книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.2. КИНЕМАТИКА

В. По заданному закону движения в эйлеровых координатах L1 = E1e3t; L2 = E2e–3t; L3 = E3 записать его в лагранжевых координатах.

Г. Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, 1, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 16 А. Как записывается условие совместности деформаций?

Б. Каков физический смысл лагранжевых координат?

В. По заданному закону движения в эйлеровых координатах E1 = L1e4t; E2 = L2; E3 = L3e–4t записать его в лагранжевых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, 2, 1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 17 А. Чем в общем случае различаются траектория материальной частицы и ли-

ния тока? Когда оба эти понятия совпадают?

Б. Как записывается условие совместности скоростей деформаций?

В. По заданному закону движения в эйлеровых координатах L1 = E1e–4t; L2 = E2e4t; L3 = E3 записать его в лагранжевых координатах.

Г. Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, 2, 3), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

141

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Вариант 18 А. Как функция тока связана с компонентами вектора скорости при плоской

деформации?

Б. Какие составляющие тензора скорости дисторции характеризуют скорость изменения формы, объема и скорость жесткого поворота в окрестности материальной частицы?

В. По заданному закону движения в эйлеровых координатах L1 = E1; L2 = E2e4t; L3 = E3e–4t записать его в лагранжевых координатах.

Г. Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(2, 2, 1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 19 А. Что называется вектором перемещения?

Б. Каков физический смысл диагональной компоненты G33 тензора конечных деформаций Г. Грина?

В.По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e5t; E2 = L2e–5t; E3 = L3 записать его в эйлеровых координатах.

Г. Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д.По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, 2, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 20 А. Как вычисляется объемная деформация?

Б. Как в трехмерном пространстве записывается дифференциальное уравнение линии тока?

В.По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1; E2 = L2e5t; E3 = L3e–5t записать его в эйлеровых координатах.

142

1.2. КИНЕМАТИКА

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(2, 1, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 21 А. Каков физический смысл симметричной части тензора дисторции?

Б. Как вычисляется интенсивность сдвиговых скоростей деформаций?

В.По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e5t; E2 = L2; E3 = L3e–5t записать его в лагранжевых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(–1, 1, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 22 А. Как вычисляется и что характеризует степень деформации сдвига Λ?

Б. Как вычисляются главные скорости деформаций?

В.По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e5t; E2 = L2e–5t; E3 = L3 записать его в эйлеровых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д.По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, –1, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 23 А. Чем характеризуется изменение объема окрестности материальной части-

цы в теории конечных деформаций?

143

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Б. Каков физический смысл боковой компоненты L23 тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа?

В.По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1; E2 = L2e–4t; E3 = L3e4t записать его в эйлеровых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, 2, –2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 24 А. Как связан тензор скорости жесткого поворота с ротором вектора скорости?

Б. Запишите условие постоянства объема сплошной среды по теории малых деформаций.

В. По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e–4t; E2 = L2e4t; E3 = L3 записать его в эйлеровых координатах.

Г. Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(–1, –1, 2), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 25 А. Чем характеризуется поступательное движение окрестности материаль-

ной частицы?

Б. Как вычисляется вектор перемещения в лагранжевых координатах?

В. По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e–6t; E2 = L2e6t; E3 = L3 записать его в эйлеровых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д.По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

144

1.2. КИНЕМАТИКА

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(–2, 1, 1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 26

А.Как связан девиатор деформаций с тензором деформаций при выполнении условия постоянства объема?

Б. В чем принципиальное отличие лагранжевых координат от эйлеровых?

В. По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e6t; E2 = L2; E3 = L3e–6t записать его в эйлеровых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д.По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е. Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(–1, –1, –1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 27 А. Каков физический смысл симметричной части тензора скорости дистор-

ции?

Б. Чему равен в начальный момент времени косинус угла между направленными волокнами dEk и dEj, параллельными к произвольному моменту времени осям Ek и Ej?

В. По заданному закону движения в лагранжевых координатах E1 = L1e–0,5t; E2 = L2e0,5t; E3 = L3 записать его в эйлеровых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д.По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(–2, 2, 1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

Вариант 28 А. Как записать условие несжимаемости через диагональные компоненты

тензора скоростей деформаций?

145

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Б. Чем характеризуется скорость поступательного движения малой окрестности материальной частицы?

В. По заданному закону движения в эйлеровых координатах L1 = E1; L2=E2e0,5t; L3 = E3e–0,5t записать его в лагранжевых координатах.

Г.Для закона движения в п. В определить поля перемещений и скоростей в лагранжевых координатах.

Д. По найденному в п. Г полю скоростей определить поле тензора скоростей деформаций.

Е.Используя результаты пунктов В...Д, определить, куда переместится центр элементарного куба, первоначально (t = 0) находившегося в точке М(1, –2, –1), к моменту времени t = 1. Охарактеризовать и изобразить характер изменения во времени размеров, формы и объема куба.

146

1.3. СТАТИКА

...занимается силами, их сравнениями и равновесием, как причинами движения...

Л. Эйлер

1.3.1. Механическое силовое воздействие

Статика – раздел МCC, изучающий причины, вызывающие движение материальных объектов, без изучения самого движения.

В трехмерном декартовом множестве координат xi рассмотрим движение некоторого объема : сплошной среды M с поверхностью S, характеризуемой в пространстве xi единичной внешней нормалью n (рис. 37). Движение, рассматриваемое как механическое перемещение всего тела M и как взаимное перемещение материальных частиц m внутри тела (m M), есть результат некоторого внешнего воздействия на это тело и внутреннего взаимодействия его материальных частиц между собой. Мерой механического воздействия и взаимодействия является непрерывное силовое поле, определяемое как соответствие во

времени t между вектором силы P и радиус-вектором x каждой материальной
частицы тела M: P		P(x,t) .
Силы, образующие силовое поле, будем различать по двум типам классифи-
кации. К первому отнесем внешние и внутренние силы, а ко второму – объемные
и поверхностные силы. Внешние силы являются результатом воздействия на рас-
сматриваемое тело M окружающей среды. Внутренние силы возникают в самом
теле M как реакция на внешнее воздействие. Объемные силы распределены по
всему объему : тела M, а поверхностные – только по его поверхности S. Объем-
ные силы иногда называют массовыми
силами. Объемные силы могут быть
внешними и внутренними, а поверхно-
стные – только внешними.
К внешним объемным силам, напри-
мер, относятся силы инерции, силы гра
витации, силы электромагнитной приро
ды и др. Инерционная массовая сила,
действующая на элемент объема d: с
массой dm, движущегося с ускорением
a , равна dP	adm . Инерционная
сила, приходящаяся на единицу объема,
с учетом (2.1.134), (2.1.142) имеет вид
		Рис. 37. Силовое воздействие на сплошное тело

147

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

dP	Υ	dV	.	(1.3.1)
d:
		dt

Остальные массовые силы, приходящиеся на единицу массы, будем рассматривать как предел отношения части массовых сил dP, действующих на элемент объема d:, к величине массы dm этого объема. В частности, к таким силам относятся силы гравитации и пондеромоторные силы, действующие на электрические заряды и токи, протекающие в рассматриваемой сплошной среде. В условиях земного притяжения гравитационная сила, приходящаяся на единицу массы, равна ускорению силы тяжести

1 dP
Fg Υ d:	(1.3.2)

и с достаточной для рассматриваемых здесь задач точностью считается постоянным вектором. В некоторых случаях, например при рассмотрении условий равновесия отливаемого в магнитный кристаллизатор металла, могут быть значимыми электромагнитные массовые силы, отнесенные к единице объема:

Fɦ	Υ Eɧ j υ Bɦ ,	(1.3.3)
	e

где Υe – плотность заряда; Eɧ – вектор электрической напряженности; j –

вектор плотности тока; Bɦ – вектор магнитной индукции.

Внешние силы, приложенные к поверхности S тела M с объемом : сплошной среды, называются поверхностными сила ми. Ясно, что под S в данном случае понима-

ются все участки S6 значимого внешнего по-

верхностного силового воздействия. Предельное отношение поверхностной

силы Pn , действующей на элемент поверхности S с внешней по отношению к M единич-

ной нормалью n , к величине этой поверхности при стягивании последней в точку называется полным поверхностным напряжением

(рис. 38)

Рис. 38. Поверхностные сила и напря9	ςn lim	Pn	.	(1.3.4)
жение	Sο0 S

148

1.3. СТАТИКА

Здесь и далее верхние индексы подчеркивают зависимость рассматриваемой физической величины от ориентации элемента поверхности, где действует эта величина. В частности, индекс n в (1.3.4) указывает, что Pn и ςn действуют на элемент поверхности S с нормалью n (1.2.169).

1.3.2. Формула О. Коши

Поместим начало координат базиса ei внутри тела M с объемом : сколь угод-

но близко к поверхности S (но не на самой поверхности). Координатные плоскости (рис. 39) отсекут от общего объема тетраэдр с объемом :, ограничен-

ным поверхностью S и координатными площадками
Si = Sni,	(1.3.5)

где ni - направляющие косинусы (проекции на координатные оси xi) нормали n (1.2.169) поверхности S. Выделенный элемент объема находится во взаимодействии с остальной частью сплошной среды M, которое характеризуется внутренними для тела M силами Pi или связанными с ними полными внутренними напряжениями на площадке Si, определяемыми аналогично напряжениям (1.3.4):

ς	i	lim	Pi
				.	(1.3.6)
		Si ο0	Si

Рис. 39. Выделение элементарного тетраэдра из сплошного тела

149

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Рис. 40. Напряжения, действующие на поверх9 ностях тетраэдра

Здесь индекс i указывает, что индексированные напряжения и силы действуют на i-х координатных площадках с

площадью поверхности Si, нормаль ni

которых параллельна оси xi. Обозначим все действующие на тело

M объемные внешние силы типа (1.3.1)–(1.3.3), приходящиеся на едини-

цу объема :, через F . Тогда из условия равновесия тетраэдра (рис. 40)

Pn P1 P2 P3 F: с учетом (1.3.4)–(1.3.6) получим

ςn ςin F lim : .
i	Si ο0	S

В связи с тем, что при S ο 0 величина : ο 0 на порядок быстрее, последнее слагаемое приравниваем к нулю, а связь между полным поверхностным напряжением (1.3.4) и полными внутренними напряжениями (1.3.6) записываем в виде

ςn ςini .			(1.3.7)
Спроектируем полное поверхностное напряжение (1.3.4)
ςn	ςin	ei .	(1.3.8)
и внутренние напряжения (1.3.6)
ςi	ςik	ek	(1.3.9)

на координатные оси xk (рис. 40). В (1.3.9) первый индекс величин ςik совпадает с индексом площадки Si, где действует напряжение ςi , второй – совпадает с индексом оси xk, на которую проектируется это напряжение. Подстановкой формул (1.3.8) и (1.3.9) в (1.3.7) получаем уравнение связи компонент полного поверхностного напряжения с компонентами внутренних напряжений, называемое статической формулой О. Коши в скалярной форме записи:

ςkn niςik .

(1.3.10)

150