matan_belaev_1
.1.pdfРисунки иллюстрируют тот факт, что числовая прямая R, расширенная и топологически эквивалентна полуокружности с включенными крайними точками дуги или отрезку, а числовая прямая R, расширенная топологически эквивалентна окружности.
Т○ На числовой прямой R, расширенной и всякое непустое числовое множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань (может быть несобственную). ∆ ▲
Примеры. |
|
1○ X= N. |
inf X = minX =1, supX = , maxX не существует. |
2○ X= Q. |
inf X = , supX = , maxX и minX не существуют. |
|
§ ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК |
Характеристическое свойство промежутка вместе с любыми двумя точками промежутка в нем содержится и всякий промежуток, лежащий между ними.
Основные типы промежутков
а) интервал (a, b) = {xR a x b}
б) полуинтервал a, b) = {xR a x b} или (a, b = {xR a x b} б) сегмент a, b = {xR a x b} .
Def. Открытой окрестностью точки a называется любой, содержащий ее, интервал. Открытая окрестность точки a обозначается Ua.. Интервал является открытой окрестностью любой своей точки.
Def. Открытой -окрестностью точки a называется множество О(а, )
О(а, ) (а, а+) = { xR x a }.
Def. Проколотой окрестностью точки a называется множество U a U a \ {a}. Def. Проколотой -окрестностью точки a называется множество
O (а, ) (а, а+) \ {a} = { xR 0 x a }.
Def. Односторонней окрестностью точки a называется пересечение окрестности a с одной из полупрямых, на которые она разбивает числовую прямую
U U |
a |
[a, ] |
, |
U ( , a] U |
a |
; |
a |
|
|
a |
|
|
U |
|
(a, ] |
|
|
( , a) U |
|
|
U |
a |
, |
U |
a |
. |
|||
|
a |
|
|
|
a |
|
Def. Для бесконечно удаленных точек окрестности определяются следующим образом:
Левая полуокрестность точки + : |
О( , ) ( , + ) , |
Правая полуокрестность точки : |
О( , ) ( , ) . |
§ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВА
Def. Точка а называется внутренней точкой множества М, если она входит в множество М вместе с некоторой своей окрестностью: Ua Ua М.
множество всех внутренних точек множества М называется внутренностью
множества ( M ).
множества совпадающие со своей внутренностью называются открытыми, т.е. множество является открытым если все его точки внутренние ( пример открытого множества интервал).
Def. Точка а называется точкой прикосновения множества М, если любая ее окрестность имеет точки общие с множеством М Ua Ua М .
совокупность точек прикосновения множества называется замыканием множества. ( M ).
множество совпадающее со своим замыканием называются замкнутым ( пример замкнутого множества сегмент).
Def. Точка а называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если любая
|
|
|
|
ее проколотая окрестность имеет с М общие точки |
U a |
|
U a М . |
множество всех предельных точек множества М называется производным множеством ( M ).
Def. Точка а называется изолированной точкой множества М , если существует ее окрестность не имеющая с М общих точек, кроме точки а
|
|
|
|
Ua Ua М = { a } |
|
a M U a |
U a М = . |
Def. Точка а называется граничной точкой множества М , если любая ее окрестность имеет точки принадлежащие множеству М и точки не принадлежащие множеству М
Ua x Ua М y Ua y М .
совокупность граничных точек множества называется границей множества.
Def. Точка а называется внешней точкой множества М, существует ее окрестность, не имеющая с множеством общих точек Ua Ua М = .
Кроме того, числовая прямая обладает двумя важнейшими свойствами, принятыми в качестве аксиом
1 . Полуотделимость точек |
a, b R |
a b |
Ua |
b Ua . |
|||
2 . Отделимость точек |
|
a, b R |
a b |
Ua , |
Ub |
Ua Ub = . |
|
|
§ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ |
|
|||||
Рассматриваются числовые функции числового аргумента |
|
|
|||||
f D ( f ) E( f ) |
|
D ( f ) R, |
E( f ) R, |
|
|||
g D ( g ) E( g ) |
D ( g ) R, |
E( g ) R. |
|
Операции над числовыми функциями числового аргумента вводятся поточечно, т.е.
1 . ( f + g)(x) f (x) + g(x), |
D( f + g) = D( f ) D( g) |
2 . ( f )(x) f (x) , |
D( f ) = D( f ) |
3 . ( f g)(x) f (x) g(x), |
D( f g) = D( f ) D( g) |
4 . ( f g)(x) f (x) g(x), |
D( f g) = D( f ) D( g) \ { x g(x) = 0 }; |
5 . ( f ○ g)(x) f ( g(x)), |
D( f ○ g) = D( g )\ { x g(x) D( f ) }; |
Последнее равенство определяет суперпозицию двух функций f и g.
Теперь дадим определение предела числовой функции. Мы приведем несколько определений, которые эквивалентны, но сформулированы с применением несколько различных форм записи:
Def. Число b называется пределом функции f (x) при x стремящемся к a, где a точка сгущения области определения функции f (x) , если для любой окрестности Ub точки b
найдется проколотая окрестность V a точки a, образ которой содержится в заданной
окрестности точки b |
f (V a ) Ub. |
|
|
V a f |
(V a ) Ub. |
|
||
|
lim f (x) = b : a D( f ) Ub |
|
||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
Def. Еще одно определение предела функции |
V a x D( f ) V a |
|
||||||
|
lim f (x) = b : a D( f ) Ub |
f (x) Ub. |
||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
Def. То же самое |
|
|
|
|
x V a f (x) Ub. |
|||
lim f (x) = b : a D( f ) Ub V a |
x D( f ) |
|||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Def. И вновь |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = b : a D( f ) 0 |
0 x D( f ) |
0 x a f (x) b . |
||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Def. И, наконец, определение предела функции для несобственных элементов |
||||||||
* если a R, |
b= |
a D( f ) Ub V a |
f (V a ) Ub |
|
|
|
||
|
|
a D( f ) |
0 |
x D( f ) 0 |
x a |
f (x) . |
||
* если a R, |
b= |
a D( f ) Ub |
V a |
f (V a ) Ub |
|
|
||
|
|
a D( f ) |
0 |
x D( f ) 0 |
x a |
f (x) . |
||
* если a = , b R |
a D( f ) Ub |
V a |
f (V a ) Ub |
|
||||
|
|
a D( f ) 0 x D( f ) x f (x) b . |
||||||
* если a= , b R |
a D( f ) Ub |
V a |
f (V a ) Ub |
|
||||
|
|
a D( f ) 0 x D( f ) |
x f (x) b . |
Примечание Предел функции определяется поведением функции в произвольно малой проколотой окрестности предельной точки и не зависит ни от частного значения функции в предельной точке ни от поведения функции вне произвольно малой окрестности предельной точки.
Примечание Два слова о существовании и не существовании предела функции
lim f (x) : |
b |
|
|
, R |
lim f (x) = b |
|
R |
||||||
x a |
|
|
|
|
|
x a |
lim f (x) : b |
|
, R |
lim f (x) = b |
|||
R |
||||||
x a |
|
|
|
|
|
x a |
Запишем еще раз определение предела функции на языке
lim f (x) = b : a D( f ) 0 |
0 x D( f ) 0 x a f (x) b . |
||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что а) подчеркнутое звездочками указывает на то, какой предельный процесс описывается
б) подчеркнутое кружечками указывает на то, что точка а обязательно должна быть точкой сгущения и значения x выбираются из области определения функции. При сокращенной записи, это зачастую не пишут несмотря на обязательность.
И отметим, что при a D( f ) о пределе имеет смысл говорить, а при a D( f ) о пределе
вообще не имеет смысла говорить |
|
в) подчеркнутое сплошной линией указывает куда стремится функция |
f (x) b |
б) подчеркнутое линией из точек указывает куда стремится аргумент |
x а. |
Запишем теперь сокращенное определение того, что f (x) b при x а на языке
lim f (x) = b : 0 |
0 0 x a f (x) b . |
x a |
|
|
|
Если изменяется характер стремления функции или аргумента то записать модифицированное определение предела поможет нам
Словарик
f (x) b
f (x) b+0
f (x) b 0 f (x)
f (x) + f (x)
x а
x а+0 x а 0 x
x + x
А) |
|
|
|
|
|
0 |
|
f (x) b |
|||
0 |
|
b f (x) b+ |
|||
0 |
|
b f (x) |
b |
||
|
|
f (x) |
|||
|
|
f (x) |
|
||
|
|
f (x) . |
|||
Б) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 x a |
|
|
|
0 |
|
a x a+ |
|
|
|
0 |
|
a x a |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
Пользование этим словариком может существенно упростить процесс записи определения предела функции.
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . f (x) = x sin |
1 |
, |
x 0. |
lim f (x ) = 0. |
|
|
|
||
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||
В самом деле |
f (x) 0 = f (x) = x sin |
1 |
= x sin |
1 |
|
x . |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
2 . f (x) = Const |
|
|
|
lim f (x ) = Const. |
|
|
|
||
|
|
|
|
x a |
|
|
|
||
Действительно |
|
f (x) Const = Const Const = 0 . |
|
Т○ ( О единственности предела) Предел функции при x a, если он существует, определяется однозначно.
∆ Доказательство проводится от противного и основано на свойстве отделимости точек числовой прямой ▲
§ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Def. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0, если предел функции равен
значению функции в точке. |
lim f (x ) f (x |
0 ) . |
|
x x0 |
|
Def. Функция, по определению, считается непрерывной в каждой изолированной точке своей области определения.
Def. Функция f (x) |
непрерывна в точке x0 |
|
|
|
|
x0 D( f ) 0 0 |
|
xD(f ) |
x x0 f (x) f (x0) . |
Def. Функция f (x) непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Def. Точки замыкания области определения функции в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функции.
Примечание Непрерывность функции означает, что знак функции и знак предела
перестановочны |
lim |
f (x ) f ( lim x ) . |
|
x x0 |
x x0 |
§НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Базисные (основные) элементарные функции это константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции и функции обратные к ним.
Элементарные функции это функции, полученные из базисных элементарных функций с помощью конечного числа операций (арифметических действий) и суперпозиций.
Элементарные функции непрерывны в области определения.
Чрезвычайно важный факт, который будет доказан по мере расширения наших знаний по теории непрерывных функций. А пока несколько примеров.
Примеры элементарных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . f (x) = x = |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
4 3 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 . f (x) = |
|
|
3 x |
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
x 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . f (x) = |
|
x |
|
1 |
x 0 |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
x 0 |
|
|
|
|
1 |
и
Примеры неэлементарных функций
1 . f (x) = [x] Целая часть x наибольшее целое число не превосходящее x. Функция имеет точки разрыва при целочисленных значениях x.
2 . f (x) = {x} = x x Дробная часть x. Также разрывна в целочисленных точках.
|
1 |
x 0 |
|
3 . f (x) = sgn x = |
|
0 |
x 0 . |
|
|
|
|
|
1 |
x 0 |
|
|
|
|
|
И маленькое примечание функции f (x) = [x], f (x) = {x} и f (x) = sgn x не элементарные,
а функция |
f (x) = arcsin(log |
7 |
(2x cos x )) exp x |
элементарная. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
|||
Def. Вещественно-значная функция натурального аргумента называется |
|||||
последовательностью. |
|
|
|
|
|
f N R |
каждому натуральному числу n ставится в соответствие xn= x(n). |
||||
Обозначается {xn } |
или просто {xn }. |
|
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
xn элемент последовательности. Величина xn= x(n) рассматриваемая как функция от n, называется общим членом последовательности.
Единственная точка сгущения у последовательности .
Def. b |
|
|
, |
lim x n |
b 0 |
N( ) |
n > N |
xn b . или |
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
b |
|
, |
lim x n |
b Ub |
N |
|
n > N |
xn Ub. |
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Если последовательность имеет предел то она называется сходящейся, иначе расходящейся.
Предел последовательности зависит от поведения в произвольно малой окрестности(т.е. при достаточно больших n), и не изменится если поменять (или вообще отбросить или добавить ) любое конечное число членов.
Примечание. Учитывая, что у последовательности, единственной точкой сгущения является , в обозначении предела можно не указывать, что n .
Примеры
1 . lim 1
1 n =1. n
Действительно отметим, что x1 = 0, |
x2 = 3/2, |
x3 = 2/3, x4 = 5/4, …. |
|
|||||||||||
А теперь |
0 xn b = |
1 |
1 n |
|
= |
1 |
|
|
|
|||||
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
0 |
N( ) = |
|
|
|
n > N |
xn b . |
|
||||||
|
|
|||||||||||||
2 . |
Нетрудно понять, что |
|
lim 1 n |
не существует. |
|
|||||||||
3 . |
lim qn |
(если q > 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||
В самом деле, если q = 1 + (где 0) |
|
|
||||||||||||
то qn = (1+ )(1+ )(1+ )…..= 1 + n + |
n(n 1) |
2 .... 1+n . |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
РАЗДЕЛ 3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ДР. ВЕЛИЧИНЫ |
||||||||||||
|
|
§ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕРМИНОЛОГИЯ И ПРИМЕРЫ |
||||||||||||
Def. |
Величина f (x) называется бесконечно малой при x a, если lim f (x ) 0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
(Обозначается : f (x) = (1), читается : f (x) есть О-малое от единицы или f (x) есть бесконечно малая величина).
f (x) = (1) : |
|
a D( f ) 0 Va x D(f ) x Va f (x) . |
||||||||
*. Cуществование конечного предела lim f (x ) b равносильно утверждению, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
функция |
(x) f (x) b есть бесконечно малая величина при x a. |
|||||||||
*. Если |
lim f (x ) b |
то |
f (x) b (x) , где (x) = (1) |
при x a. |
||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|||
Примеры : |
|
|
|
|
||||||
10. f (x ) x sin |
1 |
. |
|
Для указанной функции f (x) = (1) |
при x 0 . |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
20. x n |
|
1 n |
. Для данной последовательности xn = (1) при n . |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
Def. |
Если lim f (x) , то величина f (x) называется бесконечно большой величиной. |
|||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
*. Если функция имеет предел равный + или - , то она является бесконечно большой, но бесконечно большая величина не обязательно стремиться к бесконечности
определенного знака, т.е.: lim f (x) |
lim f (x) lim f (x) . |
|||
|
|
x a |
x a |
x a |
Примеры : |
|
|
||
10. x n |
1 n n Для данной последовательности |
lim x n бесконечно большая |
||
|
|
|
|
n |
величина. |
|
|
||
20. x |
n |
n 1 n . Элементы этой последовательности 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6,… |
||
|
|
|
|
Величина не ограниченна, хотя бесконечно большой не является.
Def. Числовая функция называется ограниченной сверху, снизу, ограниченной если таковым является еѐ множество значений.
f (x) ограничена сверху |
M |
x D( f ) |
f (x) M |
|||||||
f (x) ограничена снизу |
m |
x D( f ) |
f (x) m |
|||||||
f (x) ограничена |
m,M |
x D( f ) |
m f (x) M |
|||||||
|
A |
x D( f ) |
|
|
|
f (x) |
|
A |
||
|
|
|
|
|
||||||
f (x) неограничена сверху |
M |
x D( f ) |
|
|
|
f (x) M |
||||
f (x) неограничена снизу |
m |
x D( f ) |
|
|
|
f (x) m |
||||
f (x) неограничена |
A x D( f ) |
|
f (x) |
|
A |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x D( f ) f (x) M m x D( f ) f (x) m .
Def. Числовая функция называется ограниченной …. на множестве X , если таковым является еѐ сужение на множество X .
Сужение : |
f (x) X = f (x) |
x D( f | ) D( f ) X ). |
|
|
x |
Def. Функция f (x) называется (финально) ограниченной … в точке a сгущения еѐ
области определения если |
Va на которой функция ограничена … |
|
f (x) |
ограничена |
… ограничена в любой точке и на любом множестве. |
f (x) |
неограничена |
… в некоторой точке или на некотором множестве |
|
|
неограниченна. |
В данном определении вместо многоточия указывается характер ограниченности (сверху, снизу, … ).
Ограниченность функции обозначается f (x) = O (1), (читается : f (x) есть О-большое от единицы или f (x) есть ограниченная величина).
Примеры :
10. f (x) sin 1x .
ограничена сверху, снизу, ограничена сама по себе, в любой точке на любом множестве.
20. f (x) 1x .
На (0,1) ограничена снизу, неограниченна сверху.
На [1,100) ограничена сверху, ограничена снизу, ограничена.
На [-1,1] неограничена сверху, неограничена снизу, неограничена.
Def. |
Величина |
f (x) называется отделенной от нуля если |
|||||
|
|
|
0 x D( f ) |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Def. |
Функция |
f (x) |
называется отделенной от нуля на множестве X если таково еѐ |
||||
сужение на X . |
|
финально отделена от нуля в точке x a если Va такая, что |
|||||
Def. |
Функция |
f (x) |
функция отделена от нуля в этой проколотой окрестности.
*. Функция отделена от нуля отделена от нуля на любом подмножестве и в любой точке. Но…отделена от нуля в каждой точке не обязательно отделена от нуля.
*. Ненулевая бесконечно малая не отделена от нуля.
*. Функция, имеющая в точке ненулевой предел финально отделена от нуля в этой точке.
*. Если f (x) отделена от нуля |
1 |
ограничена. |
|
||
f (x) |
Примеры :
10. f (x) 1 x 2 (место для рисунка) отделена от нуля.
20. f (x) = x2 Для x 0 функция финально отделена от нуля.
§ ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
10.Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая. 20.Произведение бесконечно малой на ограниченную есть величина бесконечно малая. 30.Величина арифметически обратная к бесконечно большой есть бесконечно малая, а арифметически обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая.
∆ 10. Пусть a точка сгущения для D(f ) и D(g) и, кроме того |
f (x) = (1) и g(x) = (1). |
||||||||||||||||
|
lim f (x ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
0 |
U |
|
x D( f ) U |
|
|
f (x ) |
|
, |
||||||||
a |
a |
|
|
||||||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
V |
|
x D(g) V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
lim g(x ) 0 |
0 |
|
|
g(x ) |
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x a |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь возьмѐм W a |
U a |
Va . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
W a |
x D( f ) D(g) W a |
f (x ) g(x ) |
|
f (x ) |
|
g(x ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и т. д.
20.Теперь пусть |
g(x) = О |
||
|
lim f (x ) 0 |
||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
Вновь возьмѐм |
W a |
U a |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
x D( f |
|
0 |
W a |
(1) и f (x) = (1) .
А Va |
x D(g) Va |
|
|
g(x ) |
|
A , |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
U |
|
x D( f ) |
U |
|
|
|
f (x ) |
|
|
. |
|||||||||
|
a |
a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
Va . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) D(g) W a |
f (x ) g(x ) |
|
f (x ) |
|
g(x ) |
A |
|
|
|
что и т. д. |
|||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
f (x) = (1) |
lim f (x) 0 |
. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 U a x D( f ) U a |
|
f (x ) |
|
|
|
|
. |
что и т. д. |
▲ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
§ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ |
|
||||||||||||||||||
Т . Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то |
|
||||||||||||||||||||||||
также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются : |
|
||||||||||||||||||||||||
|
10. lim( f (x) g(x)) |
|
|
lim f (x) lim g(x) , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
20. lim f (x) g(x) |
|
lim f (x) lim g(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
f (x) |
|
|
|
lim f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
. lim |
|
|
x a |
|
|
|
|
если lim g(x ) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x a |
g( x) |
|
|
|
lim g(x) |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ 10. Пусть lim f (x ) b , lim g(x) c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
f (x ) b 1 (x ) и g(x ) c 2 (x ) , |
где 1 (x ) (1) |
2 (x ) (1) . |
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно |
f (x ) g(x ) b c 1 (x ) 2 (x ) b c (x ) и |
(x) бесконечно |
|||||||||||||||||||||||
мала . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит lim( f (x) g(x)) b c lim f (x) lim g(x) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,30 доказываются аналогично. |
|
|
|
▲ |
|
|||||||||
Т . (о пределе сложной функции). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пусть lim g(x) b ; |
|
lim f (y) c . Тогда lim f ( y) lim f (g(x)) . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
y b |
|
|
|
y b |
x a |
|
Vb |
f (Vb ) U c , |
|||||||
∆ По условию теоремы |
|
|
|
lim f (y) c |
|
b D( f ) |
Uc |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim g(x ) b |
|
|
a D(g) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ub |
|
W a |
g(W a ) U b . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a D( f g) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (g(x)) c |
|
|||||||||||||
Uc |
|
W a |
( f g)(W a ) f (g(W a )) U c |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
что и т. д.▲
Def. Действия с несобственными элементами :
* a |
* ( ) ( ) |
|
|
* a |
|
||||||||
* ( ) ( ) |
* ( ) ( ) |
|
|
* |
|
|
|||||||
* a (если a 0 ) |
* ( ) |
|
|
||||||||||
* ( ) a е. a 0 , |
е. a 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
* |
a |
|
a |
0 |
* |
a |
е. a 0 |
* |
a |
0 е. a 0 , |
0 е. a 0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∆.Докажем например что ( )
Пусть lim f (x) |
и lim g(x) |
|
|
|
|
|
|||
x a |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Тогда |
0 |
U a |
x D( f ) U a |
|
f (x ) |
|
|||
и |
0 |
Va |
x D(g) Va |
|
g(x ) |
|
. |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь возьмѐм |
W a |
U a |
Va . |
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 W a |
|
x D( f ) D(g) W a |
f (x ) g(x ) 2 что и т. д. |
аналогично доказываются остальные соотношения.▲
Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.
Рассматривается (пока) четыре типа неопределѐнностей:
, |
0 , |
|
, |
0 |
. |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
Первые две неопределѐнности сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:
Правило Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел
стоящий справа существует и конечен. |
lim |
f (x) |
lim |
f (x ) |
. |
∆ ▲ |
|
x a |
g(x) |
x a |
g (x ) |
|
Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.
РАЗДЕЛ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ Арифметические действия над непрерывными функциями. суперпозиция непрерывных функций
T0. Сумма, произведение и частное непрерывных функций непрерывны (частное при условии, что знаменатель отличен от нуля).