RF_5

ПРИМЕР 10. Найдем ряд Фурье в комплексной форме функции, заданной формулой f (x) = eax, в промежутке [−π, π), где a вещественное число.

Решение. Вычислим коэффициенты:

1

π

1

π

cn =

−Zπ f (x)e−inxdx =

−Zπ

e(a−in)x dx =

2π

2π

1

( 1)n

=

(−1)neaπ − (−1)ne−aπ

=

−

sh aπ.

2π(a − in)

π(a − in)

Комплексный ряд Фурье функции f имеет вид

f (x)

sh aπ

∞

(−1)n einx.

π

X

−

in

n=−∞ a

Убедимся, что функция f (x) является кусочно-гладкой: в промежутке (−π, π) она непрерывно-дифференцируема, и в точках x = ±π существуют конечные пределы (5), (6)

	lim ea(−π+h) = e−aπ ,						lim ea(π−h) = eaπ ,
	h→+0						h→+0
lim	ea(−π+h) − ea(−π+0)		= ae−aπ ,				lim			ea(π−h) − ea(π−0)	= aeaπ .
h→+0	h						h→+0			−h
Следовательно, функция f (x) представима рядом Фурье
		sh aπ		∞		(−1)n einx,
				X
		π					−	in
				n=−∞ a
который сходится к сумме:
	S(x) =	eax,			если − π < x < π,
		ch a,			если x = ±π.
					41

ПРИМЕР 11. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой

f (x) =

1 − a2

, где

a

|

< 1, a

R.

2a cos x + a2

1

−

|

Решение. Функция f (x) является четной, поэтому для

всех n bn = 0, а

2

π

2 (1 − a2)

π

cos nxdx

a

=

f (x) cos nxdx =

Z0

.

n

π

Z0

π

1 − 2a cos x + a2

Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием:

1. используя формулы Эйлера

sin x =	eix − e−ix	=	z − z−1	, cos x =	eix + e−ix	=	z + z−1	,
	2i		2i
				2		2

где z = eix, преобразуем f (x) к рациональной функции комплексной переменной z;

2.полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби;

3.разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии;

4.упростим полученную формулу.

Итак, по формулам Эйлера получаем

	f (x) =		1 − a2					=
		1 − a(z + z−1) + a2
=	(a2 − 1)z			=	a	+		1	.	(14)
	(z − a)(z − a−1)				z − a 1 − az
			42

Напомним, что сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q (|q| < 1) вычисляется по формуле:

+∞		1
X
		−
qn =				.
1			q
n=0

Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку |az| = |a| < 1 и |a/z| = |a| < 1,

то

1

+∞

+∞

=

X

X

1

−

az

n=0

an zn =

an einx,

n=0

a

a

1

a

+∞

n

+∞

n+1

+∞

X

a

X

a

X

z

−

a = z 1

−

a/z

= z

n=0

zn =

zn+1 = an+1e−i(n+1)x .

n=0

n=0

После замены переменной −(n + 1) = k,

−∞ < k < −1,

получим:

a

−1

X

−

z

a

=

a−k eikx.

k=−∞

Следовательно,

+∞

an,

если n ≥ 0,

f (x)

cneinx,

где cn

=

n=−∞

a−n,

если n < 0,

X

то есть cn = a|n|.

Поскольку функция f (x) непрерывна, то в силу теоремы

о поточечной сходимости имеет место равенство:

+∞

X

f (x) = a|n|einx.

n=−∞

Тем самым мы разложили функцию f (x) в ряд Фурье в ком-

плексной форме.

43

Теперь найдем ряд Фурье в вещественной форме. Для этого сгруппируем слагаемые с номерами n и −n для n =6 0 :

n inx	n −inx	n einx + e−inx		n
a e	+ a e	= 2a		= 2a cos nx.
		2

Поскольку c0 = 1, то

			1 − a2		∞
f (x) =		−		2	= 1 + 2 an cos nx.
1			2a cos x + a		X
					n=1

Это ряд Фурье в вещественной форме функции f (x).

Таким образом, не вычислив ни одного интеграла, мы нашли ряд Фурье функции. При этом мы вычислили трудный интеграл, зависящий от параметра

π

cos nx dx

2 π an

−Zπ

(15)

=

, |a| < 1.

1 − 2a cos x + a2

1 − a2

ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и веще-

ственной форме функции, заданной формулой

f (x) =

a sin x

, |a| < 1,

a R.

1 − 2a cos x + a2

Решение. Функция f (x) является нечетной, поэтому для

всех n an = 0 и

π

π

sin x sin nxdx

2

2a

bn =

Z0

f (x) sin nxdx =

Z0

.

π

π

1 − 2a cos x + a2

Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом:

44

f (x) =

a(z − z−1)

=

i

+

i

(a + a−1)z − 2

=

2i (1 − a(z − z−1) + a2)

2 2 (z − a)(z − a−1)

= 2

+ 2

−1

z a + z a a−1 .

i

i

a

−

−

Каждую из простых дробей разложим по формуле геометрической прогрессии:

a

a

1

a

+∞

n

=

=

X

a

,

−

a

n

z

a

z

1

− z

z

z

n=0

z

−1

= −1

1 az

+∞

a

a−1

= − anzn.

−

−

X

n=0

Это возможно, так как |az| = |a/z| = |a| < 1. Значит

f (x)

cn einx, где cn =

0,

2

если n = 0,

+∞

ia−n/

,

если n < 0,

n=−∞

ian/2,

если n > 0,

X

−

или, более коротко, cn =

1

a|n|sgn n. Тем самым, ряд Фурье

2i

в комплексной форме найден.

Сгруппировав слагаемые с номерами n и −n получим

ряд Фурье функции в вещественной форме:

a sin x

+∞

X

cneinx =

f (x) =

1

−

2a cos x + a2

n=−∞

+∞

2i aneinx − 2i ane−inx

+∞

= n=1

= n=1 an sin nx.

X

1

1

X

Вновь нам удалось вычислить следующий сложный ин-

теграл:

π

sin x sin nx dx

−Zπ

= π an−1.

(16)

1 − 2a cos x + a2

45

ЗАДАЧИ

π

cos nx dx

24.

Используя (15), вычислите интеграл

−Zπ

1 − 2a cos x + a2

для

вещественных a,

|

a

>

1

. 25. Используя (16), вычислите

π

|

интеграл −Zπ

sin x sin nx dx

для вещественных a, |a| > 1.

1 − 2a cos x + a2

В задачах 26–28 найдите ряды Фурье в комплексной фор-

ме для функций.

26. f (x) = sgn x, π < x < π.

|a| < 1.

27.

f (x) = ln(1 − 2a cos x + a2),

28.

f (x) =

1 − a cos x

,

|

a

|

< 1.

1 − 2a cos x + a2

29. Докажите, что функция f , определенная в промежутке [−π, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты cn ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями

cn = c−n, n = 0, ±1, ±2, . . . .

30. Докажите, что функция f , определенная в промежутке [−π, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f (−x) = f (x)), если и только если коэффициенты cn ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями cn = c−n, n = ±1, ±2, . . . .

31. Докажите, что функция f , определенная в промежутке [−π, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f (−x) = −f (x)), если и только если коэффициенты cn ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями

cn = −c−n, n = 0, ±1, ±2, . . . .

Ответы

1

2π

π

i +∞

e2inx

24.

−

. 25.

. 26. −

X

, где подразумева-

an

a2

1

an+1

π

n=−∞

n

ется,

что

слагаемое, соответствующее

n = 0, пропущено.

∞ an

∞

P

P

27. −2 n=1

n

cos nx. 28. n=0 an cos nx.

46

5. Равенство Ляпунова

Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция

π

Z

f : [−π, π] → R такова, что f 2(x) dx < +∞, и пусть an,

−π

bn ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство,

	a2	∞			1	π
						Z
		+ n=1	(an + bn) =				f (x) dx,
	2				π
	0	X		2		−π	2
			2

называемое равенством Ляпунова.

ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функ-

ции

если

f (x) =

1,

x

< a,

0,

если

|a

|< |x| < π

и найдем с его помощью суммы числовых рядов

+∞ sin2 na

+∞

1

X

X

−

2 .

2

и

1)

n

(2n

n=1

n=1

Решение. Очевидно,

1

π

1

a

2a

−Zπ f 2(x) dx =

−Za

dx =

.

π

π

π

Так как f (x) четная функция, то для всех n имеем

bn = 0,

π

a

2

Z0 f (x) dx =

2

Z0

dx =

2a

,

a0 =

π

π

π

47

	2	π		2	a		2 sin na
an =		Z0			Z0
			f (x) cos nx dx =			cos nx dx =		.
	π			π			πn

Поэтому равенство Ляпунова для функции f (x) принимает

вид:

∞

4 sin2 na

2 a2

2a

X

π

2

+

π

2

2

=

.

n=1

n

π

Из последнего равенства для 0 ≤ a ≤ π находим

∞

sin2 na = a(π − a) .

X

n=1

n2

2

Полагая a =

π

,

получаем sin2 na

= 1 при n = 2k − 1 и

2

sin2 na = 0 при n = 2k. Следовательно,

∞

1

1

1

1

π2

X

(2k

−

1)2

= 1 +

9 + 25 + 49 + . . . = 8 .

k=1

ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f (x) = |x| cos x, x [−π, π], и найдем с его помощью сум-

X

∞ (4n2 + 1)2

му числового ряда n=1 (4n2 − 1)4 .

Решение. Прямые вычисления дают

	1	π		1	π		1	π		1 + cos 2x
		Z	f 2(x) dx =		Z	x2 cos2 x dx =		Z	x2		dx =
	π			π			π			2

	−π				−π
	π2				π	π2
=			−	1	−Zπ x sin 2xdx =
	3			2π		3

−π

π

+ 41π x cos x −

−π

π

1 Z

4π

cos 2xdx =

−π

=π2 + 1 .

3 2

48

Поскольку f (x) четная функция, то для всех n имеем

bn = 0,

π

π

2

2

Z0

Z0

an =

f (x) cos nx dx =

x cos x cos nx dx =

π

π

π

=

1

Z0

x (cos(n + 1)x + cos(n − 1)x) dx =

π

1

π

1

π

= −

Z0

sin(n + 1)xdx −

Z0

sin(n − 1)xdx =

π(n + 1)

π(n − 1)

π

π(n

1)2 cos(n − 1)x

π

=

= π(n + 1)2 cos(n + 1)x

+

1

1

0

0

−

1

(n+1)

1

(n+1)

(

1)

−

+

(

−

1)

1 =

π(n + 1)2

π(n − 1)2

=

−(n+1)

−

= (−1) π

1

1)2 =

− 1

(n + 1)2 + (n 1

1

−

4

4k2 + 1

, если n = 2k,

(−1)(n+1) − 1

n2 + 1

−

= 2

=

π

(4k2

−

1)2

π

(n2

1)2

−

0,

если n = 2k + 1.

Коэффициент a1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обраща-

ется в ноль.

2

π

2

π

a1

=

Z0

f (x) cos x dx =

Z0

x cos2 x dx =

π

π

1

π

π

1

π

π

=

Z0

x(1 + cos 2x)dx =

Z0

sin 2x dx =

−

.

π

2

2π

2

49

Таким образом, равенство Ляпунова для функции f (x)

имеет вид:

8			π2		16		∞	(4n2 + 1)2					π2		1
							X
π	2 +		+		π	2		2	−	1)	4	=	+		,
			4				n=1	(4n					3		2

откуда находим сумму числового ряда

∞	(4n2	+ 1)2			π4 π2 1
X
		−	1)4	= 192 + 32 − 2 .
n=1 (4n2

ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции

f (x) =	x2	− πx,	если	0 ≤ x < π,
	−x2	− πx,	если	− π < x ≤ 0.

33.Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax

и g(x) = sin ax, x [−π, π].

34.Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctg aπ и (π/ sin aπ)2 по ра-

циональным функциям:

				1		+∞		−
						X
πctg aπ =						+				,
					a	n=1	a		n
	π		2			+∞		1
sin aπ				= n=−∞ (a − n)2 .
						X

35.Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова.

36.Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций.

50