Методичка по ЭММ РГЗ

3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

Экономико-математическое моделирование производственных систем

Методические указания к выполнению расчетно-графического задания для студентов направления подготовки 080100 – Экономика

Белгород

2013

4

СОДЕРЖАНИЕ

1. Методические рекомендации к выполнению
расчетно-графического задания.................................................................		5
1.1. Оптимизационные методы и модели в управлении
экономическими системами (задача 1)......................................................		5
1.2. Элементы сетевого планирования и управления...........................		8
1.3. Линейные балансовые модели в экономике................................		10
1.4. Элементы теории массового обслуживания................................		13
2. Оформление расчетно-графического задания.....................................		17
Приложения .............................................................................................		19
Приложение 1	Темы теоретического задания....................................	19
Приложение 2	Варианты практического задания 1 ...........................	21
Приложение 3	Варианты практического задания 2 ...........................	34

5

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

1.1. Оптимизационные методы и модели в управлении экономическими системами (задача 1)

Оптимизационная задача это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимые значений. В самом общем виде задача математически записывается так:

U = f(Х) max; Х W,

(1)

где Х = (х1, х2, ..., хn);

W область допустимых значений переменных х1, х2, ..., хn; f(Х) целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т е. указать Х0 W такое, что f(Х0) f(Х) при любом Х W, или для случая минимизации f(Х0) f(Х) при любом

Х W.

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(Х), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

В математическом программировании принято выделять основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(Х) и от области W.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

		n
max (min) f(	X	) = cjxj							(4)
		j 1
		n
при ограничениях aijxj			bi,i		1,m		,		(5)
		j 1
		xj 0, bi	0, i =			; j =			(6)
				1,m				1,n

В качестве примеров задач оптимизации, к которым может быть применен инструмент линейного программирования, можно назвать следующие:

6

1) Определение ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает два и более вида продукции – П1, П2 и Пi, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два и более вида сырья – А, В и т.д. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют bj единиц. Расход сырья на единицу продукции составляет aij. Оптовые цены единицы продукции равны cj. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

n

max f( X ) = cjxj

		j 1
n
при ограничениях aijxj	bi,i	1,m	, xj 0, bi 0, i =	1,m	; j =	1,n
j 1

2) Использование мощностей оборудования.

Предприятие имеет m моделей машин различной мощности. Задан план по времени и номенклатуре T – время работы каждой машины, а продукции j-го вида должно быть выпущено не менее Nj единиц. Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны bij производительность каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции и cij стоимость единицы времени для каждого вида продукции. Т.е. задача предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции xij. Z – затраты на производство.

m	n
Z cijxij min
i 1 j 1
n				m
xij	T,i	1,m		bijxij N j, j	1,n
j 1				i 1

3) Минимизация дисбаланса на линии сборки.

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из m различных узлов. Эти узлы изготавливаются на n заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна bij. Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства m узлов, равного величине Ti. Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или нескольким видам узлов.

7

4) Задача составления кормовой смеси (или задача о диете).

xi – количество i-го сырья в смеси, m – количество видов сырья, n – количество ингредиентов в сырье, аij – минимальное количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья, bj – минимальное количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья, cj – стоимость единицы сырья i, q – минимальный общий вес смеси, Z – затраты.

m

Zcixi min

i1

n

xi q общий расходсмеси

i 1

m m

aijxi bj xi, питательность смеси

i 1			i 1
j		xi	0,i
	1,n			1,m

5) Задача составления жидких смесей.

Фирма планирует изготовление смесей m-видов. Подлежащее определению количество литров i-го химического компонента, используемого для получения j-го продукта, обозначим xij

( j 1,m xi 0, i 1,n). Известны объем i-го химического компонента,

которым располагает фирма Si, а также имеющийся спрос на продукцию j в течение планируемого периода Dj, т.е.

n	m
xij Si,	xij Dj .
i 1	j 1

Также имеются ограничения, связанные с технологическими особенностями, которые необходимо принимать во внимание при приготовлении смеси, т.е. отношение между объемами двух химических

компонентов в процессе получения продукта j:	xij	r или xij – r.
	xi 1 j

Известен доход с единицы продукции xij, и тогда целевая функция

n m

принимает вид Z Pijxij max.

i 1 j 1

6) Задача о раскрое или о минимизации обрезков.

Задача состоит в разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводится к минимуму. Обозначения: Pj – потери, xj – количество стандартных рулонов,

8

разрезаемых по варианту j, yij – потери от вариантов раскроя в избыточных рулонах нестандартной длины, bi – потребность в нестандартных рулонах каждого вида, aij – количество рулонов i-го вида, получаемых при раскрое единицы стандартного рулона по варианту j.

m n m

Z Pjxj yij min

j 1	i 1 j 1
m	m

bi aijxj yij, xj 0, yij 0 j 1 j 1

7) Транспортная задача.

Имеются i поставщиков и j потребителей однородной продукции. Известны cij – затраты на перевозку груза от каждого поставщика

i = 1,n каждому потребителю j = 1,m , bj – потребности каждого

потребителя j = 1,m , ai – запасы грузов у поставщика i = 1,n , xij – количество груза, перевозимого от i-го поставщика j-му потребителю, Z – затраты. Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты при полном удовлетворении потребностей.

n m

Zcijxij min

i1 j 1

m

xij ai,i 1,n груз от поставщика

j1 n

xij bj, j 1,m потребности потребителей

i 1

xij 0

1.2. Элементы сетевого планирования и управления

Построение сетевой модели (структурное планирование) начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых определяется продолжительность.

Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяженность во времени. По количеству затрачиваемого времени работа может быть:

действительной, т.е. требующей затрат времени;

фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени.

9

Фиктивная работа может реально существовать, например, «передача документов от одного отдела к другому». Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.

Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других.

Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.

Взаимосвязь работ и событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика (сетевой модели).

Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями.

Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика.

Параметры сетевого графика:

Tр(i) – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

Tп(i) – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

R(i) = Tп(i) − Tр(i) – резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Ранние сроки свершения событий Tр(i) рассчитываются от исходного к завершающему событию следующим образом. Для исходного события

Tр(И) = 0.

10

Поздние сроки свершения событий Tп(i) рассчитываются от завершающего к исходному событию. Для завершающего события

Tп(З) = Tр(З).

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы.

При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей критической работы. Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (Tкр).

1.3. Линейные балансовые модели в экономике

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте.

Межотраслевой баланс

Балансовые модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризующую связи между отраслями (экономическими объектами) экономической системы.

Предположим, что экономическая система состоит из n взаимосвязанных отраслей P1, Р2, …, Рn. Валовой продукт i-й отрасли обозначим через Xi (X1 – валовой продукт P1, Х2 – валовой продукт Р2, ..., Хn – валовой продукт Рn). Конечный продукт i-й отрасли – Yi (Yi – конечный продукт Pi). Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использует продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п.

Пусть Xij – затраты продукции i-й отрасли на производство продукции Рj. Условно чистая продукция i-й отрасли – Vi.

Если перечисленные показатели представлены в межотраслевом балансе в тоннах, литрах, километрах, штуках и т.д., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном, выражений. Под Xi, Yj, Vj и Xij будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость соответствующей продукции. Такой баланс называется

стоимостным.

11

Анализ общей структуры межотраслевого баланса

Таблица 1

Производящие

Потребляющая

Конечная

Валовая

отрасль

отрасли

продукция

продукция

P1

P2

…

Pn

P1

X11

X12

X1j

X1n

Y1

X1

P2

X21

X22

X2j

X2n

Y2

X2

P3

X31

X32

X3j

I

Y3

II

X3

…

…

…

…

…

…

…

Pn

Xn1

Xn2

Xnj

Xnn

Yn

Xn

Оплата труда

V1

V2

Vj

III

Vn

IV

Валовая продукция

X1

X2

…

Xn

Квадрант I. В таблице каждая отрасль представлена двояким образом. Как элемент строки, она выступает в роли поставщика производимой ею продукции, а как элемент столбца – в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.

Если Р1 – производство электроэнергии, а P2 – угольная промышленность, то Х12 – годовые затраты электроэнергии на производство угля, а Х21 – аналогичные затраты угля на производство электроэнергии. Р1 выступает как поставщик электроэнергии и как потребитель угля. Отрасль Р1 является также потребителем собственной продукции. Электроэнергия стоимостью Х11 денежных единиц используется внутри отрасли на обеспечение работы электротехники, на освещение производственных помещений и т. д. Аналогичный смысл имеет X22 и все Xii. В общем случае, Хi1, Хi2, …, Хii, …, Хin – объемы текущих производственных затрат i-й отрасли отраслям, входящим в экономическую систему. Сумма этих поставок

n

Xi1 + Xi2 +…+ Xin = Xij

j 1

выражает сумма текущих производственных затрат отрасли Рi. Посмотрим теперь на Pi как на элемент столбца. В столбце с номером

j расположены объемы поставок продукции отраслей, входящих в экономическую систему, на производство продукции i-й отрасли. Тогда объемы поставок продукции

n

Xij = X1j + X2j + … + Xjn.

i 1

Квадрант II расположен в таблице справа от первого. Он состоит из двух столбцов. Первый из них – столбец конечного потребления продукции отраслей. Под конечным потреблением понимают личное и общественное потребление, не идущее на текущие производственные нужды. Сюда включаются накопление и возмещение выбытия основных

12

фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата и оборону, затраты по обслуживанию населения (здравоохранение, просвещение и т. д.), сальдо экспорта и импорта продукции. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей. Суммарный (валовой) выпуск i-й отрасли определяется как

n

Xi Xij Yi . j 1

Равенство означает, что вся произведенная i-й отраслью продукция потребляется. Часть ее, в форме суммарного производственного потребления продукции Pi идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.

Так, часть продукции угольной промышленности, как мы уже отмечали, используется внутри экономической системы, а другая – в качестве сырья, топлива – будет потреблена отраслями, не вошедшими в состав экономической системы, и составит часть экспорта страны, пойдет на отопление жилищ и т.п.

Квадранты I и II отражают баланс между производством и потреблением.

Квадрант III расположен в таблице под первым. Он состоит из двух строк. Одна из них содержит объем валового продукта по отраслям, а другая – условно чистую продукцию отраслей V1, V2 , …, Vn. В состав условно чистой продукции входят амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов, заработная плата, прибыль и т.д.

Она определяется как разность между валовым продуктом отрасли и суммой ее текущих производственных затрат. Так, для Рj имеет место равенство

n

X j Vj Xij . i 1

Квадранты I и III отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли. Так, равенство показывает, что стоимость валового продукта Xj j-й отрасли складывается из стоимости той части продукции отраслей системы, которая была использована для производства Хj, из амортизационных отчислений, затрат на оплату труда, из чистого дохода отрасли, из стоимости ресурсов, не производящихся внутри экономической системы, и т.д.

Квадрант IV непосредственного отношения к сфере производства не имеет. В IV квадранте показывается, как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная