ;				ln x				б) cos1 , в)													ln 2 xe x ;									ln 2 1									, г) ln 2 x7 .
	г)		1							1			, д)
																																2																					1
				1 x												1 x										x				x2								x 2								2											2 x 2							2
	44. а) 0 ( ) 0																					0 х – а y ; ) 0 ( )																																		х > y ,
	б) 0 0 х 0 х – а y ; 0 х х y ;

в) b 0 0																			0					х – а f(x) – b ; b 0																																										х f(x) – b ,
г) 0 0															0 х – а f(x) ; 0 х f(x) ,
д) 0 0 х – а f(x) ; 0																																																												х f(x) ,
е) 0 ( ) 0																0		х – а f(x) ; 0																																							( )					х f(x) . 45. 0; 1. 46. 2;
+ .
							3		30						3			10											1								4					. 52.						1											2														1						1
47. 6. 48.									. 49.												. 50. 2											. 51.																						. 53.							. 54. а = 1, b = –1. 55.															. 56.					. 57. 2.
							2								2														24								3											16											3														2						2
									2k 1																										1										1																						x 2									3
58. sec2 a							a														, k Z								.	59.										.		60.					. 61. e 2 . 62. 1.															63. e.				64. e 2 . 65.												. 66. n. 67. e2 .
																		2																		3									4																															2
																																																2									1									3							1												3
																																																																																		1
										1																																																				1					1			1 2											1				2
																															2											2
68. –2. 69. 1. 70.													. 71. 1. 74. а)																	x			, б)				2x						, в)				x 3 ,								г)		x 8 . 75. а)									, б)										, в)										, г)
										2																																																				x					2		x												4	x
1			2
					. 76. 2.
x
		1								a						2								1							1												1					1
77.					. 78. 1. 79.											. 80.									. 81.								. 82. e										3 . 83.										. 84. 0. 87. Ограничена сверху и неограниченна
			2							b														6							2																	2
снизу. 88.							f (a) и						f (b) . 90.														7	. 91. a								1,b															1				(i = 1,2). 95. 1. 96. 0. 97. 1. 98. 0. 100. б) y = 1,
																																			i
																									36																			i				2
если х < 1;
y = 0, если х = 1. 101. б) y = 0, если 0 х 1;																																															y								1	, если х = 1; y = 1, если 1 х + . 102. б) y =
																																																						2
0, если x 2k 1															; y = 1, если x 2k 1																														, к Z. 103. y = x, если х < 0;																						y			1			, если х = 0; y = 1,
													2																														2																											2
													y																	0 x 1													и 4k 1 x 4k 1;																											4k 3 x 4k 2 и
если х > 1. 104.																				x ,				если																																						y =				х, если
4k 2 x 4k 1;														y					1							x , если х =																2к – 1; к N. 105. y = 0, если х – рационально; y = 1, если
																								x
																		2
х – иррационально.
106.				sin x		.
					x

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

Аудиторные занятия. Демидович: 688, 689, 690, 692, 694, 700, 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 846, 850, 854, 871, 881, 895, 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9*,10*,

11*,12*, 13*,14*, 985(а, б), 986(а, б, в, г), 999(а, б, в. г), 1036(а, б, в, г), 10(39,41,48,86,87,88,89,92,94), * 1100(а,б), 11(15,25,41,56,59,61,62,65,90) *

А. Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:

									1						1
		1 x					x2 1												.
688.	y		.	689.	y			.	690. y	x			x 1
		1 x3				x3	3x 2					1			1
											x 1					x

692. y 1 cos x . 4 x2

694.	y sgn sin .	700. y		1
					x
	x
		1		e1 x
4*.	y sgn sin x2 2x 3 .

. 1*. y

1 x

.

2*. y

x

. 3*.

y

2

.

1 2 x

x 2

1

cos x

5*.

y

1

ln

1 x

.

6*. y lim

x2n

1

.

1

x

1 x

n x2n

Найти производные следующих функций:

846.

y

1

x x2

.

850.

y

x2 1 x 3

.

854.

y x

1

x x2

1 x

.

ln 3 sin x cos x

895. y ln x

881.

y

.

x2 1

1*.

3x

2*. y e x2 .

y 1 x

3 3 x3 .

3*.

2 x

1 x2 . 871. y tg 2x ctg 2x . y x x x .

4*. y ex x2 2x 2 .

5*.

y 2 x2 cos x 2x sin x .

6*.

y e x 1 ctg

x

.

7*.

y sin cos2 x cos sin 2 x .

2

8*.

y e x

eex .

9*.

y sin sin sin x .

10*.

y ln ln ln x .

11*. y

cos x

.

2sin 2

x

12*.

y sin x cos x .

13*.

y x2 x 1 x2 x 1 .

12*. y sin cos 2 tg3 x .

Найти у х

если:

x

y

2 x

2 x ;

y arctg

985.

а)

б)

.

x

986.

а)

y f x2 ;

б) y f sin 2

x f cos 2

x ;

в) y f ex e f x ;

г)

y f f f x .

999. Исследовать на дифференцируемость:

а)

y = (x – 1)(х – 2)2(х –

3)3 ;

б)

y = cosx ;

в) y = 2 – х2 sin2x;

г) y = arcsin(cosx).

1036. Определить область существования обратных функций х = х(у) и найти х у если:

а) y = x + lnx;

б) y = shx;

в) y = x + ex;

г) y = thx.

Найти у х, если:

1048. х2 + 2ху – у2 = 2х.

1039. x 3

1

y

1 3

x a cos t, y bsin t .

t ,

t .

1041.

Найти dy, если:

1

x

1

x a

1086.

y

arctg

.

1087.

y

ln

.

1088.

y ln

x

x2 a2

.

x a

a

a

2a

1089.

y arcsin

x

.

1092.

y

u

.

1094.

y arctg

u

.

a

v 2

v

d

x

3

6

9

;

*).

Найти:

а)

2x

x

б) x

ln x x ex .

dx3

1100. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

б) sin29 .

а)

0,98 ;

Найти производные указанного порядка:

1115.

у = (1 + х2)arctgx;

y

2

?

1125.

y = f(x2);

y 2 ,

y 3

?

x

x

x

1141.

x a cos t ;

y

, y ,

y

?

1156. у = x(2x – 1)2(х + 3)3;

у(6),

у(7)

– ?

x

x

2

x3

y a sin t

1199.

y

x 2

;

y(8) – ?

1161.

y x2 e2 x ;

y(20) – ?

1162.

y

e2 x

;

y(10) – ?

1 x

x

1165.

y x2 sin 2x ;

y(50) – ?

1190.

y

1

;

y(n) – ?

x2

Найти d2f, если

f = f(1 + x2),

3x 2

*).

где x = sint.

Д1. Демидович: 697, 702, 717, 720, 723, 725, 760, 762, 852, 855, 908, 911, 934, 979, 984, 1004, 1040, 1044, 1051, 1054.

d arcsinx d arccosx .

	y	x
687. Определить характер точек разрыва функции			.
		1 x 2

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции:

				1				1		x 0 .
702.	у = х – [x]. 717.	y e		x .		720. y lim			,
								xn
						n 1
723.	y lim cos 2n x .	725.				y lim xarctg nctgx .
	n					n
760. Найти обратную функцию						х = х(у), если		у(х) = х + [x].

762. Показать, что уравнение ctgx = kx kR и x (0, ) имеет единственный непрерывный корень х = х(u).

Найти производные функций:

1

1

1

y 1 x

1

1

1

852.

y

. 855.

2 x2

3

3 x3 .

908.

y

ln

.

4x4

16x4

x

x

3 x

x

y x sin ln x cos ln x .

x

a2

x

a 0 .

911.

934. y

a 2

x

2

arcsin

,

2

2

a

1 x

x 1

979. Найти у и построить графики у(х) и у (х), если:

x 2 x 1 x 2 .

y 1

2 x

x 2

984. Производная от логарифма данной функции y = f(x) называется логарифмической

производной

этой

функции:

y

d

ln

f x

f x

.

Найти логарифмическую

y

dx

f x

а) y x

1 x

y

x2

3 x

производную, если:

;

б)

3

;

1 x

1 x

3 x 2

в) y x a 1

x a

2 x a

n ;

y x

n .

2

n

г)

1 x2

1

1004. Для f(x)

определить левую f –(x)

и правую f +(x) производную, если

x

f x

x 0

1 e1 x

.

0

x 0

Найти у х, если:							x a t sin t
1040.	x sin 2 t			.	1044.	f x			.	1051.
	f x	2	t
	y cos						y a 1 cos t
1054.	а) = а (спир. Архимеда);					б) = а(1 + cos )		(кардиоида);
	в) = аеm (логарифмич. спираль); ,						– полярные координаты.

x y a .

парабола

Д2. Демидович: 1090, 1093, 1096(г, д), 1102, 1103, 1105, 1114, 1119, 1122, 1126, 1128, 1132, 1142, 1144, 1148, 1157, 1158, 1164, 1166, 1169, 1173, 1189, 1203, 1207.

x

1

ln x

d

;

2

2

1090. Найти: а) d(xe );

б) d(sinx – cosx); в)

d

;

г)

d

;

д)

a

x

3

x

x

x

1

е)

d

; ж) dln(1 – x2);

з)

d arccos

; и)

1 x

2

x

1093. Найти dy, если y

1

d

tgx

.

1096. г)

;

d ctgx

u 2 v2

	sin x				1		x
						ln	tg					.
	2 cos	2	x		2			2
										4

д)

С помощью дифференциалов, приближенно вычислить: 1102. arctg1.05. 1103 lg11.

x

1105. Доказать приближенную формулу:

n a n

x a

(а > 0), где х << a и с ее

na n 1

помощью вычислить:

а) 3 9 ;

б)

4 80 ;

в)

7 100 ; г)

10 1000 .

Найти y 2 :

1114. y = tgx.

1119. y = [sinlnx + coslnx].

1122. y ln

u

.

x

v

Найти y 3 :

1

1126. y f

.

1128.

y = f(lnx).

x

x

Найти d2y:

1132.

y

ln x

.

1133.

y = xx.

x

x f t

Найти y ,

y ,

y : 1142. x a t sin t

. 1144.

.

1148. х2 – ху + у2 = 1.

x

x2

x3

y a 1 cos t

y tf t f t

Найти производные указанного порядка:

1157.

y

a

;

у – ?

1158. y

1164.

y

ln x

;

у(5) – ?

x

; у(10) – ?

xm

x

1166.

y

cos 3x

; у – ?

1169. y = excosx;

yIV – ?

3 1 3x

1173. Найти d10y, если y = xcos2x.

1189. Найти y(n), если

y

1

.

x 1 x

Найти y(n):

1203. y = x2sinax.

1207.

y = exsinx.