книги / Метод крупных частиц в газовой динамике
..pdf§2] |
АППРОКСИМАЦИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВОЗДУХА |
2 7 1 |
интервалу |
2 0 0 4 -1 2 000К. Максимальная по модулю относительная |
ошибка |
аппроксимации не превышает 1,5%. |
|
В монографии А. Н. Любимова, В. В. Русанова [279] отмечается, что рас чет функций С2, hy Т для воздуха с помощью решения системы уравнений тер модинамического равновесия довольно трудоемок и приводит к увеличению времени расчета задач в 2—3 раза по сравнению со случаем и= const. Чтобы избежать этого, была произведена аппроксимация указанных функций много членами Чебышева, что позволило (не уменьшая точности расчетов) понизить время расчета течений с равновесными физико-химическими реакциями на
10—20% |
по сравнению с расчетом течений идеального газа. |
||
|
Следует заметить, что для явных конечно-разностных схем сквозного |
||
счета следует иметь явную зависимость р = р ( р, |
#), а при учете излучения — |
||
7,= Т (р, |
3). Подобные соотношения могут быть получены и из вышеперечис |
||
ленных |
аппроксимаций (например, итерационным путем, однако это ведет |
||
к |
значительному увеличению необходимого для |
расчета машинного времени). |
|
|
В монографии Я. Б. Зельдовича, Ю. П. |
Райзера [200] отмечается, что |
|
в |
диапазонах температур 10 0004-250 000К и |
плотностей 104-10"3 р0 (Ро — |
нормальная плотность) внутреннюю энергию воздуха в грубом приближении можно описать следующей интерполяционной формулой:
# = 8,3 (77104)1'5 • (р0/р)0,12 эВ/молекула,
где Т измеряется по шкале Кельвина.
Аппроксимация давления р как функции внутренней энергии 9 и плот ности р предложена Батлером [281].
В работе Л. Г. Шумко [282] описывается алгоритм, позволяющий рассчи тывать для воздуха зависимость р = р ( р, 9) как функцию плотности и внут ренней энергии при давлении 10"2^ р ^ 1 0 2 атм и внутренней энергии, соот ветствующей температуре от 200 до 12 000КМаксимальная ошибка не пре вышает 5%, а среднеквадратичная — 2,3%. Уравнение р= р(р, 9) может быть разрешено в явном виде относительно р. В этом случае среднеквадра тичная ошибка аппроксимации плотности не превосходит 2%, а максималь ная — 4,5% в диапазоне 10~24-10a атм и 2,2 и 5% в диапазоне 10”34-10~2 атм.
Аппроксимации Я. Б. Зельдовича, Ю. П. Райзера [200] и Батлера [281] слишком просты и не могут обеспечить приемлемой точности, в то время как температурный диапазон аппроксимаций Л. Г. Шумко [282] не включает тем пературы свыше 12 000К, которые возникают в ударном слое затупленных тел, летящих в атмосфере Земли со скоростями 10 км/G и более. При этих ско
ростях |
необходимо учитывать излучение, Т; е. надо еще иметь зависимость |
71= Т (р , |
Т), которая отсутствует как в [281], так и в [258]. |
2.Опишем явные аппроксимации термодинамических функций воздуха
р = р { р, 9 ), Т = Т (р, 9 ), разработанные С. А. Кутасовым и А. Н. Щелконого-
вым под руководством Ю. М. Давыдова и В. Н. Фомина. |
|
|||||
лов |
Диапазон удельной внутренней |
энергии 3 разбивался на восемь интерва |
||||
(удельная |
внутренняя энергия |
измеряется в |
кал/г, плотность — в г/см3, |
|||
давление — в |
атм). |
|
|
|
идеаль |
|
|
1) Зс80. Давление и температура считаются по формулам для |
|||||
ного газа с показателем адиабаты и=1,4. |
|
газа, но |
||||
|
2) 80<#<450. |
Также используются формулы для идеального |
||||
с переменным параметром х=1,4—(9—80)х0,196х 10”3. |
|
|||||
|
При #>450 используются следующие формулы для давления и темпера |
|||||
туры: |
|
р = 2,838р7* (1 - J - - J - а 2 |
ос3), |
|
||
|
|
|
|
|||
|
г |
= 1 |
[570,06874—62000а;— 109500а'— 193000а'], |
|
||
где |
а[- (/=1, 2, 3) определяются ниже в зависимости от величины #. |
272 |
ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ |
[ГЛ. XI |
|
3 ) 4 5 ( Х З ' < 1 100: |
При |
81 < 0 , |
, |
О |
при |
< |
О, |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
10 |
при |
e i> 0 , |
|
||||||
|
|
|
При |
8 |
|
ttl |
К |
|
||||
|
|
|
|
|
= ао = а я = аа = 0. |
|
|
|
|
|||
Г J. XV |
при |
62 < |
0,2, |
. |
К |
при |
el < 0,2, |
|
|
|||
|
®1 |
|
|
|||||||||
|
|
е2> |
0,2; |
“ 1 = \0 ,2 . при |
Мч00 V о ьо |
|
|
|||||
«! = I\0,2 при |
е2 < |
0,0512; |
||||||||||
|
|
при |
е2 < 0 , |
|
|
(0 |
при |
822 "С 0, |
||||
а 2 == |
|
|
|
при |
822 ^ 0, |
е2 < |
0,0512, |
|||||
|
при |
82> 0 , |
|
оц= < е22 |
||||||||
|
182 |
|
|
U при |
е' |
>0,0512; |
|
|||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
аз = а з= 0.
5)2100 < 3 < 2700:
|
|
осх — (Xj — 012j |
|
|
22 |
при |
82 < |
0,0512, |
|||||||||
|
|
|
^ |
®2» |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
‘Н е ; |
при |
е2> |
0,0512; |
||||||||
|
|
« з = |
« з = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
2700 < 3 < 8000: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а 1= а ^ = 0,2, |
а 2 — ®2» |
^2 — ®2» |
« з= « з = 0- |
|||||||||||
7) |
8000 < 3 < 11500: |
|
|
«1 = «1 = 0,2; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j е2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
| 822гг |
при |
о2ег |
< 0 ,8 , |
|
, |
при |
|
< 0 ,8 , |
|||||||
|
а2 —\0 ,8 |
при |
е22> 0 ,8,8; |
“’2а—=\0,8 при |
е2 |
> 0 ,8 ; |
|||||||||||
|
«з = |
| |
при |
е3 |
< |
О, |
|
|
10 |
при |
еза < 0 , |
||||||
|
при |
83 |
> 0 ; |
|
3 —\б и |
при |
ej2> 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8 ) |
Э > 1 1 5 0 0 : |
|
|
«1 = «1 = 0,2, |
а 2 = а 2 = 0,8; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
8ь32< |
0,206, |
||||||||||
|
|
|
е3 |
при |
е3< 2 , |
|
|
®32 |
П р и |
|
|||||||
|
|
|
а ' = |
^ е3 |
|
при |
0,206 < е 3< 2, |
||||||||||
|
а* = |
| 2 |
при |
83 > |
2; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
при |
е3 |
> 2. |
||
Значения ef, |
г\ |
(£ = |
1, 2, 3) |
определяются |
из |
формул |
|
||||||||||
|
|
|
|
8; ^= 10 4 [3 +Pfi] [Pt2 |
P i3 |
1П Р] |
Pi» |
|
|||||||||
|
|
|
|
8f — 10“ 4[^ + P|i] [P|2-- P{3In p]---P{4, |
|
||||||||||||
где постоянные |
pit/, |
р;,7- ( i = l , |
2, 3; |
/ = 1 , |
2, 3, |
4) равны |
|||||||||||
|
Pi! = 200, |
|
|
P i = |
1,274, |
P i = 0,0455, |
|
P i = |
0,129, |
||||||||
|
P i = |
4700, |
|
P i =1,1105, |
p i = 0,00918, |
|
p i = 0,8073, |
||||||||||
|
p i = |
5000, |
|
P i = |
0,613, |
P i = 0,008, |
|
|
P i = |
0,9845, |
|||||||
|
Pn = 200, |
|
|
р12 = |
1,07, |
р1Я= 0,062, |
|
|
pi4 = 0,14, |
||||||||
|
P21 = |
4000, |
|
p22 |
= |
0,988, |
p23 = 0,0134, |
|
p24 = |
0,678, |
|||||||
|
Рз1= —5000, |
Рзг== 0,36, |
Рзз== 0,0134, |
|
Рз4 = 0,3. |
||||||||||||
Значения |
e22, |
e-2 |
(/=2,3) определяются |
|
следующим образом: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
®22 — Ю -46,г3 — 622 In Р |
^23» |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
8 -2 = |
1 0 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с постоянными |
|
|
|
|
|
|
|
-4б'(1—б;-21пр — в ;, |
|
|
|
||||||
|
|
8 « = 0 ,7 5 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
б 22 = 0 ,0 1 4 5 , |
8 23 = 0 ,0 8 3 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
«21= |
0 ,7 3 , |
|
б;2=о.озб, |
|
8 2з = |
0 ,1 7 1 , |
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
0 ,5 7 7 , |
б з2 = |
0 ,0 0 5 9 , |
|
833 = |
0 ,5 6 . |
|
*2] |
АППРОКСИМАЦИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВОЗДУХА |
2 7 3 |
274 |
ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ |
[ГЛ. XI |
Рис. 11,1, в. Относительная ошибка аппроксимации температуры АТ%.
Эти формулы строились с таким расчетом, чтобы получить наиболее точ ную аппроксимацию давления и температуры равновесного воздуха для боль ших температур (Т^бОООК) и плотностей порядка 10” 4-f-10“5 г/см3.
В диапазонах 10“ б г/см3 < р < 1 0 “ 3 г/см3 и 1800К^Т<20 000К относи тельные ошибки в температуре и давлении не превышают ±5% везде, за иск лючением небольших участков
2300К < Т < 2900 К |
и |
4000К < Т < 6500 К, |
где отклонения достигают 9%. Для |
диапазона плотностей 10“ 7 г/см3< р ^ |
|
< 1 0 “ 5 г/см3 и температур |
|
|
1800 К < Т |
< 9 0 0 0 К |
ошибки аппроксимации не превышают ± 9% . Графики зависимостей ошибок аппроксимации от термодинамических параметров приведены на рис. 11.1, а—е.
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
2 7 5 |
С помощью этих аппроксимаций рассчитывались течения диссоциирован ного, ионизированного воздуха с учетом и без учета излучения около затуп ленных тел методом крупных частиц.
* 3. Разностная схема метода крупных частиц для расчета течений с излучением
ОТ'
При построении разностных схем сквозного счета для расчета задач внеш ней радиационной газовой динамики за основу был взят численный метод круп ных частиц [1, 20—23, 30]. Вся структура алгоритма была сохранена. Учет радиационных эффектов свелся к введению аддитивного члена в уравнение энергии [236, 361 и др.].
При исследовании обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком излучающего газа система уравнений радиационной газовой динамики примет
вид: |
P( + (P“)x + |
(py)s = 0. |
|
|
|
|
|||
( P K ) t + |
( p M 2 - f p ) . T + |
(pttfl)j,=0, |
|
|
(pu)/ + |
(pMt')Jc + (p + p t'1!)„ = |
0, |
' ■ У |
|
(р£ )t + Г(р+ р£) « ]* + [(р+ р£) v]y+ Q= |
0• |
|
2 7 6 |
ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ |
[ГЛ. XI |
Здесь |
пренебрегалось плотностью радиационной энергии, радиационным дав |
|
лением и рассеянием лучистой энергии. Через р обозначается |
плотность, и и |
и — компоненты вектора скорости вдоль осей х и у, р — давление, Е — удель ная полная энергия, Q =div q — дивергенция вектора лучистого теплового потока q, определяемого из решения уравнения переноса лучистой энергии {см. § 4 настоящей главы).
Отметим, что все величины, входящие в уравнения (11.1), являются раз мерными.
Для построения разностной схемы используем расщепление исходной си
стемы уравнений (11.1) на две вспомогательные: |
|
|
Pf = 0, (p«)t+/>*=0. |
(jpv)t + p y = 0, |
|
(p£)t+ O w » ),+ 0 » ),+ (l-e)Q -0 |
v ' |
|
И |
|
|
Pt + (РИ)ж+ (P°)y= °* |
|
|
(p « )f + ( ? « * ) * + (РИО)» = 0 , |
|
|
(р»)*+(ри®)*+(Ю »“ °> |
|
|
( p £ ) 1 + (p £ « )x + ( p £ t;)!, + 6Q = 0 . |
|
|
Здесь 6 — параметр расщепления: при 6= 0 |
учет излучения производится на |
|
эйлеровом этапе, а при 6=1 — на заключительном. |
с сеточными парамет |
|
Введем равномерную по пространству сетку {х*, yi) |
рами Ах и Ау. Шаг по времени постоянен и равен At. Индексы i, /, п соответ
ствуют переменным х, у , t. |
|
э й л е р о в о г о этапа (11.2) используем |
||||||||
Для аппроксимации уравнений |
||||||||||
следующую разностную схему: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
At |
|
|
-П |
|
___ n « |
At |
|
|
|
|
Vl.l = |
V?,r |
Pi, i+i/2 |
Pt,/-i/a |
|
|||
|
|
|
n |
|
|
Ay |
|
|
||
|
|
|
ptj |
|
|
|
|
|
|
|
El,-= E h - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(И.4) |
_ Г(PU)j+ l/2,J— (PU)?-l/2,i , |
(PV)t, i+1 / 2 ~ ~ |
( P g ) ? , / - l / 8 |
I |
Q n I |
A * |
|||||
[ |
Ax |
|
^ |
|
Ay |
|
|
|
|
p ? ,/’ |
где p?+v„ /=0,5[p?+1> i + p |
l и |
т. д. |
|
|
и |
з а к л ю ч и т е л ь н о г о |
||||
Разностные |
формулы |
л а г р а н ж е в а |
||||||||
этапов запишутся в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(р?.+/ — р£ /) Ах Ау = А |
1/2./— АМ?+ц 2,/ + ДМ?, / - 1/2— ДМ?. /+1/2» |
|
||||||||
(Р?.У ф?./1— р" /ф" /) Ах Ду = АМ"- i/s. / <Ф><- i/г. / — AM и i/г. / <Ф>?+i/г. / + |
|
|||||||||
+ ДМ"/_!/. <ф>"/_1/2 —ДМ?,/+1/2<ф>(! i+ n f-^ x Q liA x A y A t, |
(11.5) |
|||||||||
|
Ф = {й, |
£}, |
бц = б „= |
1, |
6£ = б , |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДМ?_1/2. / = 0,5р?.1./ (й?_1./ + й?./)Д|/ДЛ |
<Ф>?-1/2./ =Ф?-1,/. |
|
||||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и/li, / + |
0, |
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДМ ?-1,2. /= 0 ,5 р ? ./ ( п ? _ 1, / + u l ,) Д у А #. <Ф>?-1/2. / = Ф / . b
*4] |
ПРИБЛИЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ |
277 |
если |
|
|
Подобным образом определяются ДМ?, /_«/., <ф>" /—*/* и др.
Разностная схема метода крупных частиц для расчета осесимметричных течений с излучением очевидна, и для краткости изложения ее здесь приво дить не будем.
Расчет обтекания затупленных тел с криволинейной образующей произ водился в исходной прямоугольной системе координат с использованием
дробных ячеек в методе крупных частиц (см. гл. III) [236, 361 и др.]. |
|
||||||
§ 4. Приближенное решение уравнения переноса |
|
||||||
|
лучистой энергии |
|
|
||||
.Уравнение переноса записывается |
в виде: |
|
|
||||
p / v __is* / п |
г.ч |
D |
___2A*v3 |
* |
|
(П.6) |
|
Wv |
*v)» |
— пч |
|
|
|||
|
|
|
|
|
exp |
|
|
где £ v—функция Планка, K'v = /f v £l —exp ( — F T ) ] —.коэффициент |
погло |
||||||
щения с учетом вынужденного испускания, С* — скорость света, /г* |
посто |
||||||
янная Планка, к* — постоянная Больцмана, |
|
/v — интенсивность излучения, |
|||||
I — направление излучения. |
|
|
|
|
|
|
|
Вектор лучистого теплового потока q определяется по формуле |
|
||||||
|
q = |
^ \ I vQdQdv,) |
|
(11.7) |
|||
|
|
4Я О |
|
|
|
|
|
где Q — телесный угол. Нетрудно показать, что из (11.7) следует |
|
||||||
|
|
00 |
|
00 |
|
|
|
Q = divgr= 4jt $ /CvBvrfv— ^:Kvdv^ Iv dQ. |
(11.8) |
||||||
|
|
О |
|
0 |
4л |
|
Внастоящей главе будут использоваться два приближения для решения уравнения переноса лучистой энергии (11.6): объемного высвечивания [4] и
плоского слоя [246].
Вприближении объемного высвечивания (учитывая излучение и пренеб
регая поглощением) получим из (11.8)
00 |
|
Q = 4 я J K'„BV dv =АпКпВ ? |
(11.9) |
Здесь Кп — среднепланковский коэффициент поглощения,
B= \\Bv dv.
ов
На практике в ряде случаев удобно применять эти осредненные величины. В части приведенных ниже расчетов использовались частотные характерис тики, для них и проведем дальнейшие рассуждения. Заменяя в (11.9) интегри рование по частоте суммированием, имеем
Q I/ = 4 я 2 Ж ( P i п ,) Bv (Т1,) Av.
2 7 8 ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. ХГ
Теперь рассмотрим плоский слой газа толщины А с известным распределе нием температуры и давления р=р(х), Т=Т(х), 0 < х < Д . Решение уравне ния (11.6) имеет вид
со |
А |
|
|
|
|
|
Ч= $ dv $ dx' Bv (х ') К'ч (х ') Еа |
J Кч (х") dx" ^ sign (х— х ’), |
(11.10). |
||||
о |
о |
|
X |
|
' |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Es (t) = ^ m”*exp (— mt)dmy |
s = l, |
2, 3, |
(11.11)* |
||
|
l |
|
|
|
|
|
— интегро-экспоненциальные функции. |
|
|
|
|
||
Оптическая толщина т* слоя газа толщины х |
определяется по формуле* |
|||||
|
|
х |
|
|
|
|
|
Хч = \К ч(х ')й х ', |
0 < * < Д . |
(11.12) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
Разобьем толщины плоского слоя А на N интервалов jto=0, xlf . |
x N= А- |
|||||
Величину J3V(T) на отрезке [TVf/, тл#/+1] (/=0, |
N— 1) можно приближенно |
|||||
представить в |
виде |
|
|
|
|
|
|
В ч « |
+ |
f (B v . и г - В ч . д |
( 1 1 .1 3 ) |
||
(линейная интерполяция |
по оптической толщине T v ) . В (11.13) |
|
||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
xv . i= ^K v(x')dx', |
/ = |
0, . ..,W . |
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
Подставляя (11.13) в (11.10), после несложных преобразований с |
исполь |
зованием свойств интегро-экспоненциальных функций (11.11) можно получить
лучистый тепловой поток qp в точке хр (/?=0, . . ., N): |
|
|||
|
N |
|
|
|
|
2 |
Вч, 1К 4, и рAv, |
(11.14). |
|
|
v 1=0 |
|
|
|
где |
_ |
__ |
|
|
К*. I, p— Kv, 1, р |
/Cv. /, р |
Ку. i-i, ру 1 = |
1, •••» |
N — 1, |
Ку. 0, Р = /Су, о, р |
К у, о, р» |
/Cv, N, р = /C v , |
N, pi |
|
/Cv. /, |
р = 2 я |
[£ *3 (| r v . р |
Tv, /+ 1 1) Е3(| Tv , р |
T VI / 1)], |
|||
/Cv. /, р = 2я [£"з (J TVf р |
TV, |
/+ 1 1) |
|
|
|
|
|
T V /+1__ T V |
/ |
|
р |
*+1 ^ |
р T v ,/ 1 )} |
(T v, р T v, / 0 )] , . |
|
|
/ = 0, |
. . . , |
iV — 1, |
/7=0, |
N. |
|
|
При практических расчетах использовались, по сути дела, две сетки: |
|||||||
газодинамическая |
с Ал; и радиационная с Ахг (общее число радиационных то |
||||||
чек /У~50-н100; |
газодинамических — в |
несколько |
раз |
меньше). |
Параметры газа /?, Т в точках радиационной сетки находились путем ли нейной интерполяции по точкам газодинамической сетки. Лучистые тепловые* потоки считались только в точках газодинамической сетки, хотя при этом сум мирование в (11.14) производилось по всем точкам радиационного поля.
При проведении расчетов были использованы коэффициенты поглощения; воздуха /Cv из таблиц, составленных в Институте высоких температур АН
СССР Л. М. Биберманом и его сотрудниками [283]. Диапазон частот, соответ ствующий волновым числам от 1,25х 103х1/см до 151,25х103Х 1/см разби вался на 20 интервалов с Д я= 7,5х 103Х 1/см. Составлялась таблица коэффи
§5] |
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ЗАДАЧ РАДИАЦИОННОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ |
279 |
циентов к , в диапазоне изменения температуры 7,=6000-j-14 000К с узлами через 2000К и давлений р=0,1ч-10 атм с узлами через порядок. При нахож дении промежуточных значений /fv, необходимых в процессе счета, использо вались следующие формулы (pi< p< p2, Тг<.Т<.Т2):
1) линейная интерполяция логарифма коэффициента поглощения по тем пературе и давлению: lg K'v~ p , Т. В этом случае
1g/Cv(Р, |
Т ) = А Ь р Ь Т + ®Ьр+<в1±Т + @), |
|||
где |
А ' |
|
|
|
|
|
Р2—Р1 * |
|
|
А = (Т2—Тг) (р.г—рг) 9 |
Тш- Т г' |
|||
а величины А \ 63*, |
& определяются из формул: |
|||
^ '= 1 бКЦрш, T 2) + \gK^(pu |
|
T'O— lgiCv(Pi, T 2), |
||
® '= ig /c ;(p ,. r o - i g / c ; ( Pl, TO, |
|
|
||
g /c ;(Pl, T2) - i g ^ ( P i , |
П ), |
|
|
|
g /c ;(Pl, TO; |
|
|
|
|
2) логарифмическая интерполяция: lg /Cy~lg p, |
lg T. При этом |
|||
lg ; (P, T) = Л lg (T/TO lg (p/pO + |
« lg </>/*) + |
* !g (77Г0 + ® , |
||
где |
|
|
|
|
^ = ^ 7 [ l g ( T 2/T 0lg(p,/p0L |
« = ® 7 ig (p ,/Р0. |
* = » 7 lg ( T e/r o . |
Следует отметить, что точность логарифмической интерполяции lg /Cv по р, Т {при узлах 0,1,1 и 10 атм) гораздо выше, чем линейной, однако в ряде методи ческих расчетов и для сравнения использовалась и линейная интерполяция {это в тексте оговорено особо).
Оптические толщины вычислялись по формуле (11.12):
Tv> о= Tv> I = TVI Kv, {Pjt T t) Axr, l = 1, . . . , N .
Для определения значения интегро-экспоненциальных функций в точках, не совпадающих с узлами таблиц [284] (лгф= 0 (0,01) 2 (0,1) 10), использовались приближенные формулы (s—3, 4)
Es (х) = Es (х,р+ 6х) = Es (*ф) — 8xEs_х (хф) + у 6x*Es_2 (хф),
где аргумент дгф выбирался так, чтобы |6*K0,5/t, где h — табличный шаг по х .
Найдя из (11.14) qnttjt получим |
|
Q? i = (Я1f1. /— |
/)/2Дх: |
При учете излучения граничные условия ставились так же, как и для задач обтекания без учета излучения; при этом в случае приближения пло ского слоя считалось, что излучение в ударный слой со стороны ударной волны и поверхности тела не поступает.
§ 5. Результаты численных расчетов задач внешней радиационной газовой динамики
С помощью описанных в настоящей главе разностных схем метода круп ных частиц был приведен численный эксперимент по обтеканию тел различ ной формы (рис. 11.2, а) потоком диссоциированного, ионизированного и излу чающего воздуха в широком диапазоне начальных данных [236, 361 и др.1.
В этом параграфе результаты расчетов с учетом излучения в приближении плоского слоя обозначаются сплошной линией, объемного высвечивания —
2 8 0 |
ТЕЧЕНИЯ С ИЗЛУЧЕНИЕМ |
ЬГЛ. |
ХГ. |
|
штрихпунктирной, |
без учета излучения — штриховой (все отступления |
от* |
||
этих обозначений будут оговариваться особо). |
|
|
||
|
На рисунках давление р измеряется в атмосферах, линейные размеры — |
|||
в |
метрах, температура Т — в (103)К, лучистый тепловой поток q измеряется! |
|||
в |
103 ккал/(м2Хс), |
плотность р относится к р^, компоненты скорости и и v — |
||
к W ", где р^, |
— плотность и скорость набегающего потока. |
|
|
|
|
1. Рассмотрим |
результаты расчетов осесимметричного (v=li) |
обтекания; |
цилиндра с торцевой передней частью со скоростью 13,000 км/сек (число Maxai М =40,2) на высоте # = 5 7 км в атмосфере Земли.
Расчеты проводились в поле 30 Д#х40Дл; с телом 10Л^х19Дх(рис. 11.2,6),. причем бралось Ау=3&х. В этом случае в ударном слое на оси симметрии; располагалось ~ 7 -ь8 расчетных точек.
а) |
б) |
Рис. 11.2. а) Формы образующих рассматриваемых тел: цилиндр с торцевой передней частью (/); плоская пла стина конечной толщины {2)\ сфера (5). б) Расчетная сетка: АО — ось симметрии; ОЕ и ED — лобовая и боковая поверхности цилиндра.
~ Ф
Рис. 11.3. Изменение плотности на оси симметрии (/=1) и при /= 9 (ци линдр, # = 5 7 км, М = 40,2, # = 0 ,1 м,.
lg К \~р, Т). Штриховая линия— без учета излучения, сплошная — с- учетом излучения в приближении плоского слоя, штрихпунктирная — с излучением в приближении объем
ного высвечивания.
На рис. 11.3 представлено изменение плотности вдоль^ оси симметрии; (/=1) и / = 9 (на расстоянии 17i?/20 от оси симметрии) при"#=0,1 м. Учет излучения приводит к повышению плотности в ударном слое и уменьше нию отхода ударной волны.