Работа 4. Параллельное соединение индуктивности и емкости. Резонанс токов.

Ц

r

L

ель работы: рассмотреть явления, происходящие в цепи переменного тока, содержащей параллельно соединенные катушку и конденсатор (рис. 4.1), ознакомиться с резонансом токов.

Рис. 4.1. Схема электрической цепи с параллельным

соединением элементов.

Пояснения к работе

Рассмотрим параллельное соединение катушки, обладающей индуктивным x_L=ωL и активным r сопротивлениями, с конденсатором, обладающим емкостным сопротивлением (рис. 4.2). При включении такой цепи под напряжением U в катушке возникает ток I_к.

Рис. 4.2. Принципиальная схема параллельного

соединения r, x_L, x_c

, (4.1)

где — полное сопротивление катушки.

Вектор тока будет отставать от вектора напряжения на угол φ_к:

; . (4.2)

В конденсаторе возникает ток I_c:

. (4.3)

Вектор тока İ_c будет опережать на 90˚ вектор , φ_с= 90˚. Вектор общего тока на основании первого закона Кирхгофа:

İ = İ_к + İ_с. (4.4)

Векторная диаграмма токов согласно (4.4) показана на рис.4.З

Вектор тока İ_к проводим под углом φ_к к вектору напряжения . Из конца вектора тока İ_к проводим вектор тока İ_с под углом φ_с=90˚ к вектору напряжения (в сторону опережения). Сумма вектора İ_к и İ_с даст вектор общего тока, отстающий на угол φ от вектора напряжения.

Для аналитического определения общего тока I и угла φ разложим ток катушки I_к на активную составляющую I_a, совпадающую с напряжением U, и индуктивностью I_L, отстающую на 90˚ от напряжения U.

;

, (4.5)

где g и b_L – активная и индуктивная проводимости катушки:

; . (4.6)

Аналогично определяются проводимости конденсатора. При отсутствии в конденсаторе активного сопротивления (r_c= 0) активная проводимость его равна нулю: , где z_c= x_c.

Емкостная проводимость:

(4.7)

Из векторной диаграммы на рис. 4.3. имеем:

(4.8)

. (4.9)

Подставим значения I_a, I_L и I_c из уравнения (4.5) и (4.7) в уравнение (4.8), получим:

. (4.10)

где – полная проводимость всей цепи.

Разделив стороны треугольника (рис.4.3) на напряжение U, получим треугольник проводимостей (рис.4.4), из которого находим:

(4.11)

Изменяя величину емкости С, от которой зависит значение b_c, согласно (4.7), можно изменять соотношение между b_c и индуктивными проводимостями ( b_L ), а, следовательно, и токами:

I

İ_с

_c=Ub_c=Uωс; I_L=Ub_L

Рис.4.3. Векторная диаграмма напряжения и токов для цепи с параллельным

соединением катушки и емкости при I_L>I_С

При величине b_C<b_L, т.е. C<имеем:

Uωс<Ub_c или I_C<I_L.

Преобладает индуктивная проводимость b_L и, следовательно, ток I_L, поэтому вектор общего тока İ отстает от вектора напряжения (рис.4.3).

При величине b_C>b_L, т.е. C>имеем:

Uωс<Ub_L или I_L<I_С

Преобладает емкостная проводимость b_C и, следовательно, ток I_С, поэтому вектор общего тока İ опережает вектор напряжения (рис.4.5).

Рис.4.4. Векторная диаграмма для цепи с параллельным

соединением катушки и емкости при I_C< I_L

İ_к

Рис.4.5. Векторная диаграмма для цепи с параллельным

соединением катушки и емкости при I_C> I_L

При величине емкости: , (4.12)

емкостная проводимость равна индуктивной:

b_C = ωc = b_L, (4.13)

а, следовательно, будут равны между собою емкостный и индуктивный токи (рис.4.6):

b_C U= b_LU ; I_C= I_L. (4.14)

Мы получим резонанс токов, т.е. полную взаимную компенсацию индуктивного и емкостного токов:

I_C – I_L= 0. (4.15)

В результате общий ток I при резонансе состоит только из активной составляющей, согласно выражению (4.8) и рис.4.6.

I= I_a= Ug, (4.16)

поэтому угол φ= 0, а cos φ= 1.

Полная проводимость цепи, а следовательно, и ток I принимает минимальное значение, так как согласно (4.10) У=g, поскольку b_C – b_L= 0, а полное сопротивление цепи , следовательно максимальное значение.

Реактивная мощность цепи равна нулю:

U(I_C - I_L) = 0 ; Q_L – Q_C= 0.

Рис.4.6. Векторная диаграмма при резонансе токов (I_C= I_L)

Явление резонанса токов, т.е. взаимной компенсации реактивных токов (I_C–I_L=0), а, следовательно, и реактивных мощностей (Q_L–Q_C=0) объясняют следующим. Когда индуктивная ветвь (катушка) потребляет энергию для создания магнитного поля, в этот момент в параллельной ветви конденсатор разряжается и отдает энергию. Происходит взаимная компенсация энергий.

Общая энергия, потребляемая из сети, расходуется только на активном сопротивлении катушки (на нагревание провода катушки).

Зависимость полного сопротивления Z цепи от величины емкости будет иметь следующий вид:

, (4.18)

где и от C не зависят.

КривыеZ= f₁(C) и I= f₂(C), построенные по выражениям (4.18) и (4.10), показаны на рис.4.7. Там же дана кривая cosφ= f₃(C), построенная по уравнению (4.11). Из (4.12) видно, что величины емкости и индуктивности, при которых наступает резонанс, зависят от частоты переменного тока. При заданных постоянных C и L явление резонанса может быть получено изменением частоты.

C

Рис.4.7. График зависимости тока в цепи I, cosφ

и полного сопротивления z от емкости.

Определение параметров всей электрической цепи и ее элементов.

Полные проводимости У и сопротивление Z как всей цепи, так и отдельных ветвей – катушки и конденсатора, определяются по показаниям вольтметра V и соответствующих амперметров в общей цепи I, в цепи катушки I_к и в цепи конденсатора I_L:

; ; .

Активное сопротивление катушки r определяется по показаниям ваттметра P и амперметра в цепи катушки I_к: .

Тогда .

Коэффициент мощности cosφ всей цепи и катушки определяется по показаниям ваттметра P, вольтметра V и соответствующих амперметров, в общей цепи I и в цепи катушки I_к:

; .

Реактивные составляющие ток I_L и проводимости катушки b_L:

I_L= I_к sinφ_к ; .

Емкость конденсатора C:

Порядок выполнения работы

1. Собрать электрическую цепь по схеме, представленной на рис.4.8.

Рис.4.8. Схема электроустановки

2. Изменяя емкость (включением с помощью тумблера различных комбинаций конденсаторов), установить в цепи режим резонанса токов. Резонанс наступает при минимальном значении общего тока I=I_мин. Емкость, соответствующая резонансу, называется резонансной. Произвести измерение напряжения U, общего тока I, тока в ветви с индуктивностью I_к, тока в ветви с емкостью I_c и мощности P. Данные измерений занести в таблицу. Изменяя затем емкость на 0.5–2 мкф, произвести измерения для 4-х точек при емкостях меньших резонансной C₀ и для 4-х точек при емкостях больших резонансной емкости.

3. Полученные данные свести в следующую таблицу 4.1.

Таблица 4.1

№ п/п

Измерено

Вычислено

U, B

I, A

IК, A

IС, А

rК, Ом

Z, Ом

P, Вт

XС, Ом

С, мкФ

ZК, Ом

cosφ

ХL, Ом

IL, А

сosφк

1 2 …

4. По данным опыта определить параметры всей цепи (полное сопротивление Z и cosφ и её элементов, полное сопротивление катушки Z_к, активное сопротивление катушки r_к, коэффициент мощности катушки cosφ_к, реактивный ток I_L, емкостное сопротивление x_c и емкость С).

;;;.

; ; .

; .

5. По данным опыта и вычислений построить в масштабе зависимости

Z= f(C) ; I= f(C) ; cosφ= f(C)

6. Построить методом засечек векторные диаграммы токов для трех отсчетов:

при резонансе b_L= b_C

при b_L> b_C

при b_L< b_C

Контрольные вопросы.

1. Как и почему изменяется ток в цепи, содержащей индуктивную катушку, если параллельно катушки включить конденсатор?

2. Каким должно быть соотношение реактивных проводимостей катушки и конденсатора, чтобы ток в общей цепи опережал напряжение?

3. Каково условие резонанса токов?

4. Способ повышения коэффициента мощности с помощью конденсаторных батарей и его экономическое значение.

5. Почему при резонансе токов ток в общей цепи имеет наименьшее значение?

6. Начертить векторную диаграмму, соответствующую изображенной схеме:

7. Н

   I₂

   ачертить схему замещения, для которой изображена следующая векторная диаграмма:

I₄

U