Электроника СВЧ. Практикум(Шматько, Одаренко)

40	Гл. 1. Основные уравнения электроники

ля в (1.41–1.42), (например, hm (t )) получим следующее эволюционное уравнение второго порядка для определения зависимости амплитуды поля em (t ) от времени t :

d2e	(t )	ω	de	(t )	2	1 d GG
m		m	m							∫jEmdV . (1.43)
		+Q			+ωmem (t) = −
dt2			dt			N	m		dt
		m								v

Учитывая тот факт, что процесс возбуждения вынужденных колебаний в резонансной системе прибора на интервалах времени пролета электронов через пространство взаимодействия мед-

ленно меняющийся (за счет высокой добротности системы Qm ),

амплитуду поля em (t ) представим	в следующем виде:
em (t )=Cm (t )exp (−iωt ). Здесь Cm (t )	– медленно меняющая-

ся во времени комплексная амплитуда поля, а ω – частота возбуждаемых высокочастотных колебаний, которая, в принципе,

отличается от частоты собственных колебаний системы ωm за

счет присутствия в системе электронного потока. В результате получим следующее приближенное уравнение первого порядка

для медленно меняющейся амплитуды поля Cm (t ):

dCm	(t )	− i (ω − ωm )Cm (t ) = −	1		G		G
					j		ω EmdV. (1.44)
dt			4Nm V∫			(	)

Здесь:

jG(ω)= 1 2∫π jG(t )exp (iωt )d (ωt )

π 0

– амплитуда первой временной гармоники плотности тока пучка электронов. Эта величина зависит от амплитуды поля Cm (t ),

Уравнение возбуждения

41

поскольку сама амплитуда плотности тока пучка jG(t ) связана

со скоростью электронов, а скорость, в свою очередь, зависит от воздействующего на пучок СВЧ-поля. ПолученноеG уравнение

является довольно общим, так как структура поля Em считается

хотя и фиксированной, но с произвольным амплитудным пространственным распределением. Это позволяет использовать полученное уравнение для разных классов резонансных электронных приборов, в которых структура поля в системе разная.

Нерезонансные приборы. В данном классе приборов с длительным взаимодействием в качестве колебательной системы используется протяженный участок волновода с периодической структурой вдоль оси Oz . Уравнения возбуждения для таких приборов относительно просто выводятся из уравнений Вайнштейна, полученных для случая возбуждения волноводов заданными токами:

EG(rG,t )= ∑m CmEGm (rG,t )+C−mEG−m (rG,t ) + iωε1 0 jG(rG,t ), (1.45)

G	G	G	G	G	G
H	(r	,t )= ∑ CmHm (r		,t )+C−mH	−m (r ,t ) .	(1.46)
		m

Коэффициенты разложения полей в (1.45), (1.46) Cm и C−m находятся по формулам:

		1			z		GG
Cm =					∫∫jE−mdSdz ,
	Nm 0 S							(1.47)
				1			L	GG
C−m = −							∫∫jEmdSdz ,
			N−m
							z S

42		Гл. 1. Основные уравнения электроники
где	jG	– плотность тока пучка электронов, а Nm – норма m-ой

волноводной моды, которая определяется по формуле:

Nm = 41π S∫{ EGm ,HG−m − EG−m,HGm }dS .

Форма уравнений (1.47) может быть другой, если их продифференцировать по переменной z , а именно:

dC	m	=	1		GG
					jE	dS
			Nm S∫
dz						−m

dC−m

dz

(1.47а)

	1	GG
= −		∫jEmdS .
	N−m S

Продемонстрируем, как преобразуются уравнения возбуждения и уравнения движения для резонансных и нерезонансных приборов в случае двухмерных электромагнитных полей (двухмерное приближение). Такая модель правильно отражает физические явления и происходящие процессы в большинстве резонансных и нерезонансных электронных приборов СВЧ и поэтому может служить основой для расчета их выходных характеристик и выяснения механизмов преобразования энергии электронов в СВЧ-энергию поля.

1.6. Двухмерное приближение

Будем считатьG, что высокочастотное поле в электродинамической системе Em (rG,t ) имеет две компоненты Ey (y,z ) и

Ez (y,z ). Представим его в виде:

		Двухмерное приближение		43
G	G	G	G
Em (r		,t )=Cm (t ) y0Ey (y,z )+z0Ez (y,z ) exp (−iωt ). (1.48)
Здесь zG0		и yG0 – единичные орты вдоль координатных осей Oz

и Oy соответственно, Ey (y,z ) и Ez (y,z ) – пространственное

распределение двух компонент электрического высокочастотного поля, которые возбуждаются электронным потоком в электродинамической системе прибора. Преобразуем в этом приближении величину заряда ρdSdz в выражениях (1.44) и (1.47)

следующим образом:

	G	vz 0		dt0
	jdV =vGρdSdz = ρ dS vG				dz .	(1.49)
		vz
	0 0			dt

Здесь использованы известные соотношения для скорости электронов vz на траектории в любой момент времени t и началь-

ной скорости электронов vz 0 в момент их влета в пространство взаимодействия t0 : dz =vzdt , dz0 =vz 0dt0 , и закон сохранения

заряда

для

электронного потока: ρdSdz = ρ0dS0dz0 =

= ρ dS

v0z

dt0

. Учитывая очевидные равенства dS

=

S0

dy

и

0 vz dt

0

0

∆

0

I0 = j0S0 (здесь S0

– площадь поперечного сечения пучка, ∆ –

толщина пучка,

I0

– ток пучка на входе в систему,

j0 – плот-

ность тока на входе в систему), окончательно получим:

G			G		dt0
			v
jdV =	I0					dy dz .	(1.50)
	∆ vz				dt	0

Используя это выражение, преобразуем уравнения возбуждения для резонансных приборов (1.44) к виду:

44

Гл. 1. Основные уравнения электроники

dCm (t )

−i (ω−ω )C

m

(t )=

dt

m

I0

2π

L

dy

=

∫ ∫∫ Ez

+

Ey exp (iωt )dzdy0dωt0

(1.51)

dz

4π∆Nm 0 ∆ 0

и для нерезонансных приборов (1.47а):

dC

I0

2π

dy

m

=

∫ ∫

Ez

+

Ey exp (iωt )dy0dωt0 .

(1.52)

π∆Nm

dz

dz

0 ∆

В уравнениях (1.51) и (1.52) возможны дальнейшие преобразования при переходе к безразмерным величинам и параметрам.

Введем новые переменные: τ = ωm′ t – безразмерное время;

2Qm

ξ = Hy , ζ = Lz – безразмерные координаты электрона в про-

странстве взаимодействия; H – масштабный коэффициент по поперечной координате, L – длина прибора. Кроме этого, нор-

мируем амплитуду поля Cm m-го вида на напряженность элек-

тростатического поля E	0	:	F =	Cm	, где E	0	=	U0	.
			m	E0				L

Особое место в приборах электроники СВЧ занимает интегральный параметр – сопротивление связи, который характеризует эффективность взаимодействия электронов и поля. В нерезонансных приборах О-типа чаще используют параметр Пирса или сопротивление связи. В резонансных приборах – параметр эффективности взаимодействия G . По определению сопротивление связи пучка с волной R определяется формулой:

R =

En

2

=

En

2

,

2

2

2β

P

2β Wv

Г

n

n

n

Двухмерное приближение

45

где Pn – мощность, переносимая n-ой пространственной гармоникой поля в направлении оси Oz ; En – амплитуда медленной

пространственной гармоники поля, с которой взаимодействует пучок электронов, W – энергия, запасаемая на единице длины замедляющей системы, vГ – групповая скорость волны. Приме-

нительно к резонансным приборам с длительным взаимодействием чаще используют параметр эффективности взаимодействия G , который определяется выражением

G = 2 I0 L2Qm (ωm′ NmU0 )−1 .

Следует отметить, что в норму колебаний Nm m-го типа

колебаний (для приборов с периодическими структурами) входят все пространственные гармоники, характерные для периодических систем, как замедленные, так и быстрые.

С учетом этих обозначений уравнения возбуждения для резонансных приборов принимают следующий вид:

dFm (τ) − i		(ω − ωm )			2QmFm (τ) =GS (Fm )Fm , (1.51а)
dτ			ωm′
где функция S (Fm ) определяется выражением
S (Fm ) =	H		1 2π			dξ
			∫∫ ∫	Ez		+ dζ	Ey exp (iωt )dωt0dξ0dζ
	2πF ∆
	m		0 ∆ 0

и называется средней крутизной колебательной характеристики резонансного СВЧ-прибора, которая, в общем случае, является комплексной величиной: S (Fm ) = S1 (Fm )+ iS2 (Fm ). Вещест-

венная ее часть S1(Fm ) определяет пусковой ток Iпуск прибора

46	Гл. 1. Основные уравнения электроники

Gnyck ( Inyck ) = [S1 (0)]−1 , электронный КПД ηe и мощность P колебаний:

ηe = F 2S1(Fm ) , P = I0U0F2S1(Fm ) ;

а мнимая часть крутизны S2 (Fm ) – частотные характеристики прибора (частоту ω и электронное смещение частоты δω ):

δω =	(ω −ωm′ )		2Q	= −GS	(F ) = −	S	(F )	.
						2	m
	ωm′
			m	2	m	S1(Fm )

Для нерезонансных приборов уравнение возбуждения сводится к следующему:

dFm (ζ) = dζ

l

G

l

π∆

2π				+	dξ H		.(1.52а)
∫0	∆∫	Ez			dζ L	Ey exp (iωt )dξ0dωt0

Здесь:

l	=		I0			L2		l	∆
G		N U						, ∆= H .
			m				0

В приборах с длительным взаимодействием компоненты электрического высокочастотного поля в нерелятивистском

случае связаны между собой соотношением Ey =iEz . При на-

личии периодических структур в приборах О-типа эти компоненты поля можно представить в виде:

Ey =if (z)ψy (y)exp(iβnz) ;

(1.53)

Ez = f (z)ψz (y)exp(iβnz) .

Двухмерное приближение

47

Здесь βn = ωm – продольное волновое число n-ой пространст- vϕn

венной гармоники поля, vϕn – ее фазовая скорость. В случае резонансных приборов распределение поля f (z) по продольной координате z и распределения компонент полей ψy (y) , ψz (y) по поперечной координате y – заданные функции. Для нерезонансных приборов функция f (z) является константой, а зависимость поля от координаты z в процессе взаимодействия с электронами определяется функцией Fm (ζ), которая находится

из уравнений (1.52а).

Таким образом, для резонансных и нерезонансных приборов уравнения возбуждения имеют совершенно разный вид.

В приборах О-типа с длительным взаимодействием время пролета электронов через пространство взаимодействия, с одной стороны, намного превосходит период колебаний, а с другой – намного меньше времени установления колебаний в резонансных приборах. Это позволяет фактически использовать одно и то же уравнение движения электронов для разного класса приборов. Получим его в приближении двухмерных высокочастотных полей.

1.6.1. Нелинейные уравнения движения

Воспользуемся векторным уравнением движения (1.5). Для удобства перепишем его здесь:

dmvdt G =e (EG + vG,BG ).

48	Гл. 1. Основные уравнения электроники

Распишем векторное произведение в уравнении vG,BG в проекциях на оси координат:

G	G	=		xG0	yG0	zG0		=
				vx	vy	vz
v	,B
				Bx	By	Bz

=xG0 (Bzvy −Byvz )−yG0 (Bzvx −Bxvz )+zG0 (Byvx −Bxvy ).

Перепишем векторное уравнение движения в виде трех скалярных и преобразуем их, используя переменные Лагранжа для укрупненных частиц:

d2x2

= −

e

(Ex +Bzvy −Byvz ),

m

dt

d2y2

= −

e

(Ey +Bxvz −Bzvx ),

m

dt

d2z2

= −

e

(Ez +Byvx −Bxvy ).

m

dt

Введем фазу θ = θ(t,t0 ,y,y0 ,z,z0 )= ωt −βez −ϕ0 , где

(1.54)

(1.55)

(1.56)

βe = vω0

– электронное волновое число, т.е. перейдем в движущуюся с начальной скоростью электронов v0 систему координат. Здесь

t0 – начальное время влета в пространство взаимодействия, а z0 , y0 – начальное местоположение укрупненной частицы в методе «крупных частиц» при использовании переменных Ла-

Нелинейные уравнения движения

49

гранжа. Преобразуем уравнения движения для электронов на траектории относительно продольной координаты z . Для этой цели продифференцируем фазу θ по продольной координате z :

∂∂θz = ω ∂∂zt −βe .

∂z

Отсюда находим продольную скорость через производную ∂t :

	∂z	=v0		+	1 ∂θ		−1
			1				.
	∂t				βe ∂z

Вычислим ускорение или вторую производную в уравнении движения (1.56) от продольной координаты z по времени t :

∂2z			∂2t			∂t −3
	2	= −					.
∂t			∂z	2
						∂z

∂t

Воспользуемся вычисленными значениями первой ∂z и второй

∂2t

∂z2 производных:

∂t

=

1

+

1

∂θ

1

,

v0

∂z

βe ∂z

∂2t

=

1

1 ∂2θ

,

∂z2

v

0

β ∂z2

e