книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ростей деформаций (1.2.149) равна нулю, а девиатор скоростей деформаций совпадает со своим тензором: Dξ = Tξ. Поэтому несжимаемых изотропных сред

D	σ	=	2T	T .	(З1.5.9)
			H	ξ

В задаче 1.2.7.4 по полю скоростей задачи 1.2.6.2 получено поле скоростей деформаций:

		= − πV0c1	ch	πE2	cos	π(E1 + H )		−1
ξ = −ξ	22			H			H			;
11		H		πE2			π(E1 + H ) 2
					− cos
			ch
				H			H

= − πV0c1

sh

πE2

cos

π(E1 + H )

H

ξ = −ξ

21

H

,

12

H

πE2

π(E1 + H ) 2

− cos

ch

H

H

а в задаче 1.2.7.5 по этим скоростям деформаций определена интенсивность сдвиговых скоростей деформаций

	H =			2πV0c1			.
			πE2		π(E1 + H )
		H ch		− cos
			H		H

Тогда компоненты девиатора скоростей деформаций при Т = τт = const имеют вид

ch

πE2

cos

π(E1 + H )

−1

H

s11 = −s22 = −τт

H

;

сh

πE2

− cos

π(E1 + H )

H

H

sh

πE2

sin

π(E1 + H )

s12 = s21 = τт

H

H

.

сh πE2

− cos

π(E1 + H )

H

H

261

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Теперь запишем уравнение равновесия (1.4.18), заменив в нем компоненты тензора напряжений на компоненты sik девиатора напряжений и среднее напряжение σ0. В скалярной форме для плоской деформации это уравнение имеет вид

∂σ0

+

∂s11

+

∂s21

= 0;

∂s12

+

∂s22

+

∂σ0

= 0.

∂E

∂E

∂E

∂E

∂E

2

∂E

1

1

2

1

2

После интегрирования первого уравнения по E1, а второго по E2 имеем

+ ∫

∂s21

+ ∫

∂s12

σ0

= − s11

dE1

+ C1(E2 );

σ0

= − s22

dE2

+ C2 (E1),

∂E

∂E

2

1

где Ci – константы интегрирования.

Из условия потенциальности (П3.26) плоского поля скоростей с учетом формулы Дж. Стокса (1.2.137) следует, что

	∂V2	=	∂V1	= ξ12 = ξ21.	(З1.5.10)
			∂E2
	∂E1

Теперь воспользуемся условием соленоидальности поля скоростей также с учетом формулы Дж. Стокса:

∂V1	= − ∂V2	= ξ	= −ξ	22	.	(З1.5.11)
∂E1	∂E2	11

Самостоятельно. Показать, что для гармонических полей скоростей соотношения (З1.5.10) и (З1.5.11) приводят к равенствам

∂ξ12 = − ∂ξ22 ; ∂ξ21 = − ∂ξ11 ,

∂E1 ∂E2 ∂E2 ∂E1

которые при τт = const приводят к соотношениям

∂s12	= −	∂s22	;	∂s21 = −	∂s11	.	(З1.5.12)
∂E1
		∂E2		∂E2	∂E1

Подстановкой этих соотношений в формулы для вычисления среднего на-

пряжения находим σ0 = C1(E2); σ0 = C2(E1). Отсюда следует, что C1 = C20 = C. Окончательно получаем:

262

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ch πE2

cos

π(E1 + H )

−1

σ11 = −s22 = −τт

H

H

+ C;

ch

πE2

− cos

π(E1 + H )

H

H

ch

πE2

cos

π(E1 + H )

−1

σ22 = τт

H

H

+ C;

ch

πE2

− cos

π(E1 + H )

H

H

sh πE2

sin

π(E1 + H )

σ12 = σ21 = τт

H

H

.

ch πE2 − cos

π(E1 + H )

H

H

1.5.7. Модели пластичных сред

Сплошная среда, для которой наблюдается значимое изменение интенсивности касательных напряжений Т в некотором интервале изменения интенсивности сдвиговых деформаций Г (деформационное упрочнение) называется упру гопластичной средой (рис. 58, а).

Сплошная среда, для которой наблюдается значимое изменение Т в некотором интервале изменения интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Η (вязкое упрочнение) называется вязкопластичной средой (рис. 59, а). В общем случае реальные металлы обладают деформационным и вязким упрочнением. Изменение свойств таких металлов можно аппроксимировать поведением их моделей. Так, на рис. 58, б показана аппроксимация кривой (рис. 58, а) при помощи двух линейных участков. Участок АВ соответствует приближенному описанию упругого поведения среды, а участок ВС – пластического. Рядом с диаграммой показана схема ее механического аналога. В схеме растяжению двух пружин до перемещения тела массой m соответствует упругий участок диаграммы, а растяжению верхней пружины – пластический участок. Если участок ВС горизонтален (рис. 58, в), то диаграмма соответствует модели материала, называемой идеальной упругопластичной средой. Если деформация упругого участка пренебрежимо мала, то в этом случае можно использовать модель, называемую жесткопластичной средой. На рис. 58, г представлена диаграмма жесткопластичного материала с линейным деформационным упрочнением. Модель жесткопластичного материала с незначимым деформационным упрочнением на-

263

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Рис. 58. Диаграммы растяжения–сжатия и механические мо9

дели упругопластичных материалов

Рис. 59. Диаграммы растяжения–сжатия и механические мо9 дели вязкопластичных материалов

4

зывается идеальной жестко пластичной средой (рис. 58,д).

Аналогичные простейшие аппроксимации можно привести для вязких материалов (рис. 59). По аналогии с упругопластичными средами можно выделить модели вязкопластичных материалов: иде

альная вязкопластичная среда (рис. 59, в), вязкая

жесткопластичная среда (рис. 59, г), идеальная вяз

кая жесткопластичная среда (рис. 59, д) и др. В этом случае механическим аналогом таких сред будут различные сочетания соединений пружины и гидравлических амортизаторов (рис. 59).

1.5.8. Пластическая деформация анизотропных сред

Обобщение условия пластичности М. Губера– Р. Мизеса (1.5.82) для анизотропных материалов в тензорной форме записи имеет вид

Ta (Dς Dς ) 1,

(1.5.85)

4

где компоненты aijkm тензора четвертого ранга Ta – параметры анизотропии. С помощью этих компонент и компонент spq девиатора напряжений Dς записывается скалярная форма соотношения (1.5.85):

264

	1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
aijkmsijskm = 1.	(1.5.86)

В пятимерном пространстве Ti (1.3.25) уравнение (1.5.86) представляет собой центральную гиперповерхность второго порядка, которая при условии

a

=

1

(1.5.87)

ijkm 2τ2т

превращается в цилиндр (в общем случае некруговой), ось которого совпадает с линией s1 = s2 = s3 в главных координатах девиатора напряжений Dσ.

Упражнение 1.5.14. Показать, что (1.5.87) приводит условие пластичности (1.5.85) к его частному виду – условию пластичности М. Губера–Р. Мизеса (1.5.82)

Считается, что начало пластической деформации металлов при их нагружении практически не зависит от гидростатического давления. Это означает, что замена в (1.5.85) девиатора Dσ на тензор напряжений Tσ должна приводить к одному и тому же результату. Такая замена возможна лишь в том случае, когда

4

компоненты aijkm тензора Ta , имеющие индексы i = j и k ≠ m, а также индексы

i ≠ j и k = m, равны нулю. Кроме того, одинаковыми должны быть компоненты,

4

для которых i = j = k = m. Учитывая, что в общем случае тензор Ta , так же как и

тензоры состояния в (1.5.1) – (1.5.4), имеет 21 независимую компоненту, в рассматриваемом случае из этих компонент, отличных от нуля, остается только 9, а

независимых – 6. Значит, с помощью соотношения (1.5.85), при оговоренных

4

свойствах компонент тензора Ta , можно записать условия пластичности для

сред ромбического, тетрагонального, гексагонального и кубического кристал-

лических множеств (упражнение 1.5.3).

4

Оговоренные свойства тензора Ta приводят соотношение (1.5.86) к условию

пластичности Р. Хилла

13[a1122 (σ11 − σ22 )2 + a2233 (σ22 − σ33 )2 + a3311(σ33 −σ11)2 +

+ a	σ2	+ a	σ2	+ a	σ2	] = 1.	(1.5.88)
1212	12	1212	23	1212	31

Инвариантность соотношения (1.5.85) позволяет записать его в главных координатах тензора напряжений, в которых условие пластичности Р. Хилла (1.5.88) принимает вид:

265

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

1	a	(σ		− σ		)2	=1,	(1.5.89)
3 ik			i		k

4

где через aik обозначены компоненты тензора Ta в главных координатах тензора напряжений.

Геометрически соотношения (1.5.88) и (1.5.89) представляют собой один и тот же цилиндр, записанный в разных множествах координат, ось которого равнонаклонена ко всем главным координатным осям тензора напряжений. Причем сечения этого цилиндра, перпендикулярные его оси, образуют эллипсы (кон туры текучести). Поверхность такого цилиндра для материала, находящегося

впластическом состоянии, называется поверхностью текучести.

Вболее общем случае поверхность текучести задается некоторой функцией напряжений f(σik) = const. В этом случае такую поверхность можно рассматривать как геометрическое место точек с одинаковым пластическим потенциалом. Поэтому функцию f(σik) иногда называют пластическим потенциалом. Нормаль к поверхности текучести направлена по градиенту пластического потенциала, который в главных координатах тензора напряжений имеет вид

f =	∂f	ek .	(1.5.90)
	∂σk

Вследствие неотрицательности работы, производимой напряжениями на приращениях деформаций dεkj, последние должны быть пропорциональны компонентам градиента пластического потенциала

dεkj = dλ	∂f	.	(1.5.91)
	∂σkj

Соотношение (1.5.91) называют ассоциированным (с поверхностью текучести) законом текучести.

Ассоциированный закон текучести (1.5.91) носит достаточно общий характер. Он может быть использован для анализа движения сред с произвольной анизотропией. В частности, для изотропных сред в качестве пластического потенциала можно использовать определенное с точностью до постоянного сомножителя подкоренное выражение условия пластичности М. Губера–Р. Мизеса (1.5.82). Подстановка такого потенциала в (1.5.91) приводит к соотношениям Х. Леви–Р. Мизеса:

266

							1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
dH11	ª		1	º	dH22		ª		1	º
	dO«V11		(V22	V33)»;			dO«V22		(V33 V11)»;
	¬		2	¼			¬		2	¼
			dH33	ª		1	º
				dO«V33		(V11	V22 )»;
				¬		2	¼
	dH12	1 dOV12;		dH23	1 dOV23		; dH31	1 dOV31.		(1.5.92)
		2			2			2
По своей структуре эти соотношения совпадают с обобщенным законом Р. Гу-
ка (1.5.65). Физический смысл множителя dΟ показан на рис. 60. Если в (1.5.91)
подставить пластический потенциал, равный левой части соотношения (1.5.89),
то получим связь приращений деформаций с компонентами тензора напряже-
ний для анизотропных сред в главных координатах этого тензора:
		dΗ1 = 2dΟ [a12(ς1 – ς2) + a13(ς1 – ς3)];
		dΗ2 = 2dΟ [a23(ς2 – ς3) + a21(ς2 – ς1)];
		dΗ3 = 2dΟ [a31(ς3 – ς1) + a33(ς3 – ς2)].								(1.5.93)
Следуя У. А. Бэконфену, приведем пример определения компонент тензора
4
Ta в главных координатах тензора напряжений. Необходимо провести экспе-
рименты, включающие испытания на растяжение образцов, ориентированных
вдоль главных осей анизотропии xi. Учитывая симметрию компонент aik = aki в
(1.5.89) после подстановки в это уравнение пределов текучести ıɬ1										вместо ς1,
ıɬ2 вместо ς2 и ıɬ3		вместо ς3, получаем одно уравнение относительно пара-
Рис. 60. Схема к пояснению физического смысла множителя dΟ: ςе – текущее значение напряжения;
I – основная деформация; II – добавочная деформация; III – добавочное нагружение

267

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

метров aik. Вследствие условия несжимаемости сумма приращений деформаций в (1.5.93) равна нулю. Поэтому из (1.5.93) получаем только два независимых уравнения, необходимые для замыкания системы уравнений относительно параметров aik. При этом нужно знать отношение поперечных деформаций. При наличии плоскости изотропии для испытаний вдоль осей x1 и x2 это отно-

шение для σт	= σт	определяется параметром
1		2
		R =	dε1	=	dε2	.	(1.5.94)
			dε3
					dε3

Если σт1 ≠ σт2 , то продольному и поперечному направлениям соответствуют различные значения коэффициентов отношений деформаций:

R

1

=

dε

2

; R

2

=

dε1

; R

3

=

dε2

=

R 1

(1.5.95)

dε

dε

3

dε

3

R

2

1

вдоль осей x1, x2 и x3 соответственно. Последнее отношение равно единице, если ось x3 является осью симметрии свойств материала.

Используя уравнения (1.5.93) при одноосном растяжении, можно выразить коэффициенты R1 и R2 через параметры aik. Объединяя результаты для предела текучести и отношений деформаций, выраженные через компоненты aik, получим соотношения У. А. Бэкофена

	σт		3		(1+ R )R					σт				(1+ R )R
				=	1		2		;			3	=	2	1	.		(1.5.96)
	σ				R + R
		т								σ	т			R + R
					1	2						2		1 2
			1
Для трансверсально-изотропного материала при σт															= σт		2	и R1 = R2 = R из
(1.5.96) получим														1
						σт			=	0,5(1+ R).
						σт
							3											(1.5.97)
							1

Многие практические примеры нагружения соответствуют пути в первом квадранте, когда σ3 = 0 (рис. 61). Для описания контура текучести анизотропного материала У. А. Бэкофен предлагает следующее соотношение:

268

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

			ª	§ Vɬ		k	·2 º
V2	V2	V V	«2	¨			¸	»	V2 ,	(1.5.98)
1	2	1	2 «	¨	Vɬ3		¸	»	ɬk
			¬	©			¹	¼

где k = 1 или k = 2.

При Vɬk Vɬ3 это уравнение точно совпадает с частным видом условия пла-

стичности (1.5.82), записанным в главных координатах тензора напряжений для изотропных материалов:

	ς12 ς1ς2 ς22 ςɬ.				(1.5.99)
	Если (1.5.97) подставить в (1.5.98), то, полагая, что Ε			ς2	, получим
				ς1
	1 Ε2 Ε	2R	.		(1.5.100)
	1 R

При

R

Ε (1.5.101)

1 R

соотношение (1.5.100) принимает максимальное значение

ς1			1 R	,	(1.5.102)
ςɬ	kmax		1 2R

а деформация становится плоской. Если в (1.5.93) положить ς3 = 0, то с помощью параметра Ε для dΗ2 можно записать

dΗ2

2dΟ

ς1[a23Ε a12 (Ε 1)].

(1.5.103)

Рис. 61. Контуры текучести для изотропного (1) и анизотропных (2) материалов

269

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

При одноосном растяжении,

когда ς2 = ς3; ς1 ζ 0 или ς1 = ς3; ς2 ζ 0, имеем

	dΗ2	dΗ1
	R1 dΗ3	dΗ3
	a12	a12 .	(1.5.104)
	a31	a23
	Теперь подстановкой (1.5.101) и
	(1.5.104) в (1.5.103) получаем dΗ2 = 0,
	что соответствует плоской деформа-
	ции. На рис. 61 приведены контуры
Рис. 62. Контуры текучести в условиях плоского на9	пределов текучести, построенные по
пряженного состояния при деформации листов с осе9	уравнению (1.5.100). Пересечениям
симметричной относительно оси х3 текстурой или	контуров текучести, имеющим раз-
плоскостью изотропии	личные значения параметра R, с

пунктирной линией соответствуют значения параметра Ε, рассчитанные по формуле (1.5.101). Отдельные параметры условия пластичности анизотропных тел, определяемые контурами текучести, представленными на рис. 62, приведены в табл. 11.

При отличных друг от друга значениях параметров R1 и R2 в (1.5.95) получаем

1

ª§

1

·2 §

1

·2 §

1

·2 º

ɚ

Ǭ

¸

¨

¸

¨

¸

».

(1.5.105)

12

2 Ǭ

ıɬ

¸

¨

ıɬ

¸

¨

ıɬ

¸

»

©

1

¹

©

2

¹

©

3

¹

¼

Подстановкой этого значения в (1.5.89) с учетом (1.5.96), полагая, что ς3 = 0, получим

V1	1	R1(1 R2 )	E2	2R1	E.	(1.5.106)
Vɬ		R2 (1 R1)		1 R1
1

С помощью (1.5.100) и (1.5.106) можно определить интенсивность касательных напряжений при деформации анизотропных сред:

270