ЭМ волны в материальных средах

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Η Ε;

анализируем связь между векторами E , D , H (рассматриваем немагнитную среду, где

μ =1).

3.2. Свойства электромагнитного поля плоской волны в анизотропной среде

Поскольку диэлектрическая проницаемость является тензором, векторы D и E не параллельны: D =εˆE ; D E . Запишем уравнения Максвелла для монохроматической

плоской волны в анизотропной среде:

k , H = −ωc εˆE ;k , E = ωc H ;

(k ,εˆE )= 0 ;

(k , H )= 0 .

Здесь k – волновой вектор в среде. Из уравнений (3.1)-(3.4) следует, что

Η k ; Η D =εˆE ; k D . Выберем декартову систему координат так, что вектор Η

	направлен вдоль оси y . Это значит,	что векторы Ε, D и k уравнение лежат в плоскости
	xz . Вектор Умова-Пойнтинга S ~ E, H		тоже лежит в плоскости xz		перпендикулярно
	вектору E . В той же плоскости лежит и
	вектор k , только он расположен пер-
	пендикулярно вектору D . Поскольку		z	S		k
	векторы E и D не параллельны, то и
	векторы k и S тоже расположены под		D	θ′
	углом друг к другу. Таким образом, по-
	лучается, что нормаль к фронту волны,			θ
	совпадающая по направлению с векто-				H	y
			E
	ром k , не совпадает по направлению с
	вектором S . Следовательно, направле-
	ние распространения поверхности	по-	x
	стоянной фазы не параллельно направ-
			Рис.3.2. Взаимная ориентация векторов
	лению переноса энергии.
	Найдем связь между направле-		H , E, D, S, k
	ниями векторов k и S . Полагаем,	что

ось одноосного кристалла совпадает с осью z и диэлектрическая проницаемость в этом

32

направлении равна ε . Назовем θ угол между осью z и вектором k , а θ′ – угол между

	осью z и вектором S . Из условий k D ,				D		ε Ez
		z x		находим, что tgθ =	z	=					, а из
					D		ε		E	x
					x
	условий S E , z x следует, что tgθ′ =	Ez	. Из этих двух равенств получаем
		Ex
	tgθ′ =		ε	tgθ .							(3.5)
			ε

3.3. Вывод дисперсионного уравнения анизотропной среды

Найдем из однородных уравнений Максвелла связь между волновым числом k и

частотой ω. Исключим вектор H из уравнения Максвелла (3.1). Для этого найдем H из уравнения (3.2) и подставим его в (3.1). При этом получаем

k k , E

= −ω2 εˆE .

(3.6)

c2

Для удобства дальнейших выкладок введем вектор n ,

связанный с вектором k

следую-

щим образом:

n =

k

; n = n

x

0

+ n

y

0

+ n

z

0

; n

=

k

x

; n

=

ky

; n

=

k

z

;

(ω c)

x

(ω c)

y

(ω c)

z

(ω c)

x

y

z

n = nx2 + n2y + nz2 = n .

По аналогии с изотропной средой, n имеет смысл показателя преломления. Выражая век-

тор k через вектор n , преобразуем уравнение (3.6) к следующему виду:
n n, E = −εˆE .		(3.7)
Раскрывая двойное векторное произведение, получаем из (3.7)
n (nE )− En2 +εˆE = 0 .		(3.8)

Распишем уравнение (3.8) по компонентам. Проекция этого уравнения на ось x с учетом того, что (n, E )= nx Ex + ny Ey + nz Ez , а n2 = nx2 + n2y + nz2 , дает

ε Ex + nx (nx Ex + ny Ey + nz Ez )− n2 Ex = 0 ;

33

(ε − ny2 − nz2 )Ex + nxny Ey + nxnz Ez = 0 .	(3.9)
Аналогичные уравнения получаем, проецируя уравнение (3.8) на оси y и z ,
nxny Ex +(ε − nx2 − nz2 )Ey + nzny Ez = 0 ;	(3.10)
nxnz Ex + nzny Ey +(ε|| − nx2 − n2y )Ez = 0 .	(3.11)

Уравнения (3.9), (3.10), (3.11) представляют собой однородную систему линейных алгеб-

раических уравнений (СЛАУ) относительно компонент вектора электрического поля Ex ,

Ey , Ez . Такая система имеет нетривиальное решение при условии, что ее определитель

равен нулю. Равенство = 0 представляет собой дисперсионное уравнение. Раскрыв определитель, получим дисперсионное уравнение для анизотропной среды в случае одноосного кристалла в следующем виде:

(n2 −ε )(ε (nx2 + ny2 )+ε||nz2 −ε||ε )= 0 .

(3.12)

Это уравнение имеет два решения, обусловленных равенством нулю выражений, заключенных в каждую из внешних круглых скобок. Значит, в рассматриваемой системе существуют две собственные волны. Одно из решений имеет вид

	n =		ε ,			(3.13)
другое
	nx2 + ny2			n2
		+		z	=1.	(3.14)
	ε||			ε

Из уравнений (3.13) и (3.14) определяются собственные числа n двух собственных волн: обыкновенной и необыкновенной. Уравнению (3.13) соответствует обыкновенная волна. У нее показатель преломления n = ε не зависит от направления.

Уравнению (3.14) соответствует необыкновенная волна. Выясним, что собой представляет показатель преломления в этом случае. В выбранной системе координат, где тен-

зор εˆ имеет диагональную форму, ось z совпадает с осью кристалла. Пусть направление вектора k составляет угол θ с этой осью и угол ϕ с осью x . Вектор n имеет то же на-

правление.

34

Это значит, что

nz = ncosθ ;

nx = nsinθ cosϕ ;

ny = nsinθ sinϕ ;

nx2 + n2y = n2 sin2 θ (sin2 ϕ + cos2 ϕ)= n2 sin2 θ .

Тогда уравнение (3.14) принимает вид

	n2 sin2 θ	+	n2 cos2 θ	=1,
	ε||		ε

откуда находим показатель преломления n .

z

n

θ

y

ϕ

x

Рис.3.3. Система координат

n =	ε||ε
		.	(3.15)
	ε sin2 θ +ε|| cos2 θ
В частном случае распространения волны вдоль главной оси кристалла, когда			n || z0 ,

θ = 0 , значит, sinθ = 0 , cosθ =1, получаем n = ε . Когда волна распространяется в направлении, перпендикулярном оси кристалла (θ =π / 2 ), находим, что n = ε|| . В слу-

чае произвольного угла θ показатель преломления определяется формулой (3.15). Таким образом, значение показателя преломления необыкновенной волны зависит от направления ее распространения по отношению к направлению оси кристалла.

3.4.Анализ взаимной поляризации обыкновенной и необыкновеннойволн

Впроизвольной системе координат тензор диэлектрической проницаемости εˆ представляется в виде матрицы с девятью компонентами. Это симметричная матрица, ее

элементы не изменяются при перемене порядка следования индексов: εxy =εyx и т. д.

Симметрична и ее обратная матрица εˆ−1 :
	ε−1	ε−1	ε−1
	xx	xy	xz
εˆ−1 =	ε−1	ε−1	ε−1	.
	yx	yy	yz
	ε−1	ε−1	ε−1
	zx	zy	zz

Выберем декартову систему координат, ось z которой совпадает с направлением распространения плоской волны. Это значит, что

35

k = z0kz , n = z0nz ( n || z0 ). Из уравнений Максвелла (3.1)-(3.4) следует, что D k ,

следовательно, D n , или D z0 . Это значит, что Dz = 0 .

Перепишем уравнение (3.1) в следующем виде:

n n, E = −D .

(3.16)

Раскроем двойное векторное произведение, что дает

n (n, E)− En2 = −D .

(3.17)

Учитывая, что D =εˆE , выразим в этом уравнении вектор E через вектор D , используя

обратный оператор εˆ−1 : E =εˆ−1D . Тогда уравнение (3.17) принимает вид:

n (n,εˆ−1D)n−2 −εˆ−1D = −n−2 D .

(3.18)

Вектор-столбец εˆ−1D с учетом того, что D = 0 , представим в виде

z

ε

−1

ε

−1

ε

−1

Dx

ε

−1D

x

+ε−1D

xx

xy

xz

xx

xy

y

εˆ−1D =

ε

−1

ε

−1

ε

−1

D

=

ε

−1D

x

+ε−1D

.

(3.19)

yx

yy

yz

y

yx

yy

y

ε

−1

ε

−1

ε

−1

0

ε

−1D

+ε−1D

x

zx

zy

zz

zx

zy

y

Спроектируем уравнение (3.18)

на

оси

x и y .

Поскольку по

постановке

задачи

nx = 0, ny = 0 , первое слагаемое в левой части уравнения (3.18) при этом пропадает.

Запишем эти два уравнения с учетом (3.19).

εxx−1Dx +εxy−1Dy − n−2 Dx = 0,

(3.20)

εyx−1Dx +εyy−1Dy − n−2 Dy = 0.

Эта система уравнений представляет собой однородную СЛАУ второго порядка относи-

тельно неизвестных Dx и Dy .

(εxx−1 − n−2 )Dx +εxy−1Dy = 0 ;	(3.21)
εyx−1Dx +(εyy−1 − n−2 )Dy = 0 .	(3.22)

Нетривиальное решение этой системы уравнений существует, если определитель СЛАУ равен нулю:

(εxx−1 − n−2 )(εyy−1 − n−2 )−εyx−1εxy−1 = 0 .

(3.23)

36

Уравнение (3.23) является квадратным уравнением относительно (n−2 ):

(n−2 )2 − n−2 (εxx−1 +εyy−1 )+εxx−1εyy−1 −εyx−1εxy−1 = 0 .			(3.24)
Оно имеет два корня n−2	и n−2	. Этим корням соответствуют два типа собственных пло-
1	2

ских волн, которые могут существовать в анизотропной среде. В случае одноосного кристалла это обыкновенная и необыкновенная волны.

Исследуем скалярное произведение двух векторов D1 и D2 , принадлежащих этим

волнам:
(D1, D2 )= D1x D2 x + D1y D2 y .	(3.25)

Выразим D1y через D1x из уравнения (3.21), используя здесь первый корень квадратного уравнения n1 , а D2 y выразим через D2 x из (3.22), используя в этом уравнении второй ко-

рень n2 :

D

= −

ε−1

− n

−2

D

;

(3.26)

xx

1

1y

ε−1

1x

xy

ε−1

D2 y

= −

yx

D2 x .

(3.27)

ε−1

− n

−2

yy

2

Подставим D1y и D2 y из (3.26) и (3.27) в выражение (3.25). Получаем

(D1, D2 )= Dx1Dx2 + Dy1Dy2 = Dx1Dx2

ε−1

−n −2

εyx−1

1+

xx

1

=

ε−1

−n −2

ε−1

xy

yy

2

ε−1 −n −2 +ε−1 −n −2

=Dx1Dx2 yy 2 xx 1 . (3.28)

εyy−1 −n2−2

Ввыражении (3.28) учтено, что тензор εˆ−1 симметричный, благодаря чему выполняется равенство εxy−1 =εyx−1 . В соответствии с теоремой Виета,

n −2	+ n −2	=ε−1	+ε−1 .	(3.29)
1	2	xx	yy
Подставив (3.29) в правую часть равенства (3.28), находим, что она тождественно
равна нулю. Следовательно,		(D1, D2 )= 0 .
				(3.30)
Скалярное произведение векторов	D1 и	D2 равно нулю. Это значит, что векторы		D1 и

D2 взаимно перпендикулярны, то есть, обыкновенная и необыкновенная волна имеют взаимно перпендикулярную поляризацию.

37

A(r )= const , а

4.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

ВНЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

4.1.Подход к решению волнового уравнения в неоднородной среде

Неоднородной называется среда,

в которой макроскопические параметры ε, μ,

σ изменяются в зависимости от координат пространства. Изменение может быть непре-

рывным, скачкообразным, быстрым или медленным. Мы будем рассматривать распро-

странение электромагнитных волн в средах с медленно меняющимися параметрами, когда

их изменение, соизмеримое с самой величиной, происходит на расстояниях, значительно

превосходящих длину волны. В зависимости от характера неоднородности среды проис-

ходит изменение траектории распространяющейся волны и амплитуды поля вдоль траек-

тории. Ставится задача определения этих изменений.

Исследование характера траектории волны нач-

ε4

нем

с

модельной

задачи.

Пусть

имеется

плоско-

слоистая среда с разными значениями диэлектрической

ε3

γ2

проницаемости слоев, причем ε

>ε

>ε

>ε

. До-

ε2

1

2

3

4

ε1

γ1

пустим, что из первого слоя на второй под углом γ1 по

Рис. 4.1. Искривление

отношению к нормали падает волна. По законам Снел-

лиуса, во втором слое она отклоняется от нормали на

траектории луча

угол γ2 >γ1 . На границах слоев (2,3), (3,4) отклонение

от нормали увеличивается. Таким образом, понятно,

что траектория волны искривляется. В дискретных слоях это ломаная кривая. При непре-

рывном изменении ε – траектория гладкая. Рассмотрим именно этот случай.

Если в одном из направлений система однородная, система уравнений Максвелла

сводится к скалярному волновому уравнению.

U (r )+ k2n2 (r )U (r ) = 0

Решение этого уравнения ищем в виде

U (r ) = A(r )eiks(r ) .

Амплитуда A(r ) и неизвестная пока фазовая характеристика ординат пространства, в отличие от однородной среды, где,

на прямолинейного пути.

(4.1)

(4.2) s(r ) зависят от ко- s(r ) – дли-

38

4.2. Уравнение эйконала

Функция s(r ) называется эйконалом [4]. Она однозначно определяется поведени-

ем показателя преломления n(r ). Найдем связь между этими функциями.

Очевидно, s(r )= const определяет поверхность постоянной фазы. Градиент функции s(r ) перпендикулярен этой поверхности. В направлении нормали к поверхно-

сти уровня происходит наиболее быстрое изменение функции, в данном случае – фазы волны. Следовательно s(r ) можно представить в виде

s(r )= l 0 s(r ) ,

где l 0 – орт касательной к траектории волны. В случае однородной среды на малом рас-

стоянии l вдоль траектории луча происходит набег фазы

ϕ = kn(r ) l .	(4.4)
В соответствии с записью (4.2) этот же набег в пределах однородного участка	l можно
представить как
ϕ = k s(r ),	(4.5)

где s – малое приращение эйконала.

В случае среды с медленно меняющимися параметрами при l → 0 выражения

(4.4) и (4.5) дают один и тот же набег фазы
		kn		l = k		s ,
откуда получаем
lim	s(r )	=	ds(r )			= n(r ).
	l
l→0				dl

Из векторного анализа известно, что dsdl(r ) =(l 0 , s(r )). Используя (4.3), получаем

(l 0 , s(r ))= (l 0 ,l 0 s(r ))= s(r ) = n(r ).

Уравнение

	s(r )		= n(r )	(4.6)

называется уравнением эйконала.

39

4.3.Уравнение луча

Спомощью уравнения эйконала можно получить уравнение луча. Чтобы получить

информацию о траектории луча, следует проследить за тем, как изменяется s(r ) вдоль траектории луча. Ведь направление s(r ) совпадает с направлением орта касательной к

траектории луча. Выясним, что собой представляет ∂∂l ( s). Изменив в этом выражении порядок дифференцирования, получаем

∂

( s(r ))=

∂s(r )

= (l 0 , s(r ))=

∂l

∂l

= (l 0 ,l 0

s(r )

)=

s(r )

= n(r ).

(4.7)

В последнем равенстве в этой цепочке использовано уравнение эйконала (4.6). Орт l 0 связан с радиус-вектором r , проведенным из начала координат в любую точку траек-

тории соотношением l 0 = dr

. Учитывая это, преобразуем самую левую часть равенства

dl

(4.7)

∂

( s(r )) к виду

∂l

∂

( s(r ))=

∂

(

s

l 0 )=

∂

n(r )

∂r

.

∂l

∂l

∂l

∂l

Используя это представление, получаем в окончательном виде уравнение луча

∂

n(r )dr

= n(r ).

(4.8)

∂l

dl

4.4. Уравнение луча в плоско-слоистой среде

Полагаем, что Земля плоская. Ось z декартовой системы координат направим перпендикулярно плоскости Земли. Полагаем, что показатель преломления слоев атмосферы зависит только от высоты подъема над Землей: n(r )= n(z). Уравнение луча в этом слу-

чае имеет вид
∂∂l (n(z)l 0 )= n(z)= n(z) z0 .	(4.9)

Умножим левую и правую части уравнения (4.9) векторно на орт z0 :

40

z0 ,

∂

(n(z)l 0 )

=

n(z)

z0 z0

≡ 0 .

(4.10)

∂l

Преобразуем левую часть уравнения (4.10):

z0

∂

(n(z)l 0 ) =

∂

z0 , n(z)l 0

∂z

0

, nl 0

,

−

.

∂l

∂l

∂l

Второе слагаемое в правой части равенства тождественно равно нулю, поскольку направ-

ление орта z0 не зависит от положения точки на траектории луча (						∂z0	≡ 0 ). Благодаря
						∂l
этому уравнение (4.10) принимает вид
	∂	z0	, n(z)l 0		= 0 .
	∂l

Это значит, что вектор, полученный в результате векторного перемножения, имеет постоянное направление и длину:

		z0	, n (z)l	0 = y0const ,							(4.11)
где y0 – орт вдоль оси y (рис.4.2).
Полагая, что луч отправлен от Земли с высоты				z0 под углом ϑ0				к линии горизонта, а
n(z0 )= n0	– показатель преломления на высоте z0 , константу в выражении (4.11) можем
			выбрать		следующим					образом:
z			y0const = z0		, n (z	0	)l 0 = y0n (z		0	)cosϑ . Пр
											0
	z	l 0	и этом получаем, что на высоте z равенст-
			во (4.11) сводится к виду
		γ
z		ϑ		y0n(z)cosϑ = y0n(z0 )cosϑ0 .							(4.12а)
		n (z )	Из уравнения (4.12а) следует, что траекто-
l 0		x
			рия луча – плоская кривая. Тогда в скаляр-
ϑ0			ной форме уравнение луча (4.12а) прини-
z0		x
			мает вид
Рис.4.2. Траектория луча
				n (z)cosϑ(z)= n0 cosϑ0 .							(4.12)

4.5. Радиус кривизны траектории луча

Найдем радиус кривизны траектории луча в плоско-слоистой среде [5]. Воспользу-

емся самой общей формой записи уравнения луча (4.8) с учетом того, что l 0 = drdl . По оп-

ределению, радиус кривизны ρ изогнутой

41