matan_belaev_1
.1.pdf(x) |
|
f (x) |
|
g ( x) |
|
|
h ( x) |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
g (x) |
|
h (x) |
||||
(x) |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
(x) (x) |
|
|
|
|
|
... |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) |
|
g(x) |
|
|
h( x) |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
g(x) |
|
h(x) |
|||||
Если при этом (x), (x),..., (x) |
также функции от x , то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
g (x) |
|
|
h (x) |
|
|
|
|
|
|
||||
(x) (x) (x) |
|
|
(x) |
|
|
... ( x) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
f (x) |
' g(x) |
|
' h(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x) (x)ln f (x) (x)ln g(x) ... |
(x)ln h(x) . |
|
|
|
|
|
Этот прием нахождения производных в случае произведения ( или частного) называется взятием логарифмической производной и может быть, в некоторых случаях, весьма эффективным.
§. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть Тогда
z (x)
x3
z f (g(x)) ( f |
g)(x) F(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(x) z |
|
|
|
(x) |
2 |
|
|
|
(x) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
zx |
(x) zy ( y) yx (x); |
z |
2 |
y |
2 |
( y) yx |
|
zy |
( y) y |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z 3 ( y) y 3 |
(x) z 2 ( y) 2 y |
(x) y 2 (x) z 2 |
( y) y |
(x) y 2 (x) z |
( y) y 3 (x) . |
||||||||||||||
y |
x |
y |
x |
x |
|
y |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функции f ( y) и g(x) – n-кратно дифференцируемы в точках g(x) и х соответственно. Тогда их суперпозиция ( f g)(x) тоже n –кратно дифференцируема в точке х и ее n-я производная полиноминально выражается через значения n первых
производных функций f ( y) |
и g(x) в т. g(x) и х соответственно. |
|||
§. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |
||||
dy df (x, dx) f (x)dx |
d n y d n f (x, dx) f (n) (x)(dx)n |
f (n ) (x) |
d n f |
|
dxn
d n ( f (x) g(x), dx) d n f (x, dx) d n g(x, dx)
n
d n ( f (x)g(x), dx) Cknd k f (x, dx)d n k g(x, dx) .
k 0
Последняя из написанных формул это формула Лейбница для высших дифференциалов функций, представленных в виде произведения.
§. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
x (t) |
t 1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x |
|||
|
y (t) |
y ( |
(x)) |
|
(x) f (x) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
t |
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x |
|
t |
t |
|
t |
1 |
|
t |
|
|
||
|
t |
|
t |
t2 t t t2t 3
.
Если из двух функций заданных и непрерывных на промежутке одна строго монотонна в окрестности точки t0 , обе дифференцируемы n-кратно в окрестности этой точки и первая производная строго монотонной функции не равна нулю то в некоторой окрестности t0 существует функция, заданная параметрически, тоже n-кратно
дифференцируемая и ее n-я производная рационально выражается через n первых производных функций и .
§. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть y f (x) непрерывна, строго монотонна в окрестности т. x0 , где она n - кратно дифференцируема, причем f (x0 ) 0 . Тогда в окрестности точки y0 f (x0 ) существует
обратная функция x f 1 ( y) , которая непрерывна и строго монотонна в этой окрестности и n – кратно дифференцируема, причем n-я производная обратной функции рационально выражается через n первых производных исходной функции в т. x0 , при этом в знаменателе стоит f (x) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
; |
|
|
|
x 2 |
|
1 |
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xy |
3 |
xy |
2 |
|
xy |
|
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
|
.......................
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y 2 |
1 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
|
x |
|
( y )2 y |
|
( y )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
y 2 |
|
2 |
|
y 3 |
y |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
yx2 |
3 yx |
|
yx2 |
yx3 |
yx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
5 |
|
|
||||||
x |
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
§. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА И НЕИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ВЫСШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИИ
Пусть y f g x . Тогда |
dy(x) |
dy y (x)dx
x
y |
(x)dx f (g)g |
(x)dx f (g)dg |
т.е. |
|
x |
g |
x |
g |
|
и dy y (g)dg .
g
Здесь – независимая переменная, а g – функция зависящая от х.
И, тем не менее, формулы для нахождения первого дифференциала одинаковы.
Это явление выражает инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменных.
Теперь для независимой переменной х
d 2 y(x) d (dy(x)) d ( y |
(x)dx) dy |
(x)dx y |
(x)d (dx) = |
x |
x |
x |
|
= |
y 2 (x)dxdx y |
(x)d 2 x y 2 (x)dx2 y (x)d 2 x . |
|
|||
|
x |
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
||
А для зависимой переменной g |
|
|
|
|
|
|
d 2 y(g) d ( y dy) dy (g)dy y |
(g)d (dg) y 2 |
(g)(dg)2 y |
(g)d 2 g . |
|||
g |
g |
|
g |
g |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили: |
|
|
|
|
|
|
d 2 y(x) y 2 (x)dx2 , |
|
|
если х – независимая переменная, и |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
d 2 y(g) y 2 |
(g)dg2 y |
(g)d 2 g |
, если g – зависимая переменная т.е. функция. |
|||
g |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть не инвариантность формы второго (и, естественно, более высоких) |
||||||
дифференциала относительно замены переменных. |
|
|
РАЗДЕЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Функция называется возрастающей в некоторой окрестности U x точки x0 , если |
|||
|
|
|
0 |
x Ux |
f (x) f (x0 ) |
0 . |
|
|
|
||
0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
Функция называется убывающей в некоторой окрестности U x |
точки x0 , если |
||
|
0 |
x Ux |
f (x) f (x0 ) |
0 . |
|
||
0 |
x x0 |
|
|
|
Если функция дифференцируема в точке и ее производная больше (меньше) нуля, то она возрастает (убывает) в этой точке.
т.е. |
f (x ) lim |
f (x) f (x0 ) |
0 |
|
U |
|
x U |
|
f (x) f (x0 ) |
0 |
|
|
x |
x |
|
||||||||
|
x 0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
||
|
|
x x0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а это и есть возрастание функции, имеющей положительную производную. Аналогично для убывания функции, имеющей отрицательную производную.
Пусть sup E( f ) M; |
|
inf E( f ) m . |
|
|
|
Если для значений M и m справедливо, что |
|
|
|
||
xM D( f ) |
|
f (xM ) M и |
xm D( f ) |
|
f (xm ) m , |
|
|
то говорят, что достигаются максимальное и минимальное значения функции, и они
обозначаются |
M |
max f (x); |
m min f (x) . |
Пусть M max f (x); |
m min f (x) . Тогда |
Если это справедливо на всей области определения D( f ) функции f (x) , то
говорят, что это глобальный максимум и глобальный минимум.
Если это справедливо на некотором подмножестве D( f ) мы имеет место локальный максимум и локальный минимум.
Строгий максимум, если |
x D( f ), x xM |
|
f (x) f (xM ) |
не строгий максимум, если |
x D( f ), x xM |
|
f (x) f (xM ) |
аналогично определяются строгий минимум и нестрогий минимум.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Внутренний экстремум – достигается внутри D( f ) .
Краевой экстремум – в граничной точке D( f ) .
Т (Ферма). В точке локального внутреннего экстремума производная функции, если она существует и конечна, равна нулю.
∆(для max). Пусть функция |
f (x) в точке xM имеет локальный внутренний максимум. |
||||||||||||||||||
Тогда : |
Ux |
|
x Ux |
|
D( f ), |
f (x) f (xM ) |
|
|
f (x) f (xM ) |
sign(xM x) . |
|||||||||
M |
M |
|
|
x xM |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получаем : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x |
|
) |
lim |
f (x) f (xM ) |
0 и |
f (x |
|
) lim |
f (x) f (xM ) |
0 |
|
f (x ) 0 . ▲ |
|||||||
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x xM 0 |
|
|
x x |
|
|
|
|
x xM 0 |
|
x x |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т (Ролля). Если функция f (x) дифференцируема внутри замкнутого промежутка и
непрерывна на нем, причем на концах промежутка, принимает равные значения, то внутри промежутка найдется точка с нулевой производной (хотя бы одна).
|
f (x) C |
|
f (x) C1 |
f (a) f (b) |
|
f () 0 . |
||
|
|
|||||||
|
|
a,b |
|
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆. Функция непрерывная на замкнутом промежутке |
необходимо ограничена на нем т.е. |
|||||||
|
m, M |
|
m f (x) M |
причем m, M – достигаются. Возможны два случая: |
||||
|
|
|||||||
a) |
m M |
|
f (x) const |
|
f (x) 0 . |
|
|
|
b) |
m M |
|
существует хотя бы один внутренний локальный экстремум. |
Следовательно, по теореме Ферма, a,b |
|
|
|
||
|
f ( ) 0 . ▲ |
Т (Лангранжа). Если функция непрерывна на замкнутом промежутке и дифференцируема внутри него то внутри промежутка есть точка, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)) .
∆ Рассмотрим F(x) f (x) Lx , где L некоторая постоянная.
По условию теоремы F (x) - непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) .
Константу L подберем из условия : F(a) = F(b). Получим:
f (a) + La = f (b) + Lb, f (a) – f (b) = L(b-a) L f (b) f (a) . b a
Так построенная функция F (x) f (x) |
f (b) f (a) |
x удовлетворяет условиям теоремы |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
Ролля . Значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
f (b) f (a) |
|
|
|||
F ( ) 0 |
|
f ( ) |
|
|
b a |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
f ( ) |
|
f (b) f (a) |
. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: Если |
f (x) на (x, x x) дифференцируема, то |
|
|
||||||||||
|
(x, x x) |
f (x x) f (x) |
f ( ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
f (x x) f (x) f ( ) x |
x x |
|
|
|
(0 1) |
|
|||||||
f (x, x) f (x x) f (x) f ( ) x |
x x |
|
(0 1) |
Полученная формула называется формулой конечных приращений.
Tº (Формула Коши). Если две функции непрерывны на замкнутом промежутке дифференцируемы внутри него и:
их производные одновременно не равны 0;
значения одной из функций на концах промежутка не совпадают;
|
то внутри промежутка есть точка где касательная к |
|||||||
|
кривой, заданной параметрическими уравнениями, |
|||||||
|
определяемыми этими функциями параллельна хорде. |
|||||||
|
f (t), g(t) C a,b |
|
|
f (t), g(t) C a,b |
|
f´²(t) + g´²(t) ≠ 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( f(a) ≠ f(b) g(a) g(f) ) |
|
|
|||||
|
(a, b) |
f b f a |
f |
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|||
g b g a |
g |
|
|
∆ Пусть g(a) g(b) .
Рассмотрим функцию F(x) = f (x) – Lg(x) . Эта функция F(x) = f (x) – Lg(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b).
Потребуем: F(а) = F(b) |
f (а) – Lg(а) = f (b) – Lg(b) . Тогда |
L= |
f (b) f (a) |
0 и по |
||||||
g(b) g(a) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
теореме Ролля : |
|
|
F ( ) 0 |
|
f (t) Lg (t) 0 при t = |
|
|
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
f ( ) |
|
f ( ) |
|
f (b) f (a) |
. ▲ |
|
g ( ) |
g ( ) |
g(b) g(a) |
|||||
|
|
|
|
Tº (Дарбу). Произвольная функция, дифференцируемая на замкнутом промежутке, и принимающая два некоторых значения принимает и всякое промежуточное значение.
Частный случай : Если на концах промежутка функция имеет производную разных знаков, то внутри промежутка есть точка, в которой производная равна нулю.
∆ Пусть f (a) f (b) и γ ( , β).
Рассмотрим функцию F(x) = f (x) – γx. Для неѐ
F (x) на концах промежутка принимает значения разных знаков, следовательно
|
|
F ( ) f ( ) 0 |
|
f ( ) . |
▲ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Tº (Об односторонней производной). Если функция f определена в односторонней окрестности точки x = a и непрерывна в ней , а в соответствующей проколотой окрестности дифференцируема, то односторонняя производная равна соответствующему
пределу производной в этой точки |
f |
(a) |
lim f (x) . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ Пусть |
ˆ |
. |
|
Тогда |
a, x |
|
|
|
|
f (x) f (a) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x Ua |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
f (x) . |
||||||||
Т.к. |
a < |
γ(x) |
< x , то |
|
lim (x) a . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в формуле |
|
|
f (x) f (a) |
|
f '( (x)) |
|
устремить x → a + 0, то получим |
||||||||||
|
|
|
x a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) |
lim |
|
f (x) f (a) |
. |
▲ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
x a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§. ФОРМУЛА И МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА
Пусть f (x) – n-кратно дифференцируема в т. х0. Полиномом Тейлора этой функции называется
n |
f k (x ) |
|
k |
|
|
|
|
f n x0 x x0 |
n |
|
Pn f , x0 ; x |
0 |
x x0 |
|
f x0 |
f ' x0 |
x x0 |
... |
|
|
. |
k ! |
|
n! |
|
|||||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Все производные Pn (f, x0; x) от нулевой до n-ной совпадают с соответствующей функцией f (x). Разность между функцией f (x) и ее полиномом Тейлора называется остаточным членом формулы Тейлора
Rn (f, x0; x) f (x) – Pn (f, x0; x) ,
А представление f (x) Pn (f, x0; x) + Rn (f, x0; x) называется формулой Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x0. При этом все производные остаточного члена Rn (f, x0; x) от нулевой до n-ной равны 0 в т. х0.
§ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ПЕАНО
Записывая в формуле Тейлора, вместо остаточного члена, его выражение, полученное Пеано, получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
|
|
|
|
n |
k |
(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x Pn f , x0 , x Rn f , x0 ; x |
f |
|
Rn f , x0 ; x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k 0 |
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f 2 (x0 ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
f n (x0 ) |
|
n |
|
|
|
|
f (x0 ) f |
(x0 ) x x0 |
|
|
(x x0 ) |
|
... |
|
(x x0 ) |
|
Rn f , x0 |
; x |
||||||
2! |
|
n! |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f 2 (x0 ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
f n (x0 ) |
|
n |
|
|
n |
|
f (x0 ) f |
(x0 ) x x0 |
|
|
(x x0 ) |
|
... |
|
(x x0 ) |
|
((x x0 ) |
|
) |
|||||
2! |
|
n! |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано дает возможность положительно ответить на вопрос, будет ли уменьшаться остаточный член формулы Тейлора с увеличением степени полинома Тейлора.
Однако остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано не дает возможности количественно оценить ошибку замены функции полиномом Тейлора.
§ ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ФОРМЕ ШЛЁМИЛЬХА – РОША
Для функции f (x) n раз дифференцируемой на промежутке с концами х и х0 и (n+1) раз дифференцируемой внутри него и для любой функции (x) заданной на промежутке с концами х и х0, дифференцируемой внутри него, имеющей ненулевую производную
( (x) 0 ) имеет место формула:
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn f , x0 ; x |
|
|
f n 1 |
x |
n |
|
x x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этой формуле = х0 |
+ (х – х0), 0 |
< < 1, |x – x0| > | – x0| > 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
|
|
F t f x Pn f ,t; x f x f |
k |
t x t k . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
k ! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F t f |
k 1 |
t x t k f |
k |
t k x t k 1 1 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
k 1 |
t |
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
x t k |
|
|
|
|
k |
x t k 1 |
|
. Во второй сумме положим k = l + 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k 0 |
k ! |
|
|
|
|
t |
k 1 |
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
t |
l |
x t l |
= |
|
f |
|
|
t |
x t |
n . |
|||||||||||||||||
|
F t = f |
k 1 |
x t k |
|
|
f |
l 1 |
|
k 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
l 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||
Тогда по формуле Коши получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
F x |
F x |
|
|
|
F ' |
|
|
f l 1 x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
x0 |
|
' |
|
|
|
|
|
n! ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x F x0 |
|
|
|
|
Rn f , x0 , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем: |
R |
f , x ; x |
f k 1 x n |
|
x x |
. ▲ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n! ' x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получен остаточный член в форме Шлѐмильха – Роша.
|
§ ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА |
||
В остаточном члене в форме Шлѐмильха – Роша положим |
(t) = (x - t)n+1; |
||
|
n |
n+1 |
. Получаем |
Тогда (t) = – (n + 1)(x - t) . Причем (x) = 0, (x0) = (x – x0) |
R f , x ; x |
f n 1 x |
x x |
n 1 , |
где x |
x x , 0 < < 1. |
||
n 1 ! |
|||||||
n |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
||
|
|
Получен остаточный член ряда Тейлора членом в форме Лагранжа.
§ ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ФОРМЕ КОШИ
Полагая (t) = x – t и учитывая, что (x0) = x – x0, (x) = 0, (t) 1 получим остаточный член ряда Тейлора членом в форме Коши:
R |
f , x ; x |
f n 1 |
x |
n |
x x |
, где |
= x0 + (x – x0) , |
0 < < 1. |
|
|
|||||||
n |
0 |
n! |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
Т˚. Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки х0 единственно с точностью до порядка следования слагаемых, т.е. в асимптотическом разложении
функции f (x) по системе степенных функций |
(x) (x x )n : |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k x x0 n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
f x |
Ck |
x x0 |
при х х0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f k x |
|
|
|
коэффициенты Сk находятся однозначно и, при этом Ck |
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
k! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ f (x) В ТЕРМИНАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ |
|||||||||||||||||||||
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
f k x |
|
|
n |
|
|
f n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
, где x0 x x0 , |
0,1 может |
||||||||
k ! |
|
|
|
n |
1 ! |
||||||||||||||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
быть записана в терминах дифференциалов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
d k |
f x0 , x |
|
|
|
d k 1 f , x . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
k ! |
|
|
|
|
1 ! |
|
|
|
|
|
§ПЯТЬ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА
ВОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ x0 = 0.
Разложения функций в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 называются разложениями в ряды Маклорена.
Множество значений х при которых ряд сходится называется областью сходимости
|
|
|
|
|
ряда. Степенной ряд вида |
f x ck x x0 |
k |
сходится в интервале x R, x R |
|
|
k 0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
и R называется радиусом сходимости степенного ряда. В точках x0 R и x0 R ряд может, как сходиться, так и расходиться. Радиус сходимости степенного ряда может быть
найден по формулам: R lim |
ck |
|
(формула Даламбера) или R lim |
1 |
|
(формула |
||
c |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
k c |
||||||
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши). По другому область сходимости ряда может быть установлена при оценке остаточного члена.
Более подробные сведения о рядах будут рассматриваться в последующем курсе.
Ниже следующие разложения получены по общей формуле разложения функции в ряд Тейлора.
|
|
|
n |
n |
|
k |
|
|
|
1 . |
ex |
x |
|
|
x |
|
xk 1 |
|
(x0 = 0); |
n! |
|
|
|||||||
|
k 0 |
k 0 |
k ! |
|
|
Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа:
R exp, 0; x |
|
|
e |
|
xn 1 |
|
e |
x |
|
|
x |
|
n 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 1 ! |
n 1 ! |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из оценки следует, что при любом фиксированном х и n стремящемся к бесконечности остаточный член стремится к нулю, т.е. ряд сходится для любых х.
Тот же результат может быть получен из формулы Даламбера:
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R lim |
|
|
lim |
|
|
n |
|
|
|
n 1 ! |
lim |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
n! |
|
xn 1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область сходимости |
|
ряда х (– ; + ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
n |
x |
2n 1 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
n |
1 |
k |
x |
2k 1 |
x2n 3 , (x0 = 0). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 . |
sin x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|||||||||||||||||||
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
2k 1 ! |
||||||||||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
3! 5! |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
Оценка для остаточного члена:
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
||
|
R |
sin, 0; x |
|
|
|
|
|
2 |
x2n 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2n 3 ! |
|
|||||
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Область сходимости ряда х (– ; + ) |
|
|
x 2n 3
2n 3 ! 0n .
|
|
|
|
1 |
n |
|
x |
2n |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
n |
1 |
k |
x |
2k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 . |
cos x |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
x |
|
... |
|
|
|
|
x2k 2 |
, (x0 = 0). |
||||||||||||||
2n ! |
|
|
|
|
|
2k ! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 0 |
|
2! 4! |
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Оценка остаточного члена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2n 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
R |
cos, 0; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 2 ! |
|
|
2n 2 ! |
n . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область сходимости ряда х (– ; + ).
4 . |
ln 1 x 1 |
n 1 |
x |
|
n |
x x |
2 |
x |
3 |
... |
1 |
n 1 |
x |
|
|
xn 1 |
, (x0 = 0). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Оценка остаточного члена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R ln, 0; x |
|
|
|
|
1 n n! x n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
n . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если х = 1, то получается ряд ln 2 1 |
|
|
|
|
|
|
, который сходится по признаку Лейбница. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Область сходимости ряда х (-1, 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5 . |
1 x 1 ... |
n 1 xn 1 ... n 1 xn (xn 1 ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(x0 = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для остаточного члена получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Rn 1 x , 0;1 |
|
|
|
|
1 ... n 1 n 1 |
x n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 ... n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n 1 1 sgn 1 |
|
x |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
1 ... n |
|
xn 1 0n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
если |
x |
1 |
|||
Область сходимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1) N, x (–; +); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) > 0, x [–1; 1] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3) (–1, 0), x (–1; 1] ; |
|
4) Общ. случай |
|
|
x (–1; 1). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
§ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПОЛЕЗНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 . |
1 |
1 x 1 |
|
1 x |
x 2 x3 |
... 1 n x n |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 x 1 |
|
1 k xk 1 k xk xn 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Может быть получено из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или из известного разложения 1 x .
Область сходимости ряда x (–1, 1).
|
|
|
1 |
|
n |
|
7 . |
|
|
xk xk xn 1 , x0 = 0. |
|||
|
|
|
||||
1 |
x |
|||||
|
k 0 |
k 0 |
Получено из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Область сходимости: x (–1, 1).
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2n |
3 !!x n ; |
1 |
|
1 |
|
2n 1 !!x n |
|
|
||
8 . |
x 1 |
|
|
, |
x [–1, 1]. |
||||||||||
|
2n !! |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x |
|
|||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
2n !! |
|
|
|||||
При этом: (2n)!! = 2 4 6 ... (2n); |
(2n+1)!! = 1 3 5 … (2n + 1). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0!! 1; |
(–1)!! 1; |
|
(–3)!! – 1. |
|
|
|
|
|||||
|
(2n + 1)! = (2n + 1)!! (2n)!! = (2n + 1)!! n! 2n. |
|
|
|
|
9 .
10 .
11 .
f x arctgx |
f ' x |
|
|
1 |
|
|
|
1 x2 x4 |
x6 |
.... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
5 |
|
x |
7 |
|
|
|
|
|
x |
2k 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 k |
|
|
|
, (|x| < 1). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
7 |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2n 1 !! |
|
|
|
|
n |
2n 1 !! x2n , (|x| < 1). |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n !! |
|
|
|
|
|
|
|
2n !! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 2 |
|
f x arcsin x f ' x |
|
|
|
1 |
|
|
|
arcsin x 2n 1 !! |
|
x |
|
, (|x| < 1). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
2n !! |
|
|
|
РАЗДЕЛ. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ НА ПРОМЕЖУТКЕ.
Т. Функция f (x) непрерывная на [a,b] и дифференцируемая на (a,b) постоянна тогда и только тогда когда ее производная равна нулю.
1) f (x) = const |
|
f (x) 0 . |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
f x1 f x2 |
|
f , |
x1 x2 (по теореме Лагранжа) |
|
|
|
||||||
f (x) 0 |
x1 x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x1) – f (x2) = (x1 – x2) f ( ) = 0 f (x1) = f (x2). ▲
§ УСЛОВИЕ НЕУБЫВАНИЯ (НЕВОЗРАСТАНИЯ) ФУНКЦИИ.
Т. Функция не убывает, когда ее производная не положительна. Функция не возрастает, когда ее производная не отрицательна.
Докажем для не убывающей функции.
1) f (x) - не убывает |
x1, x2 |
|
f x1 f x2 |
0 |
f ' x |
0 . |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
f |
x1 f x2 |
f ' 0 |
f (x) не убывает. ▲ |
|||||
|
|
|
|||||||||
f (x) 0 |
|
x1 x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ УСЛОВИЕ СТРОГОЙ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ.
Т. Функция строго монотонна тогда и только тогда когда ее производная внутри промежутка не меняя знака, обращается в ноль не более чем на множестве без внутренних точек.
Допустим f (x) не убывает и не является строго возрастающей. Тогда