книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

		t		∫			4	− t
εср	=	1		R	ε	dE = −ϕ	2R		.	(1.5.60)
ϕz						ϕz ρ

R−t

Отсюда видно, что при R >> t величина εсрϕz = −ϕ 2R .

С помощью метода мембранной аналогии Р. Бредт для кручения тонкостенных труб получил связь между углом поворота ϕ и крутящим моментом M:

	ϕ =	M	,
		4μt2
			которая позволяет определить в (1.5.57) отличные от нуля парамет-
	ры НДС: εϕсрz =			M	; σϕсрz =	M		, где σϕсрz – усредненное касательное напря-
				8μt2 2		8t2	2

жение, действующее в скручиваемой тонкостенной трубе.

Трубчатые образцы используются также при испытаниях на нагружение внутренним и внешним давлением. Для цилиндрической трубы относительно большой длины из однородного изотропного материала параметры НДС в цилиндрических координатах зависят только от текущего радиуса Eρ. Так как к поверхностям трубы приложено только нормальное давление, касательные напряжения σϕρ и σzρ равны нулю. Поэтому из (1.5.59) получаем

∂σρ	+	σρ − σϕ	= 0.	(1.5.61)
∂E		E
ρ		ρ

Уравнение (1.5.61) обращается в тождество, если его решение искать в виде

σρ =	Φ	;	σϕ =	∂Φ	.	(1.5.62)
	E
				∂E
	ρ			ρ

Дополнительные условия для определения функции Φ(Eρ) должны быть связаны с соотношениями между параметрами напряженного и деформированного состояний. Причем последние должны удовлетворять уравнениям совместности типа (1.2.88) или (1.2.166). Соотношения между параметрами НДС записываются в виде определяющих уравнений, зависящих от свойств деформируемой среды. Так, для

линейно-упругой, однородной изотропной среды в определяющем уравнении

4

Р. Гука (1.5.2) компоненты тензора Ts по аналогии с (1.5.9) записываются в виде

251

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

s =

λ

δ

δ

jm

+

1

(δ

ij

δ

km

+ δ

im

δ

jk

).

(1.5.63)

2μ(3λ + 2μ)

4μ

ijkm

ik

Точно так же, как из (1.5.9) и (1.5.1), было получено (1.5.10), с помощью (1.5.63) и (1.5.2) получаем обобщенный закон Р. Гука для изотропных сред в обратном по отношению к (1.5.10) виде:

Tε =	λ		1
	2μ(3λ + 2μ) Sσ +		2μ Dσ.		(1.5.64)

В теории упругости эти соотношения обычно записывают через модуль упру

гости Т. Юнга E =	3λ + 2μ	и коэффициент С. Д. Пуассона ν =	λ	. Тогда
	λ + μ		2(λ + μ)

тензорную запись (1.5.64) можно переписать в следующей скалярной форме:

ερρ =

1

[σρρ − ν(σzz

+ σϕϕ)];

ερϕ =

1

σρϕ;

2μ

E

εϕϕ =

1

[σϕϕ − ν(σρρ + σzz )];

εϕz

=

1

σϕz ;

2μ

E

zz

1

[

zz

( ϕϕ

ρρ)];

zρ

1

zρ

ε

=

E

σ

−ν σ

+ σ

ε

=

2μ

σ

.

(1.5.65)

В связи с тем, что поперечные сечения нагружаемой внутренним и внешним давлением трубы остаются плоскими, осевая деформация εzz постоянна, а все остальные деформации являются функциями текущего радиуса Eρ. Кроме того, при осевой симметрии трубы, изотропности и однородности ее материала нет причин для появления сдвиговых деформаций. Поэтому условие Б. Сен-Вена- на (1.2.88) принимает вид

	∂εϕ	+	εϕ − ερ	= 0,	(1.5.66)
	∂E		E
	ρ		ρ

совпадающее по виду с точностью до модуля Т. Юнга E с (1.5.61). Подстановкой (1.5.62) в (1.5.66) получаем дифференциальное уравнение от-

носительно функции Φ:

252

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

∂2Φ

1 ∂Φ

Φ

= 0,

∂E2 +

E ∂E

− E2

(1.5.67)

ρ

ρ

ρ

ρ

общее решение которого Φ = AE +

B

позволяет определить с точностью до

ρ

Eρ

констант компоненты тензора напряжений (1.5.62):

σρ = A +

B

σϕ = A −

B

;

.

(1.5.68)

E2

E2

ρ

ρ

Неизвестные константы А и В определим из граничных условий на поверхностях Sσ: при Eρ = R имеем σρ = –p1, а при Eρ = r имеем σρ = –p2. Подставляя эти условия в (1.5.68), находим значения констант А и В, а с их помощью – напряжения

σ= p2r2 − p1R2

ρR2 − r2

σ= p2r2 − p1R2

ϕR2 − r2

+( p1 − p2 )R2r2 ; Eρ2 (R2 − r2 )

	( p	− p	)R2r2
−	1	2		.	(1.5.69)
	E2	(R2
			− r2 )
	ρ

Теперь на основе принципа суперпозиции параметров однородных НДС можно записать тензоры напряжений, деформаций и скоростей деформаций для сложной механической схемы деформаций (совокупность схем деформированного и напряженного состояний), получаемой растяжением или сжатием, кручением и нагружением внешним и внутренним давлением круглой тонкостенной трубы. В дальнейшем всякое испытание механических свойств материалов, для которого известны параметры НДС, будем называть стандартным испытанием.

Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что соотношения между параметрами НДС, полученными при стандартном испытании макрообразцов из различных металлов, могут быть использованы в расчетах параметров НДС для процессов простого нагружения с произвольными механическими схемами деформаций, что подтверждает гипотезу единой кривой, обычно используемую при решении задач ОМД. Пример диаграмм механического состояния хромоникелевой стали, полученных А.М. Жуковым для различных соотношений напряжений при испытаниях труб на растяжение с внутренним

253

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

давлением, приведен на рис. 53. В общем случае такие диаграммы при одноосном растяжении (рис. 54) имеют несколько характерных участков. На первом участке диаграмм, где 0 δςδ ςпц, напряжение растяжения образца пропорционально деформации, и его значение изменяется в соответствии с линейным законом Р. Гука

ς = EΗ.

(1.5.70)

Рис. 53. Подтверждение гипотезы еди9 ной кривой при различных соотношени9 ях растягивающего ςz и окружного ςΜ на9

пряжений

Рис. 54. Общий вид диаграммы ς – Η

Рис. 55. Схема диаграммы к определе9 нию условного предела текучести

Далее при ς > ςпц соотношение между напряжением и деформацией становится нелинейным. Однако до значения ς = ςт металл ведет себя как упругое тело, так как нагружение до ς < ςт и разгрузка до снятия деформирующего напряжения происходят по одной и той же кривой без остаточной деформации после полного снятия нагрузки. При ς = ςт начинается так называемая текучесть метал ла, при которой рост деформации осуществляется практически без изменения силовой нагрузки. Для некоторых металлов можно наблюдать ярко выраженную площадку текуче сти. При напряжении ς = ςт начинается пла стическая деформация металла, при которой в результате полной разгрузки металл получает остаточную деформацию Ηост.

Напряжение ςт называется пределом те кучести (в некоторых изданиях это напряжение обозначают ςs). Если на диаграмме механического состояния металла отсутствует ярко выраженная площадка текучести (рис. 55), то вместо ςт назначается условная величина ςусл, получаемая на диаграмме в точке ее пересечения с прямой, параллельной участку пропорциональности (1.5.70), исходящей из точки ς = 0; Η = Ηусл. Поэтому напря-

жение ςусл называется условным пределом текучести. Величина условной степе

ни деформации Ηусл в нашей стране принимается равной 0,2 % (Ηусл = Η0,2), а соответствующее ей напряжение ςусл обозначается ς0,2. В некоторых странах

254

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

	значение Ηусл принимают равным 0,05 %
	или 0,1 %, и тогда условный предел теку-
	чести обозначается ς0,05 или ς0,1 соответ-
	ственно.
	Разгрузка образца при произвольном
	уровне напряжения за площадкой теку-
	чести диаграммы механического состоя-
	ния осуществляется параллельно прямой	Рис. 56. Зависимость механических свойств ςт
	участка линейной упругости. Если раз-
		(1) и ςВ (2) алюминиевого сплава АМц от сте9
	грузка произошла полностью, то ее пря-
		пени деформации Η

мая пересекает ось деформации в точке Η = Ηост (остаточная деформация). При повторном нагружении этого же образца

начало координат диаграммы как бы переносится в точку Η = Ηост и процесс дальнейшего нагружения проходит все вышеперечисленные стадии. При этом увеличивается значение предела пропорциональности и предела текучести (условного предела текучести). Изменение предела текучести в зависимости от степени пластической деформации называется деформационным упрочнением, или наклепом, а деформация, соответствующая этому изменению, называется на гартовкой. Таким образом, после площадки текучести диаграмма механического состояния теоретически представляет собой зависимость ςт = ςт(Η). Практически же из-за несовершенств в реальном металле и его структурных изменений приходится строить специальные графики зависимости предела текучести ςт от предварительной степени деформации (рис. 56).

При растяжении в момент образования локального утонения (образования шейки) образца происходит падение усилия, необходимого для продолжения пластической деформации металла. Этому моменту на диаграмме соответствует напряжение ς = ςb, называемое пределом прочности, которое из-за несовершенств в реальном металле, его структурных изменений также изменяется от предварительной степени деформации (рис. 56).

Параметры НДС при одноосном растяжении или сжатии (1.5.54), (1.5.55) позволяют рассчитать интенсивность касательных напряжений (1.3.24)

T	ς		(1.5.71)
3
и интенсивность сдвиговых деформаций (1.2.87)
Η 3.			(1.5.72)

С помощью (1.5.71) и (1.5.72) диаграмма механического состояния металла, представленная на рис. 54 или 55, строится в координатах Т–Г (рис. 57). При

255

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

этом началу пластической деформации соответствует напряжение пластического сдвига (предел текучести на сдвиг)

	ςɬ	.	(1.5.73)
Ωɬ	3

Рис. 57. Инвариантное представле9 ние диаг раммы механических свойств в координатах Т – Г

Внекоторых изданиях напряжение пластического сдвига обозначается Ωs.

Всвязи с тем, что величины (1.2.87) и (1.3.24) являются инвариантами, соотношение

7 = Ωт

(1.5.74)

называется условием пластичности в произвольных координатах. Благодаря ги потезе единой кривой зависимость

7 = 7( )

(1.5.75)

и условие пластичности в виде (1.5.74) используются при любой механической схеме деформации.

Упражнение 1.5.13. Показать, что при плоском деформированном состоянии, характеризуемом тензором деформации

Η11 0 Η13

TΗ

0 0 0 ,

(1.5.76)

Η31 0 Η33

для изотропной среды, движущейся без изменения объема, напряженное состояние характеризуется тензором

				ς11	0		ς13
	Tς			0	ς22		0 ,		(1.5.77)
				ς31	0		ς33
где среднее напряжение
						ς11	ς33		(1.5.78)
ς	0	ς	22	ς	2		2

256

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Теперь, подставляя (1.5.77) в (1.3.24), с учетом (1.5.78) можно записать (1.5.74) в виде условия пластичности при плоском деформированном состоянии:

(σ	− σ	33	)2	+ σ2
11					= τ	.	(1.5.79)
	4		13		т

Инвариантность интенсивности касательных напряжений Τ позволяет условие (1.5.79) записать в главном множестве координат тензора напряжений

σ1 − σ3	= τт.	(1.5.80)
2

В таком виде соотношение (1.5.74) называется условием пластичности Х. Трес

ка–Б. Сен Венана.

Аналогичным образом можно получить частный вид условия (1.5.74) для осесимметричного НДС в цилиндрическом множестве координат Eρ, Ez:

	1	[(σρ − σϕ)2	+ (σϕ − σz )2 + (σz + σρ )2 + 6σρ2z ] = τт.	(1.5.81)
	6

В общем случае запись интенсивности касательных напряжений (1.3.24) через компоненты тензора напряжений позволяет представить (1.5.74) в форме

условия пластичности М. Губера–Р. Мизеса:

16[(σ11 − σ22)2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11)2 + 6(σ122 + σ232 + σ312 )] = τт. (1.5.82)

Испытания показывают, что при холодной деформации (ниже температуры возврата) металлов механические свойства в основном определяются деформа ционным упрочнением: Τ = Τ(Γ). При горячей деформации (выше температуры рекристаллизации) предел текучести возрастает с увеличением скорости деформации (скоростное, или вязкое упрочнение) и обычно снижается с ростом температуры деформирования: Τ = Τ(Η, θ). При высоких скоростях деформации скорость повышения температуры некоторых металлов вследствие деформационного разогрева (1.4.61) может превышать интенсивность вязкого упрочнения, что приводит в конечном счете к снижению значения предела текучести.

По результатам испытаний с постоянными уровнями скоростей деформаций, например на кулачковых пластометрах (рис. 42) с радиусом кулачка, определяемым по формуле (1.5.52), можно построить диаграммы механического состояния

257

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

σ – ε – ξ. Учитывая, что для одноосного напряженного состояния выполняется (1.5.71), а условие постоянства объема позволяет использовать (1.5.72), то такую диаграмму можно представить в координатах Τ – Γ – Η. При этом для круглого

образца предполагается, что ξρ = ξϕ = −	ξ	; ξz = ξ. Тогда из (1.2.161) получим
	2
H = ξ		3.	(1.5.83)

Кроме того, механические испытания проводят при различных постоянных уровнях температуры (θ = const). Таким образом получают инвариантную форму определяющего уравнения (1.5.14) для несжимаемых изотропных сред:

Τ = Τ(Γ, Η, θ).

(1.5.84)

Следует отметить, что, несмотря на относительную простоту получения зависимости (1.5.84), ее построение базируется на ряде существенных упрощений, часть из которых ранее упоминалась: однородность в образце схемы НДС и температурного поля, изотропность деформируемого металла, выполнение условий постоянства объема (несжимаемость среды). Кроме того, в испытаниях на различных уровнях скоростей деформаций не учитываются инерционные силы, которые при высоких скоростях нагружения образца могут быть соизмеримы с приложенными к образцу поверхностными силами.

Задачи к пп. 1.5.6

Задача 1.5.6.1. По заданной в окрестности материальной частицы с пространственными координатами E1 = 1 мм, E3 = –2 мм функции напряжений Дж. Эри (1.4.22)

Φ = a	E1E3			,	(З1.5.1)
	E2	+ E2
	1		3

где а – константа с размерностью силы, определить напряжение пластического сдвига τт, полагая, что эта окрестность находится в пластическом состоянии и а = 1 Н.

Решение. Сначала, используя заданную функцию напряжений Дж. Эри по формуле (1.4.22) определяем компоненты тензора напряжений:

			∂2Φ		2E E (3E2		− E2 )
	σ	=		= −a	1 3	1	3	;
			∂E2		(E2	+ E	2 )3
	11
			3		1	3

258

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

				∂2	Φ				2E E (3E2			− E2 )
σ	33	=				= −a			1	3	3	1	;
				∂E2					(E2		+ E	2 )3
					1					1	3
				∂2	Φ				(E2	− E2 )2		− 4E2 E2
σ = −							= a		1		3	1	3	.	(З1.5.2)
			∂E ∂E							(E2 + E2 )3
11
				1	3						1	3

Взаданной точке с эйлеровыми координатами E1 = 1, E3 = –2 при а = 1 Н имеем: σ11 = 0,48 МПа; σ33 = –1,56 МПа; σ13 = σ31 = 0,28 МПа.

Вслучае плоского (N = 2) напряженного состояния по формуле (1.3.20) определяем среднее напряжение

σ0 = 0,48 −1,56 = −0,54 МПа. 2

Такое же значение среднего напряжения получается в случае плоского деформированного состояния, если рассчитывать среднее напряжение по формуле задачи 1.5.3.5. Отличие обоих случаев состоит в том, что при плоском напряженном состоянии среднее по значению напряжение σ22 = 0 и тензор напряжений

Тσ =	0, 48	0, 28	,
	0, 28	−1,56

а при плоском деформированном состоянии σ22 = σ0 и тензор напряжений

0,48	0	0,28
Тσ = 0	−0,54	0 .
0,28	0	−1,56

Далее по формуле (1.3.24) вычисляем интенсивность касательных напряжений Т. Для этого предварительно по формуле (1.3.21) находим сферическую часть Sσ тензора напряжений, а по формуле (1.3.22) – его девиатор Dσ. В обоих случаях девиатор может быть записан в двухмерном пространстве:

D	σ	= s = 1,02		0, 28 .	(З1.5.3)
		ik	0, 28	−1,02

259

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Теперь по формуле (1.3.24) вычисляем интенсивность касательных напряжений

T = s112 + 2s132 + s332 ≈ 1,496 МПа.

(З1.5.4)

По условию задачи окрестность материальной частицы, для которой определены параметры напряженного состояния, находится в пластическом состоянии, и, значит, в этой окрестности должно соблюдаться условие пластичности (1.5.74).

В связи с тем, что для обоих случаев состояния (плоское напряженное и плоское деформированное) девиатор напряжений Dσ и соответственно интенсивность касательных напряжений имеют одинаковые значения, получаем одинаковые значения напряжения пластического сдвига τт = 1,496 МПа.

Задача 1.5.6.2. По гармоническому полю скоростей, оценивающему течение металла при двухмерной прокатке (задача 1.2.6.2), определить компоненты тензора напряжений в среде, для которой интенсивность касательных напряжений Т = τт = const.

Решение. Сначала воспользуемся соотношением (1.5.12) теории ВПТ и запишем связь между девиаторами напряжений и скоростей деформаций:

D	= 2μ*D	.	(З1.5.5)
σ	ξ

Для определения значения динамического коэффициента вязкости μ* умножим скалярно это соотношение само на себя:

D	2	D	D	или s	s		2	η	η		.
	D = 4μ*					ik	= 4μ*			jm
σ	σ	ξ	ξ		ik			jm

Отсюда с учетом (1.2.161) и (1.3.24) имеем

	1 s	s		T
*	2 ik	ik
μ =			=		.
	2ηjmηjm			H

Таким образом, одно из соотношений теории ВПТ имеет вид

Dσ = 2TH Dξ.

(З1.5.6)

(З1.5.7)

(З1.5.8)

Полученное в задаче 1.2.6.2 поле скоростей является гармоническим, а значит, и соленоидальным. Физически это означает, что среда, движущаяся с полем, является несжимаемой. Для такой среды сферическая часть тензора ско-

260