 Формула включений и исключений

После определения операций и основных законов над множествами возникает вопрос относительно числа элементов полученных множеств.

Пусть дано конечное не пустое множество А, т.е.Ø, состоящее изnэлементов. Закрепим за каждым элементом множестваАсоответствующий номер 1, 2, 3, …,n. Тогда элементы множестваАпредстанут в занумерованном виде:, где номер последнего элемента и означает число элементов множестваА. Значит числоn, соответствующее количеству элементов множества, будет количественной характеристикой данного множества. Число элементов конечного множестваАбудем обозначать. Число элементов пустого множества Ø равно нулю, т.е..

Пусть существуют множества АиВ, количество элементов которыхи, тогда общее количество элементовАиВвычисляет формула, называемаяформулой включений и исключений¹(ее можно обобщить на три и более множества), которая позволяет решать многие задачи теории множеств (см. Рисунок 4).

Рисунок 4. Формула включений и исключений.

Пример 7.

Из 16 студентов группы, изучающих английский или китайский язык, 11 – изучают китайский. Сколько студентов изучают оба языка, если английский язык изучают 9 из них?

Решение.

Что дано?

Даны два множества:

К– студенты, изучающие китайский язык, которых.

А– студенты, изучающие английский язык, которых.

Всего студентов 16, т.е. .

Что нужно сделать? Узнать сколько студентов изучают оба языка одновременно (и китайский, и английский), т.е.(см. рисунок 5).

Значит, количество студентов в группе изучающих оба языка можно вычислить по формуле включений и исключений:

, т.е.

.

Ответ.4 человека изучают оба языка: китайский и английский язык.

Упражнения для выполнения

1. Приведите примеры множеств из обычной жизни. Какие множества, из приведенных примеров, является конечными, а какие нет. Поясните свой ответ.

2. Запишите,используя символы:

   1. число 12 – натуральное;

   2. число – 6 – не является натуральным;

   3. число 0 является рациональным;

   4. число - действительное.

3. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них верные, поясните свой ответ:

   а)	;	г)	;	ж)	;
   б)	;	д)	;	з)	;
   в)	;	е)	;	и)	.

4. Перечислите элементы следующих множеств:

   1. А– множество нечетных однозначных множеств;

   2. В– множество натуральных чисел меньших или равных13;

   3. С– множество двухзначных чисел, делящихся на 5.

5. Задайте множество D, которое состоит из натуральных чисел:

   1. кратных 3;

   2. больших 40,но меньших 70;

   3. не больших 13;

   4. четных двухзначных чисел;

   5. по крайней мере равных 10.

6. Укажите характеристическое свойство элементов множества:

   1. {а, е, ё, и, о, у, э, ю, я, ы};

   2. {60,62,64,66,68};

   3. {111,222,333,444,555,666,777,888,999}.

7. Задайте при помощи характеристического свойства множества, выделенные на координатной прямой:

   а)		в)
   б)		г)

8. Опишите множество точек М плоскости таких, что:

   1. ;

   2. ;

   3. .

9. Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640?

10. Истинными являются высказывания …. Почему?

    1. ;

    2. Ø;

    3. ;

    4. ;

    5. Ø ;

    6. .

11. Определите, какой знак «=», «», «», «» или «» можно поставить вместо знака «?», чтобы полученное утверждение было верно:

    1. {1, 3} ?{1, 2, 3};

    2. {3} ? {1, 3, 5, 8};

    3. {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ?{1, 2, 3};

    4. 1 ?{1, 3, 5, 8};

    5. {1, 3} ?{{1, 3}, 2};

    6. {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {(1, 2), (2, 3), (1, 3)};

    7. Ø ? {1, 3, 5, 8};

    8. {3} ? {1, {3}, 5, 8};

    9. {(2, 1), (3, 2)} ?{(1, 2), (2, 3)};

    10. {{1, 2}, {2, 3}} ? {{2, 1}, {3, 2}, {1, 3}};

    11. {1, 2, 3} ?{x|xделится на 6}.

12. Может ли у множества быть:

    1. 0 подмножеств;

    2. 9 подмножеств;

    3. 16 подмножеств.

Если да, то ответьте на вопросы: «Почему?» и «Из скольких элементов состоит множество, у которого имеется заданное количество подмножеств?».

13. Приведите пример таких множеств А, В и С, что , и .

14. Может ли при некоторых А, B, C и D выполняться набор условий: ,,и.

15. Изобразите при помощи диаграмм Эйлера-Венна отношения между множествами CиD, если:

    1. C– множество двухзначных чисел и;

    2. C– множество двухзначных чисел иD– множество четных натуральных чисел;

    3. C– множество двухзначных чисел иD– множество трехзначных чисел;

    4. C– множество двухзначных чисел иD– множество натуральных чисел, не меньших 10.

16. Найдите объединение, пересечение, разность и симмет­рическую разность множеств А и В, если:

    1. А = {1, 2, 3, 4, 5}, В ={2, 4, 6, 8, 10};

    2. А= {а, б, в, г, д, е},В= {а, в, д, к, и}.

17. Найдите объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если:

1. , ;

2. , .

18. Студентам предложено начертить две фигуры, принадлежащие объединению и пересечению множеств ХиY, если:

    № п/п	Х	У
    1	множество ромбов	множество прямоугольников
    2	множество равнобедренных треугольников	множество прямоугольных треугольников

19. Отношения между множествами всех выпуклых четырехугольников, параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изображены на Рисунок 5. Чем является множества А,B,CиD.

Рисунок 5

20. Даны множества:

А– множество натуральных чисел, кратных 2,

B – множество натуральных чисел, кратных 6,

С– множество натуральных чисел, кратных 3.

Задайте множества А, B и C. Как между собой связаны множества А, B и C? Покажите это на диаграммах Эйлера-Венна.

21. Даны следующие числовые множества:

А = {1, 3, 5, 7, 9,11},

В ={2, 5, 6, 11, 12},

С={1, 2, 3, 5, 9, 12}.

Найдите множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:

а)	;	д)	;
б)	;	е)	;
в)	;	ж)	;
г)	;	з)	.

22. Укажите ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:

а)	;	д)	;
б)	;	е)	;
в)	;	ж)	;
г)	;	з)	.

23. Запишите множество, изображенное с помощью диаграммы Эйлера-Венна на Рисунок 6:

Рисунок 6

24. Заполните пустые клетки в таблице, если даны следующие множества:

,

.

№ п/п	Словесная формулировка множества	Элементы множества	Отношение между множествами	Диаграммы Эйлера-Венна
1
2
3		Ø
4	множество, являющееся дополнением множества А доВ

25. Пусть даны два множества АиВ таких, чтоØ. Можно ли выразить данное отношение более простым способом. Ответ свой проиллюстрируйте диаграммами Эйлера-Венна.

26. Каким условием связаны два множества инеобходимым, достаточным или необходимым и достаточным? Ответ свой проиллюстрируйте диаграммами Эйлера-Венна.

27. Покажите на диаграммах Эйлера-Венна верность данных равенств, после чего докажите, что они равны:

    1. ;

    2. .

28. Упростите выражения:

    а)	Ø ;	з)	;
    б)	Ø ;	и)	;
    в)	Ø ;	к)	;
    г)	Ø ;	л)	;
    д)	Ø);	м)	;
    е)	;	н)	.
    ж)	Ø);

29. Запишите выражение в более простом виде:

    а)	;	ж)	;
    б)	;	з)	;
    в)	;	и)	;
    г)	;	к)	;
    д)	;	л)	.
    е)	;

30. Упростите выражения:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. .

31. Докажите равенства:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

32. Выясните, при каком условии множества Х удовлетворяет условию:

    1. ;

    2. .

33. По предложенным диаграммам определите соответственные значения:

    2059

34. Правильно ли представлено на Рисунок 7 условие следующей задачи: «Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5. Все три языка изучают 3 студента».

Рисунок 7

35. В рамках задачи 34ответьте на вопросы: «Сколько студентов изучают только один язык?», «Сколько студентов не изучают не один язык?».

36. В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько человек коллекционируют только монеты?

37. На первом курсе учатся 100 студентов. Из них 60 изучают английский язык, 50 – французский язык, 50 – немецкий язык, 30 – английский и французский языки, 30 – английский и немецкий языки, 20 – немецкий и французский языки, 10 – все три языка.

Изобразите графически данные задачи и установите, сколько студентов:

1. изучают только английский язык;

2. изучают английский и французский языки, но не изучают немецкий язык;

3. изучают два языка;

4. не изучают ни одного из тех языков.

1. Даны 40 чисел. Из них 10 чисел кратны 3, 15 кратны 2, 20 чисел не кратны ни 2, ни 3. Сколько среди данных 40 чисел,кратных 6?

2. В спортивном лагере 100 человек, занимающихся плаванием, легкой атлетикой и лыжами. Из них 10 занимаются и плаванием, и легкой атлетикой, и лыжами, 18 – плаванием и легкой атлетикой, 15 – плаванием и лыжами, 21 – легкой атлетикой и лыжами. Число спортсменов, занимающихся плаванием, равно числу спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, и равно числу спортсменов, занимающихся лыжами. Найти число спортсменов, которые занимаются только лыжным спортом или только легкой атлетикой.

3. На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют тройки 19 человек, по информатике и математике —17 человек и по физкультуре –22 человека. Только по одному предмету имеют «3»: по теории государства и права –4 человека, по информатике и математике –4 человека и по физкультуре –11 человек. 7 человек имеют «3» и по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют «3» и по теории государ­ства и права. Сколько человек учится без «3»? Сколько чело­век имеют «3» по двум из трех дисциплин?

4. В классе 20 человек. На экзаменах по истории, математике и литературе 10 учеников не получили ни одной пятерки, 5 учеников получили 5 по истории, 5 – по математике и 4 – по литературе; 2 - по истории и математике, 2 - по истории и литературе, 1 - по математике и литературе. Сколько учеников получили 5 по всем предметам?

5. Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, посещающих кружки: только спортивную секцию посещают 18; занимаются спортом и не ходят в драматический кружок – 23; занимаются спортом и танцами – 8; занимаются спортом – 26; посещают танцы – 48; ходят на танцы и в драматический кружок 8; не посещают никакие кружки – 24.

   1. Сколько студентов, занимающихся спортом, посещает драматический кружок?

   2. Сколько студентов занимается в драматическом кружке?

   3. Сколько студентов занимаются танцами, в том и только том случае, если они не посещают драматический кружок?

1def – это действие по определению.

1Впервые формулу включений и исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва в 1854 года. Но еще в 1713 году Николай Бернулли использовал этот метод для решения задачи о встречах.

7