книги / Теория оптико-электронных следящих систем

—среднее значение;

А тг	max “ X f m in
A Xj	—
	2

—интервал варьирования. При этом нормированные переменные изменяют­ ся в пределах Xj = ± 1 .

В полном факторном экспериментеиспользуются все возможные комбинации переменных на двух уровнях, поэтому полное число эксперт

ментов равно
N = Т	(3.6.58)

(п —число контролируемых переменных), такие планы называют планами типа 2м.

Для п = 2 полный факторный план имеет вид

х 2

(3.6.59)

Х( 2) =

+

++

Здесь знаками ’’плюс” и ’’минус” обозначено нахождение фактора на верх­ нем или нижнем уровне. Так, в первом опыте оба фактора находятся на нижнем уровне, в четвертом —оба на верхнем.

Пользуясь таким планированием, можно определить коэффициенты в следующей модели:

У = Д0 + #1*1	+ ^2*2	+ 012*1*2-		(3.6.60)
Если обозначить хгх2 = х3, то размерность модели				к = 3 и число опытов
N = к + 1 = 4, что требуется для существования обратной матрицы С.
Матрица F для модели (3.6.60) имеет вид
Х 0	*1	*2	*1*2
+ 1	- 1	- 1	+ 1
+ 1	+■ 1	- 1	- 1	(3.6.61)
+ 1	- 1	+ 1	- 1
+ 1	+ 1	+ 1	+ 1

Матрица F получается из плана эксперимента путем добавления столбца для свободного члена и столбца для взаимодействий хгх2, который полу­ чается перемножением элементов столбцов хг и х 2.

261

Для трех независимых переменных N = 23 = 8 и полный факторный план имеет вид

Х х

Х 2

* 3

+
+	(3.6.62)
* (3 ) =	+
	+
+	+
+	+

Легко заметить, что план для трех переменных (3.6.62) получается из плана для двух переменных (3.6.59), повторенного дважды с включением третьей переменной сначала на нижнем уровне, затем на верхнем. В общем случае план Х(п + 1) может быть получен из планами) по формуле

Х(п + 1)	=	~Х(п)			г				(3.6.63)
		- В Д
где / = (1 , 1 ,..., 1 ) т —вектор-столбец, содержащий п единиц.
Такое планирование позволяет оценить коэффициенты в модели
у - а 0 +ахх х +а2х 2 + а3*э +а 12* 1*2 +<*13* 1*3 +«23^ 2^3 +
+ ^123^1^2^3-									(3.6.64)
Для этой модели матрица F имеет вид
Х0	*1	*2	*3 * 1*2		*1*3	*2*3	*1*2*3	Код
+	-	-	~	+	+	+	-	(О
+	+	—	—	—	—	-	+	а
+	-	+			+	-	+	Ъ
+	+	+		+	—	—	-	ab
+	-	-	+	+	—	-	+	с
+	+	-	+	-	+	—	—	ас
+	-	+	+	-	-	+	-	Ъс
+	+	+	+	+	+	+	+	abc	(3.6.65)

Здесь столбцы для взаимодействий получаются путем перемножения эле­ ментов столбцов соответствующих переменных. Для упрощения вместо

± 1 записано ±.

262

Можно, конечно, использовать план 23 для оценки коэффициентов

модели вида
у = а0 + ахх х + а2х 2 + а3х 3.	(3.6.66)

Тогда лишние опыты можно использовать как параллельные для проверки адекватности линейной модели. Проверить адекватность модели (3.6.64)

при восьми	опытах нельзя, так как не хватает степеней	свободы: у х =
= N — (к +	1) = 0. Для проверки адекватности модели	(3.6.64) нужно
ставить дополнительные опыты.

План эксперимента можно записать в компактной форме в виде кодо­ вой строки. Для этого обозначим переменные х х>х 2, х 3 буквами а, Ъ, с и в обозначении каждого эксперимента будем ставить соответствующую букву там, где данный фактор был на верхнем уровне. Кодовое обозна­ чение показано в последнем столбце (3.6.65). Если все факторы нахо­ дятся на нижнем уровне, то пишется (1). Тогда план полного факторно­ го эксперимента для трех независимых переменных запишется строкой

(1 ), а, Ь, аЪ, с, ас, be, abc,

а для двух переменных —

(1 ) 9а9Ь,аЬ.

Отсюда видно, что в плане для трех переменных план для двух перемен­ ных повторяется дважды с добавлением фактора с.

Пользуясь этими обозначениями и общим методом построения полных факторных планов, легко записать кодовую строку для плана при четы­

рех независимых переменных:
(1 ), а, Ъ, ab, с, асуbe, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bed, abed.
Теперь можно записать матрицу плана, поставив знак	’’плюс” там,	где
в кодовой строке стоят соответствующие факторы.
Аналогичным образом строится полный факторный	эксперимент	ти­

па 2п для любого количества независимых переменных. При увеличении числа переменных количество опытов растет как показательная функция N - 2". Однако при этом повышается и точность в определении коэффи­ циентов модели, так как при многофакторном планировании все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов, как это будет по­ казано ниже.

Д р о б н ы е р е п л и к и . Если можно ограничиться линейной моделью без взаимодействий, то число опытов можно резко снизить, используя не полный факторный эксперимент, а только его часть, так называемую дробную реплику. Пусть нужно получить линейную модель для трех не­ зависимых переменных. Полный факторный эксперимент содержит во­ семь опытов, но для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя

	опытами, если в	плане 22 произведение х хх 2 приравнять третьему фак­
	тору х 3. Получим матрицу планирования
	х х	х2	х3
	+		+
			(3.6.67)
	В Д ) =	+
	L +	+	+ J

263

содержащую четыре опыта, или полуреплику от полного факторного экспе­ римента. Пользуясь этим планом, можно оценить коэффициенты модели

у = а0 + 0i*i + 02*2 + 0з*з •

(3.6.68)

Если парные взаимодействия все же имеются, то в полученной модели коэффициенты будут оценками для совместных эффектов

ЛГ _ А		А
01	“ 01	+023»
а3	=а2 +а13,		(3.6.69)
АГ	_ А	. А
03	“ 03	+ 012 •

Эти эффекты не могут быть раздельно оценены в плане из четырех опы­ тов, так как здесь неразличимы столбцы для линейных членов и парных взаимодействий. Например, элементы столбца для произведения х гх 3 равны элементам столбца х 2•

Если после постановки первых четырех опытов возникнут сомнения, что парные взаимодействия равны нулю, то можно провести еще четыре опыта, приравняв х 3 = - х гх 2. Получим вторую полуреплику от полного факторного эксперимента

* 1	* 2	* 3
+		(3.6.70)
* 2 ( 3 ) =	+
_ +		+
	+	—

Здесь коэффициенты модели(3.6.68) будут совместными оценками следую­ щих эффектов:

Aff __ А	А
01 “ 01 “	023 5

« а - « а - в » ,			(3.6.71)
А„ _	А	А
03 “	03 —	012 •

Теперь можно отдельно оценить линейные эффекты и парные взаимо­

действия, например:
	Л( ли		АГ
А	01 +01	А	01 01	(3.6.72).
01	=	023 ”	2
	2

Объединив две полуреплики, получим полный факторный эксперимент, позволяющий раздельно оценить линейные эффекты и взаимодействия.

Обратим внимание, что разбиение полного факторного плана нельзя производить произвольно на две группы. В первую полуреплику отбирают­ ся строки с нечетным числом букв в обозначении строк

с, а, Ъ, abc,

что соответствует требованию х 3 = х гх 2. Здесь третья переменная попадает на верхний уровень только в тех строках, где две другие переменные на­ ходятся одновременно на верхнем или нижнем уровне. Во вторую полу-

264

реплику берутся строки с четным числом букв

(1 ), ас, Ъс, аЬ

всоответствии с требованием х ъ = - х хх 2.

Взадаче с четырьмя независимыми переменными можно в плане 23 приравнять тройное взаимодействие к четвертому фактору* *4 = х 1*2* 3 » предположив тем самым, что ах2з = 0. Получим полуреплику от полного

факторного эксперимента 24, которая задается строкой

(1 ), ad, bd, ab, cd, ас, be, abed.

Здесь все строки четные. Эта строка получается из строки для полного фак­ торного эксперимента 23 путем умножения на букву d нечетного сочета­ ния букв соответственно требованию х 4 = х хх 2хз. Здесь четвертый фактор находится на верхнем уровне, когда на верхнем уровне находятся один или три других фактора.

Вторую полуреплику получим, приравняв х 4 = - х хх 2х 2. Ее план зада­ ется строкой, содержащей нечетное сочетание букв

d, a, b, abd, с, acd, bed, abc.

Эта строка получена умножением на букву d четных комбинаций букв в матрице 23. Объединив обе полуреплики, получим матрицу планирования для полного факторного эксперимента 24. Число четных строк в полном факторном эксперименте всегда равно числу нечетных строк.

Можно построить дробные реплики высокой степени дробности: четвертьреплики, восьмые и т.д. Так, например, для оценки влияния семи переменных в линейном приближении можно ограничиться восемью опы­ тами (N = к + 1). Но при этом не оцениваются эффекты взаимодействия, т.е. считается, что они малы. В этом случае можно взять полный экспери­ мент 23 и положить

*4 = * 1*2 ,	*5 =*1*3, * 6 =*2*3, * 7 =*1*2*3-
Получим 1/16	от полного факторного эксперимента. Планы, в которых

все взаимодействия заменены линейными эффектами, называются насы­ щенными. Их можно строить для числа переменных w + 1, равного сте­

пени 2 , т.е. л = 3, 7,15, ...

Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов при­ равнены к эффектам взаимодействия, используют обозначение 2п~р. В

последнем примере рассмотрена дробная реплика 27 - 4 = 27 • 2 -4 = 27 — . 16

Такой способ обозначения не полностью характеризует свойства реплики. Дробные реплики можно получить, приравняв основные эффекты к различ­ ным взаимодействиям. Например, в полуреплике 24 - 1 можно положить х4 = XfXj9 т.е. приравнять к одному из парных взаимодействий. При этом изменится система совместных оценок, т.е. линейные эффекты будут сме­ шаны с другими взаимодействиями.

Р а з р е ш а ю щ а я с п о с о б н о с т ь д р о б н ы х р е п л и к . Рассмот­ рим, когда и какие эффекты определяются совместно в дробных репликах.

Способ задания дробной реплики называется генерирующим отноше­ нием или генератором. Например, планирование 23 - 1 представляется дву-

265

мя полурепликами с генераторами

* 3 = Х ХХ 2 , * 3 = — Х ХХ 2 •	(3.6.73)
Будем обозначать элементы первого столбца матрицы F	буквой /

(они всегда равны +1). Найдем соотношения, определяющие элементы первого столбца для каждой из полуреплик. Умножая левые и правые

части генераторов (3.6.73) на х 3, получаем
х\ = I X- x xx 2x 3i	х\ = / 2 = - х хх 2х 3,	(3.6.74)

так как всегда х? = I (х,- = ± 1 ).

Соотношения, задающие элементы первого столбца, называются опре­ деляющими контрастами или просто контрастами.

Зная определяющие контрасты,, легко найти соотношения, задающие все совместные оценки. Для этого нужно последовательно помножить незави­ симые переменные на контраст, учитывая, что х ? = 1. В случае полуреплики 23 ” 1 совместные оценки будут задаваться соотношениями

х х = *i	h	=*2*з>	х х ~ х г		12	= - х 2х 3,
X2 =х2	I x = x xx 3i		х 2	=х2	12	= - х хх 3,(3.
х 3 = х з	h	= х хх 2»	х 3	=х3 / 2 = - х хх 2.

Это значит, что коэффициенты модели в каждой из полуреплик будут сме­ шанными оценками

а\ - ах +д23,	ах - а х	—a23i
а2 - а 2 +.ахз>	ci2 =a2 —aX3,		(3.6.76)
а3 =а3 +аХ2,	а3 - а 3	—ах2,

как показано в разобранном раньше примере.

Рассмотрим планирование 24 -1 . Две полуреплики могут быть заданы

генераторами
х4 = х хх 2х 3,	х 4 = - х гх 2х 3;					(3.6.77)
контраст получим умножением на х 4:
1Х=х\ = х хх 2х 3х4,			12 = х 4 = - х хх 2х 3х4.			(3.6.78)
Совместные оценки определяются соотношениями
х х = х2х 3х4,	X 1	=	- Х	2 Х 3	Х 4 ,
Х2 = XXX3X4i	х 2 = - x xx 3x4f
х 3 = ХхХ2Х4г	Х 3	=	- Х	хХ 2	Х 4 )
х4 =XXX2X3i	Х 4	=	- Х	хХ 2	Х 3 ,	(3.6.79)
Xхх 2 = х 3х4,	х хх 2 = - х 3х 4>
х хх 3 = Х 2 Х 4 ,	х хх 3 = - Х 2 Х 4 ,
х хх4 =х2х^,	х хх 4 = - х гх 3.

Обычно взимодействия высших порядков невелики —начиная с трой­ ных их можно считать равными нулю. Тогда в планировании 24 - 1 можно получить раздельные оценки для линейных членов и смешанные оценки

266

для парных взаимодействий. Таким образом, здесь, по сравнению с пла­ нированием 23“ 1, можно оценить отдельно линейные эффекты.

Если рассмотреть полуреплику 25” 1 для пяти переменных, то ока­ жется, что линейные эффекты смешаны с четверными взаимодействиями, а парные —с тройными. Но так как тройные и выше взаимодействия можно считать равными нулю, то в полуреплике 25 - 1 оцениваются раздельно линейные эффекты и парные взаимодействия.

Таким образом, с ростам числа независимых переменных разрешающая способность полуреплик возрастает.

Разрешающая способность полуреплик зависит от генераторов. Для планирования 24 - 1 можно получить полуреплику с меньшей разрешаю­ щей способностью, если задаться, например, следующими генерирующими соотношениями:

х4 = х 1*2 ,	*4 = ~ * i * 2 -				(3.6.80)
Тогда контрасты задаются выражениями
1х =ххх 2х4,	/ 2 = - X I *2*4,				(3.6.81)
а система совместных оценок имеет вид
х х =х2х4,	* !	=	— * 2 * 4	,
Х2 ~ XхХ4 ,	* 2	=	— * 1 * 4	,
Х 3 = X I * 2 * 3 * 4 ,	* 3	=	* 1 * 2 * 3 * 4 ,		(3.6.82)
* 4 = Х \ Х 2 ,	* 4 = — * 1 * 2 ,
* 1 * 3 = * 2 * 3 * 4 ,	* 1 * 3 = - * 2 * 3 * 4 ,
* 2 * 3 = * 1 * 3 * 4 »	* 2 * 3 = - * 1 * 3 * 4 ,
* 3 * 4 = * 1 * 2 * 3 ,	* 3 * 4 = - * 1 * 2 * 3 -

Здесь три линейных эффекта определяются совместно с парными вза­ имодействиями. Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у полуреплик с контрастом I = ± * х*2*з*4 , так как там линейные эффекты определяются независимо от парных взаимодействий. Однако такие полуреплики используются в специальных случаях, когда надо оценить именно парные взаимодействия, так как здесь три парных взаимодействия сме­ шаны с тройными, которыми можно пренебречь. Эти полуреплики зада­ ются строками

df а, b, dbdy cd, ас, Ъсу abcd\

(1), a d y b d y a b y с , a c d , b e d , a b c .

Эти строки получаются из плана 23, если обозначения строк умножить на букву d :• один раз, когда х хх2 = 1, другой раз, когда х хх 2 = —1. В этих полурепликах, в отличие от полуреплик с контрастом I ~ ± * х*2*з*4 , в каждой строке есть четные и нечетные комбинации букв.

Полуреплики, имеющие только четные или нечетные комбинации букв, называются главными полурепликами, так как они имеют более высокую разрешающую способность.

Мы не будем рассматривать разрешение более дробных реплик. Отме­ тим только, что с увеличением степени дробности разрешающая способ­

267

ность реплик падает, так как все больше эффектов смешивается вместе. Самая низкая разрешающая способность у насыщенных планов, когда все взаимодействия заменены линейными членами. Например, для рассмотрен­ ной 1/16 реплики 27 - 4 оценка линейного эффекта является совместной оценкой следующих эффектов:

t _

d\ - а 2 4 + ^235 +	Я 1345-
Таким образом, все линейные эффекты смешаны с парными.
В ы ч и с л е н и е	к о э ф ф и ц и е н т о в м о д е л и . Вычисление коэф­

фициентов модели может быть произведено по общей формуле (3.6.30) решения системы нормальных уравнений. Однако полный факторный эксперимент и дробные реплики обладают рядом полезных свойств, ко­ торые позволяют значительно упростить вычисление коэффициентов.

Полный факторный эксперимент и дробные реплики являются орто­

гональными планами:
N	(	N , если	к = 1,
Ъ х \ х \ =	(	0 , если	(3.6.83)
*= 1			кФ1 ,

т.е. скалярное произведение разных вектор-столбцов равно нулю. Инфор­ мационная матрица ортогонального плана диагональна, причем все диа­ гональные элементы равны N:

	N	0 ... . 0
M = FTF =	0	N .. . 0 ~N Ik+ 13	(3.6.84)
	0	. . N
где 1к+1 —единичная матрица размера к + 1 .
Обратная матрица при этом равна
ЛГ1 =С=	- 1 к+1,		(3.6.85)
	N

а все ее диагональные элементы равны 1/N.

Ортогональность —очень важное свойство плана, так как при этом сис­ тема нормальных уравнений распадается на отдельные уравнения первого порядка для каждого параметра модели, что значительно упрощает вы­ числения.

Вычисление коэффициентов модели в полном факторном эксперименте

и дробных репликах производится по формуле
N
. \ 4 у ‘
ак = [Z1— ---- ,	(3.6.86)
N

т.е. необходимо умножить значение независимой к-и переменной в каждом f-м опыте на значение выхода, просуммировать и разделить на количество опытов. Учитывая, что нормированные переменные принимают только значения ± 1 , при использовании формулы (3.6.86) нужно просто вычис­ лить алгебраическую сумму выходов во всех опытах, беря знаки ± в соот­ ветствии с матрицей планирования.

268

Из ортогональности плана следуют свойства, используемые для про­ верки правильности составленной матрицы планирования. Сумма квадра­ тов элементов каждого стобца равна количеству опытов

2 С4)2 =N,	(3.6.87)
1=1

а сумма элементов каждого столбца равна нулю (т.е. план является цент­ ральным — все экспериментальные точки расположены симметрично):

N

2 4 = 0.

Таким образом, оценки всех коэффициентов в факторном эксперимен­ те вычисляются независимо друг от друга. Если какой-либо из коэффициен­ тов окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая дру­ гие коэффициенты.

Дисперсия коэффициентов регрессии определяется по формуле

Sj =CaS2 =	(3.6.88)
	N

где s2 определяется по формуле (3.6.41).

Простота вычислений коэффициентов при использовании ортогональ­ ных планов открыла регрессионному анализу широкую дорогу в различ­ ные области науки и техники. Основное преимущество факторного экспе­ римента заключается в том, что здесь одновременно варьируются все пе­ ременные. Поэтому каждый коэффициент вычисляется по результатам всех N экспериментов, и, следовательно, дисперсия оценки коэффициен­ тов оказывается в N раз меньше дисперсии ошибки опытов (3.6.88).

Факторные планы для линейных моделей без взаимодействий, обладают еще одним полезным свойством —ротатабелъностью. Это значит, что полу­ чаемая информация равномерно распределена по всем направлениям прост­ ранства планирования, иными словами, дисперсия рассчитанной по уравне­ нию модели оценки выхода у в точке х зависит только от расстояния этой точки от центра плана, но не зависит от направления (аналогия — изотропные поля). Таким образом, »ротатабельные планы обеспечивают постоянное значение дисперсии оценки выхода во всех точках, равноуда­ ленных от центра плана.

Планирование эксперимента	для квадратичных моделей. О р т о г о ­
н а л ь н ы е ц е н т р а л ь н ы е	к о м п о з и ц и о н н ы е п л а н ы . Для

создания квадратичных моделей вида (3.6.3) применяются планы второ­ го порядка. Нахождение оценок коэффициентов квадратичных моделей требует, чтобы каждая независимая переменная принимала три разных зна­ чения. Этого можно достичь, проведя эксперименты по плану 3”, т.е. перебрав все возможные сочетания переменных на трех уровнях. Однако при этом получается большое количество экспериментов (N =3”), кроме того, такие планы не оптимальны. Поэтому для построения планов второ­ го порядка был предложен ряд методов, позволяющих сократить число экспериментов. Наибольшее применение нашел метод композиционного планирования.

269

Композиционное планирование заключается в том, что к линейному плану типа 2п или 2п~р добавляют несколько специальным образом выб­ ранных так называемых звездных точек. При этом линейная часть плана называется ядром плана. Кроме того, добавляется еще точка в центре пла­ на. Координаты звездных точек равны (± а, 0 , . . . , 0), (0, ± а, 0 , . . . , 0) и т.д., т.е. звездные точки расположены на координатных осях. Например,

Рис. 3.28. Расположение точек на плоскости планирования

для уравнения модели второго порядка с двумя независимыми переменны­ ми получим расположение точек на плоскости планирования, приведенное на рис. 3.28. Здесь белыми кружками обозначены точки плана 22 с коор­ динатами

(+ 1 . - 1 ).

( - 1 . + о .

( +1 >+о .

крестиками —звездные точки с координатами

(«,0). ( - в , 0).

(0 , а ) ,

(0. - е ) ,

черный кружок в начале координат —центр плана.

В зависимости от величины плеча а и числа точек в центре плана полу­ чают планы с разными свойствами — ортогональные или ротатабельные (но не одновременно, как в линейных планах). Наибольшее применение находят ортогональные композиционные планы в связи с простотой вы­ числения коэффициентов модели.

Как отмечено выше, свойство ортогональности плана математически означает, что скалярное произведение разных вектор-столбцов равно ну­

лю [см.	(3.6.83) ]. Поскольку в матрице F для		квадратичных моделей
имеются	столбцы для квадратов независимых переменных х\к, то не все
скалярные произведения будут равны нулю:
2 xofxlf Ф0,		2 x ik2 xjf Ф 0,	(3.6.89)
I- 1		1=1

270