Жесткие системы дифференциальных уравнений

В некоторых системах дифференциальных уравнений описанные ранее методы численного решения дают плохие результаты. А именно, для достижения заданной точности приходится выбирать очень мелкий шаг, т.е. выполнять слишком большой объем вычислений. К таким системам относятся жесткие системы дифференциальных уравнений.

Определение. Система дифференциальных уравнений (7) называется жесткой вдоль решения , если выполняются следующие два условия:

1. собственные числа матрицыимеют отрицательные действительные части при любом;

2. число жесткости велико.

Напомним, что матрица– это матрица Якоби, т.е. матрица из частных производных, элементы которой имеют вид. Перед вычислением собственных чисел в эти элементы вместоy нужно подставить , т.е. то решение, вдоль которого исследуется система на жесткость. Полученная матрица будет зависеть только отx, и ее собственные числа тоже будут зависеть от x. Условие 2 в определении жесткой системы оставляет некоторый произвол в понимании слова «велико». Насколько велико должно быть число жесткости g, определяется в зависимости от конкретной задачи. Обычно система считается жесткой, если число жесткости порядка нескольких сотен. Если система (7) – линейная, то матрица зависит только отx, а если система линейная с постоянными коэффициентами, то эта матрица является постоянной, т.е. числовой (наиболее простой случай). Для линейных систем условие жесткости не зависит от рассматриваемого решения.

Вот цитата из посвященной жестким уравнениям монографии К.Деккера и Я.Вервера: «Сущность явления жесткости состоит в том, что решение, которое нужно вычислить, меняется медленно, однако существуют быстро затухающие возмущения. Наличие таких возмущений затрудняет получение медленно меняющегося решения численным способом».

Для решения жестких систем дифференциальных уравнений разработаны специальные методы. Они используют неявные схемы типа интерполяционных методов, указанных выше, и используют матрицу Якоби правых частей системы уравнений.

Возможны случаи, когда система дифференциальных уравнений является жесткой только на какой-то части решения, а на остальной части жесткой не является. В этом случае можно первую часть решения найти с помощью методов для жестких систем, а другую часть – с помощью методов, описанных выше.

Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим сначала решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Систему запишем в матричном виде

y’ = Ay,

где A – квадратная матрица порядка n. Пусть – попарно различные собственные числа этой матрицы,– соответствующие им собственные векторы.

Напомним, что матрица-столбец f является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , еслии.

Общее решение системы уравнений записывается следующим образом:

,

где – произвольные постоянные.

Если решается задача Коши с начальным условием , то постоянныенаходятся из равенства. Это равенство является системой линейных уравнений относительно неизвестных, которая в матричном виде записывается так:. В этой записиF – матрица, столбцами которой служат векторы ;M – диагональная матрица, у которой на диагонали стоят числа ;C – столбец неизвестных . Если, то система принимает более простой вид,, так как в этом случае матрицаM является единичной матрицей.

Учитывая, что задача будет решаться с помощью MATHCAD, общее решение запишем с использованием дополнительной матрицы. Обозначим через D диагональную матрицу, на диагонали которой стоят , и положим. Легко проверить, что при умножении матрицы справа на диагональную матрицу каждый столбец первого сомножителя умножается на соответствующий диагональный элемент второго сомножителя. Поэтому общее решение примет вид

где – столбец матрицыT с номером k.

Часто встречается случай, когда среди собственных чисел матрицы A имеются комплексные числа. Если матрица является вещественной, то при наличии собственного числа среди собственных чисел будет и сопряженное число. Компоненты соответствующих им собственных векторов также будут комплексно сопряженными. По этой причине решение можно записывать в действительном виде, используя формулу Эйлера. В решении тогда кроме экспонент появятся функции синус и косинус. Так как это пособие рассчитано на применение системыMATHCAD, то удобнее будет работать с комплексными числами и только окончательное решение задачи Коши переписать в вещественном виде. Пусть решается задача Коши и матрица T уже найдена. Предположим, что имеется пара комплексно сопряженных собственных чисел и.Тогда в общем решении вместопоявится

.

Здесь ,обозначают соответственно действительную и мнимую часть первого столбца матрицыT. Легко сообразить, что ,.

Такие же изменения в записи общего решения придется сделать для каждой пары комплексно сопряженных собственных чисел. Для вещественных собственных чисел в записи общего решения ничего не меняется.

Следует учесть, что при приближенных вычислениях с комплексными числами там, где должны получаться вещественные числа, могут получиться числа с очень малой мнимой частью. Ясно, что эту мнимую часть в ответе следует отбросить.

Случай, когда собственных чисел меньше, чем порядок матрицы, слишком сложный, чтобы рассматривать его в этом пособии.

Пусть решается неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , гдеp – столбец чисел; – одна из функций,,, или система, где– векторы.

Как известно, общее решение неоднородной системы является суммой общего решения однородной системыи частного решениянеоднородной системы.

Как находится общее решение однородной системы, мы уже обсуждали. Частное решение неоднородной системы находится по правилам, аналогичным правилам нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка и выше. Рассмотрим три случая.

Пусть в правой части стоит одна из функций ,. Тогда мы должны проверить, совпадает ли числос каким-либо собственным числом матрицыA. Если совпадает, то решение становится более сложным, и здесь мы его рассматривать не будем. Если не совпадает, то частное решение ищется в виде , гдеu и w – столбцы неизвестных. Частное решение, записанное в таком виде, подставляется в неоднородную систему. Затем приравниваются столбцы при функции в правой и левой части и аналогично столбцы при функции. В результате получается система с 2n неизвестными, где n – число неизвестных функций в исходной системе дифференциальных уравнений. Если , то действия выполняются так же.

Пусть в правой части стоит функция . В этом случае проверяем, нет ли среди собственных чисел матрицыA числа . Если нет, то частное решение ищем в виде, гдеu – столбец неизвестных. Далее действия такие же, как и в предыдущем случае.

Пусть в правой части стоит функция . Проверяем, есть ли среди собственных чисел матрицыA число нуль. Если нет, то частное решение ищем в виде , где– столбцы неизвестных. Частное решение, записанное в таком виде, подставляется в неоднородную систему. Затем приравниваются столбцы при функциях 1,,, …,, стоящие в правой и левой части полученного равенства. Результатом является система снеизвестными.

После того как найдены неизвестные в частном решении, записывается общее решение неоднородной системы. Если требовалось решить задачу Коши, то в общем решении определяются произвольные постоянные с учетом начальных условий.

Лабораторная работа №6