6.5. Интервал

Вернемся к понятию интервала между событиями. В нештрихованной системе отсчета квадрат интервала равен . Будем считать, что оба события происходят с одной и той же частицей. Тогда

Но - скорость частицы, поэтому, или, где- промежуток собственного времени частицы между событиями.

Мы говорили, чтоиc являются инвариантами, следовательно, интервал равен произведению двух инвариантов и также является инвариантом, т.е. его величина не зависит от выбора системы отсчета и во всех инерциальных системах отсчета одинакова.

Если , интервал называется вещественным. В этом случае существует такая система отсчета, в которой, т.е. события, разделенные вещественным интервалом, могут быть пространственно совмещенными. Однако не существует систему отсчета, в которой, т.е. события, разделенные вещественным интервалом, ни в коем случае не могут быть одновременными. Поэтому вещественный интервал называется времениподобным.

Если , интервал называется мнимым, для таких интервалов существует система, в которой, т.е. события оказываются одновременными. Однако не существует системы, в которой(приинтервал будет вещественным), т.е.события, разделенные мнимым интервалом, не могут оказаться пространственно совмещенными. Такой интервал называется пространственноподобным, при этом, поэтому события не могут воздействовать друг на друга и не могут быть причинно связанными друг с другом, так как не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей скорости света, порядок следования событий может быть произвольным.

Возьмем мировую точку О некоторого события за начало отсчета времени и координат. Проведем в четырехмерном пространстве через эту точку взаимно перпендикулярные оси x,y,z,t. На рис. 6.6 представлена плоскость x,t, для которой y=0, z=0. Движение частицы со скоростью , происходящее в трехмерном пространстве вдоль осиx, изображено на рисунке прямыми . Скорость частицы не может превышать, поэтому мировые линии всех частиц, проходящий при своем движении через мировую точкуО, будут лежать в пределах незаштрихованной области. В четырехмерном пространстве этой области соответствует конус, осью которого является t. Образующие конуса представляют собой мировые линии световых сигналов. Поэтому его называют световым конусом.

Для любой мировой точки А, лежащей в области, названной на рис.6.6 абсолютно будущей, и интервалмежду событиямиО и А – времениподобный, причем в выбранной нами системе отсчета . Если брать системы отсчета, скорость которыхотносительно нашей системы меняется непрерывно, будет непрерывно меняться и промежуток времени. Однако, ни в одной системе отсчетане может быть равным нулю ( два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут быть одновременными) Следовательно, не существует и таких систем отсчета, в которых(чтобы стать отрицательным,должен при непрерывном измененииизмениться скачком). Таким образом, во всех системах отсчета событиеА будет происходить позже события О.

Для любой мировой точки B, лежащей в абсолютно прошедшей области, , т.е. интервал-времениподобный, однакои во всех системах отсчета событиеB предшествует событию О.

Для любого события C или D, мировая точка которого лежит в абсолютно удаленных областях, , и интервалыи- пространственноподобные. В любой системе отсчета событияO и C, или O и D происходят в разных точках пространства. Понятие одновременности этих событий является относительным. В одних системах отсчета событие C (или D) происходит позже, а в других раньше события O. Имеется одна система отсчета, в которой событие C(или D) происходит одновременно с O).

6.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим движение материальной точки (рис.6.7). В системе X положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z. Выражения представляют собой проекции вектора скорости точки на соответствующие оси в системе отсчетаX. В системе положение материальной точки характеризуется в каждый момент временикоординатами Проекции вектора скорости относительно на эти оси определяются выражениями. Из формул (6.2) получаем

Разделив первые три равенства на четвертое, получаем формулы для преобразования скоростей при переходе их одной системы отсчета в другую:

(6.3)

При эти соотношения переходят в преобразования Галилея в классической механике. Обратные преобразования имеют вид:

Если тело движется параллельно оси x, его скорость относительно системыX совпадает с , а скоростьотносительно системы- с. В этом случае закон сложения скоростей принимает вид

(6.4)

Если скорость частицы в одной системе отсчета =c, то в другой системе, согласно (6.4) эта скорость равна

Мы получили, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Однако к преобразованиям Лоренца они оказываются неинвариантными. В частности, не инвариантен к преобразованиям Лоренца вытекающий из законов Ньютона закон сохранения импульса.

В теории относительности импульс, как и в Ньютоновской механике, равен произведению массы тела на его скорость

(6.5)

Однако в выражении (6.5) масса не является постоянной величиной, а зависит от скорости по закону

. (6.6)

Величина называется массой покоя, это инвариантная величина, массаносит название релятивистской массы. Зависимость релятивистской массы от скорости представлена на рис.6.8.

Продифференцировав выражение (6.5) по времени, получаем релятивистское выражение второго закона Ньютона

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим это уравнение на перемещение частицы :

Правая часть этого выражения равна работе, совершаемой над частицей за время dt. Как следует из закона сохранения энергии, эта работа равна приращению энергии частицы:

Преобразуем полученное выражение:

Проинтегрировав, имеем

Экспериментально доказано, что константа в этом выражении равна нулю. Тогда полная энергия частицы

(6.7)

Если скорость частицы равна нулю, энергия Это энергия покоя. Она не связана ни с каким движением частицы. Для произвольного тела энергия покоя равна сумме энергий покоя всех его частиц, кинетических энергий этих частиц в системе центра масс тела и потенциальных энергий взаимодействия этих частиц. В энергию покоя, как и в полную энергию, не входит потенциальная энергия тела в поле внешних сил.

Очевидно, кинетическая энергия равна разности между полной энергией и энергией покоя частицы:

В случае малых скоростей эта формула преобразовывается к виду:

Мы получили классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Решив совместно уравнения (6.5), (6.6) и (6.7), получаем:

. (6.8)

При имеем:

Это выражение отличается от классического выражения для кинетической энергии слагаемым .

Из выражения (6.7) следует еще одна формула для энергии: . Тогда импульс частицы

Получим еще одну формулу для энергии. Из замедления времени получаем

где - промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам в той системе отсчета, в которой частица движется,- тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей. Подставив это выражение в формулу (6.7), имеем

(6.9)

Получим теперь преобразования импульса и энергии. Из (6.8) следует

(6.10)

Масса является инвариантом, следовательно, и выражение (6.10) представляет собой инвариант, т.е. имеет одинаковую величину во всех инерциальных системах отсчета. Сами по себе величиныE и не являются инвариантами, так как они зависят от скорости, которая меняется при переходе из одной системы отсчета в другую.

Будем считать, что частица движется параллельно оси x, в системе скорость частицы равна. Тогда согласно релятивистской теореме сложения скоростей скорость в системеX равна

(6.11)

Здесь - скорость, с которой системадвижется относительно системыX. Энергию в системе X выразим через . Для этого вычислим выражение :

Тогда энергия

Полученная формула справедлива при любой взаимной ориентации векторов и. Это означает, что в преобразованиях участвует только компонента импульса. Так как, выражение для импульса принимает вид=.

Подставим в него из (6.11), имеем

Теперь будем считать, что в системе частица движется параллельно осии, следовательно,. В системеX компонента скорости частицы по оси x равна , так что. Соответственно, Так как , то из преобразований Лоренца для скоростей, и

Аналогичный результат получается для компоненты . Тогда преобразования для энергии и импульса принимают вид:

Эти формулы совпадают с формулами (6.2) преобразования координат и времени.

По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы. Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин преобразующихся по тем же формулам, что иct, x,y, z. Квадрат такого вектора равен . Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, квадрат четырехмерного вектора оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца. Тогда совокупность величинобразует четырехмерный вектор, называемый вектором энергии-импульса. Квадрат этого вектора является инвариантом и равен

Зависимость релятивистского импульса от скорости представлена на рис.6.9. При малых скоростях релятивистский импульс совпадает с классическим.