- •Лабораторная работа вм №5
- •Определение границ спектра белого света
- •С помощью дифракционной решетки
- •Требованяи по технике безопасности
- •1. Краткие теоретические сведения
- •Дифракция световых волн
- •1.2.Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)
- •1.3. Дифракционная решетка
- •Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых
- •Описание лабораторной установки
- •3. Порядок выполнения работы
- •4. Обработка результатов эксперимента
- •Требования к оформлению отчета
- •Контрольные вопросы и задания
- •7. Литература
1.2.Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)
Рис.
2.
Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис.2. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол ,образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.
Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины . Вторичные волны,посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана. Каждая элементарная зона создаст в точкеколебание. Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана,будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны . Следовательно, амплитудаколебания, возбуждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид
,
где - константа.
Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели:
.
Отсюда , и, следовательно,
.
Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями .Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементарными зонами с координатами 0 и (рис. 2). Оптические пути итаутохронны (см. рис.2). Поэтому разность фазмежду рассматриваемыми колебаниями образуется на пути =. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого вточке элементарной зоной, находящейся в середине щели, положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна(- длина волны в данной среде).
Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке(положение которой определяется углом), может быть представлено в виде
(имеется в виду вещественная часть этого выражения).
Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:
.
Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Крометого, введем обозначение . В результате получим
Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание,что разность экспонент, деленная на , представляет собой,можно написать
Рис. 3.
Последнее выражение является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:
. (1)
Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановкаэтого значения в формулу (1) дает для амплитуды значение 2. Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.
При значениях , удовлетворяющих условию:,т. е. в случае, если
, (2)
амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условиеопределяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точкуот краев щели (см. рис.3).
Последнее условие легко получить из следующих соображений. Если разность хода от краев щели равна, открытую частьволновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна(см. рис. 3, выполненный для). Колебания от каждойпары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разностьхода =число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (1) получаем
, (3)
где - интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы),- интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением.
Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 2)дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы).
Рис.
4.
График последней функции изображен на рис.4. По оси абсцисс отложены значения , по оси ординат - интенсивность.
Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны. Из условия (2) следует, что. Модульне может превысить единицу. Поэтому, откуда.
При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.
Краям центрального максимума соответствуют значения угла ,получающиеся из условия . Эти значения равны.Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна .
В случае, когда , значениеможно положить равным . Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:
.
Рис.
5.
Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда, колебания от краев щели отличаются по фазе на .Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 5. в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной. Результирующая амплитуда равна нулю - получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случаеколебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя последовательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность диаметра (рис. 5.г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогичноможно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:
.
Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.
В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будутпрактически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулахследует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью кплоскости щели.