1.3. Дифракционная решетка

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же рас­стояние щелей (рис. 6). Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

Рис. 6

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фо­кальной плоскости которой поставим экран. Выясним характер ди­фракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 4. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точкуот различных щелей, были некогерентными, результирующая картина отщелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы враз. Однако, коле­бания от различных щелей являются в большей или меньшей сте­пени когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от(- интенсив­ность, создаваемая одной щелью).

В дальнейшем мы будем пред­полагать, что радиус когерентно­сти падающей волны намного пре­вышает длину решетки, так что колебания от всех щелей можно считать когерентными друг отно­сительно друга. В этом случае ре­зультирующее колебание в точ­ке , положение которой определяется углом , представляет собойсумму колебаний с одинаковой амплитудой, сдвинутых друготносительно друга по фазе на одну и ту же величину . Согласноформуле (3) интенсивность при этих условиях равна

(4)

(в данном случае роль играет).

Из рис.6 видно, что разность хода от соседних щелей равна . Следовательно, разность фаз

, (5)

где - длина волны в данной среде.

Подставив в формулу (4) выражение (3) для и (5) для, получим

(6)

(- интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).

Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых

. (7)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (2)).

Второй множитель в (6) принимает значение в точках, удовлетворяющих условию

. (8)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

(9)

(- амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом ).

Условие (8) определяет положения максимумов интенсив­ности, называемых главными. Число дает порядокглавного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (9) в квадрат, получим, что интенсив­ность главных максимумов враз больше интенсивности,создаваемой в направлении одной щелью:.

Кроме минимумов, определяемых условием (7), в проме­жутках между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направле­ниях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно пога­шают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием

. (10)

.

В формуле (10) принимает все целочисленные значения, кро­ме , т. е. кроме тех, при которых условие (10) пере­ходит в (8).

Рис. 7

Условие (10) легко получить методом графического сложе­ния колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (10) каждый из после­дующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол

.

Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным,мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при) или (при) оборотов прежде чем конец-го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено нарис. 7, на котором показана сумма векторов для случая и значений , равныхи.

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных макси­мумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 8 приведен график функции (6) для и. Пунктирная кривая, проходящая через вершины глав­ных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении пе­риода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го,6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (7) и (8) вытекает, что главный максимум -гопорядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выпол­нено равенство: , или. Этовозможно, еслиравно отношению двух целых чисел и(практический интереспредставляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный

Рис. 8

максимум-го порядка наложится на-й минимум от одной щели, максимум-го порядка - на-й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядкови т. д. будут отсутствовать.

Рис. 9

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решеткик длине волны. Модульне может превысить единицу. Поэтому из формулы (8) вытекает что.

Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумовопределяется условием (см. формулу (10)),этим минимумам соответствуют = , при этом..

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главно­му максимуму -го порядка, определяется условием:. Отсюда получается для угловой ширины -го мак­симума следующее выражение:

.

Обозначив и, имеем

.

При большом числе щелей значение будет очень мало, потому , и

.

При

Рис. 10

Произведениедает длину дифракционной решетки. Следо­вательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропор­циональна длине решетки. С увеличением порядка максимумаширинавозрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны .Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси­мумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ). Разрешающая сила определяет ми­нимальную разность длин волн , при которой две линии воспри­нимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на.

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, про­дифференцируем условие (8) главного максимума слева по ,а справа по . Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

(11)

- угловая дисперсия обрат­но пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спект­ра , тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину , где- линейное расстояние на экране или на фотопластинке меж­ду спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Из рис. 9 видно, что при небольших значениях угламожно по­ложить , где- фокусное расстояние линзы, собирающейдифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная диспер­сия связана с угловой дисперсиейсоотношением

.

Приняв во внимание выражение (11), получим для линейной дисперсии дифракционной решетки (при небольших ) следующуюформулу:

.

Разрешающей силой спектрального прибора называ­ют безразмерную величину

,

где - минимальная разность длин волн двух спектральных ли­ний, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т. е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояний между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. На рис. 10 показана результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случае а) оба максимума воспринимаются как один. В случае б) между максимумами лежит минимум. Два близких максимума вос­принимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если сере­дина одного максимума совпадает с краем другого (рис. 10. б). Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении .

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положе­ние середины -го максимума для длины волныопределяется условием

.

Края -го максимума для длины волнырасположены под углами, удовлетворяющими соотношению

.

Середина максимума для длины волны совпадет с краеммаксимума для длины волны в том случае, если.Отсюда

.

Решив это соотношение относительно , получим выражениедля разрешающей силы .

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки про­порциональна порядку спектра и числу щелей.