книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭНА		321
Зафиксируем v e j / 2 такое, что	выполняются (7.9) и (7.10), и по­
ложим фь(£) = Fk(th + v ). Тогда	(полагая р (dt) = —%= e^'^dt)
	у 2JX .
фk(t) ~ + 0 в 2 ,p0(R1, р) при к-*~оо
и
Ф/< (t) = <DFk (th + v), Л>н -> (G1	(th + v), h}H в <FPl (R1, p)
	при	A:-voo.

Следовательно, согласно хорошо известному одномерному результа­ ту, мы можем заключить, что

<.Gi(th + v),		fe>n =	0	для р ( d t ) п. в. t.
Поэтому <GI (H>), К>н =	0 для			и. в. ю, и так как & произвольно,
то G,(w) = 0 для и. в. w.
Пусть F : W Q- V R — гладкий функционал. Мы полагаем
(LF )(w )=Sv(D '-F )(w )-(F'(w ), ш),						(7.11)
где
Sp0V(ri;) =			S	F > ) ( f c i,fti),
			i=l
a i h j - ОНБ в Я *) .
Лемма 7.2. Если F		и G:\VQ-V R — гладкие функционалы, то
J LF (w) G(w) Pw(dw) =	j	F(w) LG(w)Pw {dw) =
<	К= -			f DF(w),DG(w)}HPw<	(dw).	(7.12)
Д о к а з а т е л ь с т в о		([1821).	Выберем lie W ',’ так, что			=

— 1 и пусть и? = th + v — то же разложение в прямую сумму, что и

в доказательстве леммы 7.1. Тогда заметив, что (h, g )=				0 для всех
g s	/ / 2j получаем
f	(ю) (fe, h) — (h, w) <DF (W), h}H G(w) Pw (dw) =
	°°	(
=	jp ( d v ) j	F (i/l + V) -	^(th + V )jG(th + v) ^	e~l2,2dt =*
	112

*) Хорошо известно, что это пс зависит от частного выбора ОНБ.

21 С. Ватанабэ, Н. Икэда

322 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

= -	[ Р ( d v ) J' |		F (th + v) [ § ( th +				v) - t'J (th +	v) +
	Ti.t
			+ lG(lh + v ) ] ^ = - e - ‘-l!dt} =
	- -		oo						-
		Ip<*■) ,f 5 f<№+ ">IC("* +
		H2	= -		j <DF(iv),hyH(DG(w),h}HP w (dw).
				Wo
Так как F и G — гладкие функционалы, то легко убедиться в том,
что можно		найти и в конечном			числе hu h2, . . .,/гд>е \¥о*такие, что
				.V
		. Sp D2F (W) =		2		И	(hi, hi),
				i ~ i
				N
		( f	(w), w ) =	2	( h i ,	W	<DF ( w ) , hi)H
				г—1
		(w), D G ( w ) y H —2				(и?), ^i)rr <D G ( w ),
				i—I
Тогда имеем						<DF (ip), DG («?)>„
	j	(u>) G ((к)	(dw) = -		f				(*»),
	7*					T
	w0				w 0
что, в силу симметрии, равно					[ F (w) LG (w) Pw (dw).
О п р е д е л е н и е					w°
			7.4. Пусть F (w): W j -> R1 — винеровский функ­
ционал и пусть р0, pL> 1. Будем говорить, что F е								Н (ра\рь), если
F ^ 2	„ ,( P W) и если существует последовательность гладких функ­
ционалов (Fk(w)} таких, что
(I) Fh-+F B & PO ( P w ) при					/с - >	о о ,
(II) {LFJ — последовательность Коши в S?VL(P W).
Если F = II(ptt; PL), то IimLFft в & VL(PW) единственным обра-
			h->оо

зом определяется по F.	Действительно, если Fk~* 0 в 2 ’,,0 (P W) и
LFk-+G в 2 ’p (Pw),	то для любого ограниченного гладкого
JL

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭПА	323

функционала K(w) такого, что LK также ограничено, имеем
О = lim	f	Fk(w) LK (w) P w (dw) — lim		[ Ll<\ (w) К (w) P w (dw) =
k-*oO	r	k-*oo		w,
	w«
				= f G(w) К (w) Pw (dw),
				W,
и поэтому		G(w )= 0 для Pw п. в.	w. Следовательно,		мы можем
сформулировать следующее
О п р е д е л е н и е 7.5. Для F ^ H (p a-, pL полагаем
		LF (и?) = lim LFh (w)	в	S?PL( />w ).	(7.13)
		fc-ЮО
L называется оператором Орйстейна — Улепбека *).					и (F'(w),w),
З а м е ч а н и е 7.1. Линсйпыс операторы Sp IFF(w)

действующие на гладкие функционалы F, пе допускают в отличие от L замкнутого расширения и они не могут быть продолжены. На­

пример, рассмотрим

(F'(w), w). Пусть

Г = 1

в положим Fk(w) =

2и

— 2

[w(n/2h) — w((n — l)/2ft)]2 — 1.Тогда

FK(w)~> 0

в

2?p0 {P w)

N—i

1, но

для любого p0 >

(F'h (W), W)

= 2 s

[K>(n/2h) — w {(n — l)/2ft) ] 2 -> 2

n —1

в F £ v

(P W)

Для любого p i

5 =

1.

О п р е д е л е н и е

7.6. (I)

Для p0, pu ...,

pm, pL > 1

мы полагаем

H(p0, Pi , . .

., pm\pL) =

Я (p0, Pi,

■■;

Pm n H(p0; PL) •

(II)

Hx =

[F;

f e t f ( l ,

2;

1),

для

всех

2, F ^

2 ’p(P w),

DF e

# p (Pw; Я* = Я ) и PP e= # p (P iy)).

(III)

Я с .=

П

Я(р, p;p).

Ясно,

V>2

л

что Я » c

Нж**). Следующие-леммы легко доказываются

сначала для гладких функционалов с

последующим

переходом к

пределам.

выполняется,

‘Л е м м а 7.3. Пусть F и G^1I( 1,2; 1). Тогда (7.12)

если Fe=2?Vo(P w), Df е 2 ‘Pl(P w’, Я* = Я ),

LF е

2?Pr(P w),

G e

г

(P w ),

£>G <= 5%, (Р ж; II* =

Я) и. PG e

2 4

(P wj

так,

что

- + — < 1 , - + - < 1

u i - + i < l .

/;П■'0

н

'P1l «14

IP' L 490.

В частности,

(7.12)

выполняется, если F и G е //„ ,.

*) Э т о т оператор и сущности совпадает с бесконечномерным лапласианом наеденным Ямазаки (f lf>7J).

**) Шигекава доказал, что IIж= IIж (частное сообщение).

21

324

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЛ МНОГООБРАЗИЯХ

JI е Д1 я а

7.4 (правило

дифференцирования сложной функции).

(I)

..

Пусть F = (F\

Г-,

...,

F'1 : WJ,

RJ и F‘ e=Il(i,

2; 1), i =

= 1, 2,

d. Пусть u(x)^ C2(Rd)

такая

функция,

что

\u{x) \<

<Z£(1 + Ы )

для некоторой константы <K>

0 и первая

и

вторая

производные функции и ограничены.

Тогда u°F е 7/(1, 2; 1)

и мы имеем *)

<1

D (и о F) (w) =

2

diU°F (w) DFl (w)

(7.14)

i=1

U

d

L (u°F )(w )=

2

° F (u-) (DFl(w)t DF1

(ia)>H +

.j=i

(i

+ 2

(W) Z/F* (U>).

(7,15)

i= l

(II)

Пусть F,G e

77». Тогда F G ^ H x u

L(FG) (w)= LF(w)G(w)+2<DF(w), DG{w)>H+ F(w)LG(w). (7.16)

В [ИЗ] Малливэн определяет понятие производной для винеров-

ских функционалов иначе. Мы теперь

останавливаемся,

чтобы

вкратце исследовать связь. С этой целью введем стационарную га­

уссовскую

диффузию на W Q с инвариантной мерой

Pw,

называе­

мую процессом Орпстейна — Улеибека, следующим

образом. Пред­

положим, что на вероятностном пространстве

(Я, SF, Р),

заданы:

(I)

Гауссовский процесс W (s,

т), s е

[0,

оо), т е ( 0 ,

7’]

такой,

что Е (PT(s, т )) = 0 и

Е (W (s, т) W (s', т)) = (s Д s') (г Д т')и

1

(II)

стандартный винеровский процесс Х а= (X0(T) ) T*.IO,T]

такой,

что UT(s, т)) и Х„ независимы.

и < s,

т ^ [0 ,

Г]}.

Положим

Пусть

2Г, —о{1У(и, т),

Х0(т );

М[х) =

W (s, т). Тогда

для каждого

фиксированного т М (х) ==

является непрерывным квадратично интегрируемым

(^”.)-мартинга­

лом. Кроме того, ясно, что

<А7(Т), Л7(т,)>, =

(т А

т') t.

(7.17)

Для каждого фиксированного т пусть X, (т)

определяется посредст­

вом стохастического дифференциального уравнения

dXt(x) = dM\T - ± X t(x)dt

(7.18)

с начальным значением Х0(т). В явном виде -ХДт) задается таким

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛНВЭПА		325
обрааом:
X, (т) = е—И2	е*'ЧМ™	(7.19)

Легко убедиться в том, что можно выбрать модификацию такую, что функция (£, т) >-*■Х< (т) непрерывна и. н. Для фиксированного t

IT ^IO, Т] ->-Х,(т)]	является элементом	из	WJ.	Поэтому
{Х /}|С.[0,Ж] — непрерывный случайный процесс		на	W j.	Легко	ви­
деть, что это процесс	Ористейна — Уленбека в	случае r ~ 1.			Беря

г независимых экземпляра, получаем процесс Орнстейна — Уленбе­

ка на Wo-

Для простоты обозначений предположим, что г = 1 и допустим, что процесс Орнстейна— 'Уленбека {X ,},fe[0,oc) реализован на вероят­

ностном пространстве (Q, У ,					Р) с	вышеописанным			образом.
Пусть F(w)— випсровский				функционал. Следуя Малливэну,						дадим
такие определения:
f	если	t*-*F(Xf)		непрерывно но вероятности*),						(7.20)
f	е ? 1, если	t — F (Х()		имеет н. н. непрерывную модификацию,
										(7.21)
F e ^ 1, еслп F’ e 'g 70 HS’t			(Pw) и существуют винеровскпе
	функционалы G и К такие, что G е							Пi?, (Pw),
	F e f f l & t ( P w ) ,					t		В Д > 0 и
		MF(t) «	F (Xt) - F (X„) -			f G(X,) ds
						0
	является непрерывным квадратично интегрируемым
			(^*)-мартингалом с				/
					<MF) t =		J [X (Xs)]2 ds.			(7.22)
							О
Здесь	G и К определяются единственным						образом (как		винеров-
ские	функционалы) по		F и		обозначаются,		соответственно,			через
L E / 2	и ИУРН. Если FG<=4?\ то <M F, MGyt =						f	X(X*)ds для некото-
							0

рого единственным образом определенного винеровского функциона­ ла F e ? 1ПSFi(Pw). Этот функционал К обозначается через

v /? . VG .

*) Это эквивалентно утверждению P{\F(Xt) —^(Хо)| > е}-»-0 при 11 0 для любого е > 0 в силу стациопарности Xt.

326	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
Т е о р е м а			7.1. Если, F ^ H ( 1,			2;	1), то F е ® ’1 и LF/2 совпадав>
с LF/2,	где		L — оператор		Орнстейна — Уленбека. Кроме того,
VF-VG = <Z)F, D G >„.						F — гладкий		функционал	F(w) =
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если
= /(w(Ti),		^( тг),		W (T„)), то
F (X,) -	F (X0) - / (X, (т,), X, (тг),					•••, X, (Tn)) -
				- / ( X 0(n), X 0(T2),			. . . , X 0(T„))=-
		=	s	f d j (X, (Tl), x * (T2),			. . . , X. (T„)) dAfГ*} -
			‘“ U
	-	.	a n		x» (*«). •••>x* (■»"))X‘ (T«) * +
		1	j ^	5i/ (x* (TI),
			0 ^
			л	n				X, (T„)) T* Д	(7.23)
		+ - | j		2 didjf (Xs(Tx), x s (T2), . . . ,

(I

согласно формуле Ито, (7.18) и (717). С другой стороны, легко видеть, что

	«
(F '(и?), v) =	2	5г/М тх), И тг)> ■••.w(Tn))v(T|),					VGWJ,
	i=l			Г
(DF (u>), /г) =		(F' (м?), Л) -		,f [DF (н>)1(т)h (т) dt,			A e f f ,
[D F(«;)] (т) =			2 dtf(w (tx), K?(T.2),			... , w (т„))/[0,Т{] (T)
И			t=l
	r т
D*F И (Alt A2) =	j' f [D2F (w)] (o1( oa)				(ox) h2 (o2) <Mcx2,			^ s //?
	0	0
c
[D*F(u7)](olt Ja) =		2	W ( « ? M	. U,(T2). ...,ir(Tn))^o,Til(0i)^e.*il(0a)-
	iJ-=L
Следовательно,
LF (w) = Sp £>2F (w) -			(Ff (M?)f w>) ~
= S		djd,/ (w ( T l ) , W( T 2) ,			. . . , И7 (T„)) r, A T j —
i.j-n				n
			-	2	N	{ w ( T , ) , II? ( T 3) ,		( T n ) ) W ( T j )

i—1

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ	327
и, согласпо (7.23),

F (Xt) - F (Х0) = t \ d j (Хе(Tl), X s (т2),	(т„)) dMiXi) +
О
	t
	+ ±§{LF)(XJds.
Также
(Л/f, Me) (t) —

.2 ,f ^/(Х .,(т,), X ,(т2), . . . ^ « ( ^ ^ ( X . ^ J . X J TJ), ...

i > ] I
t	l T
.,X s (xn))TiA r jd s = [ Ц|/М’ (Х,)(т)] [DG(XS (T)|dx| ds =
0	U
	i
	= J <DF(XS, DG(Xb) a ds.
Таким образом, утверждение	теоремы справедливо, если F — глад­

кий функционал. Общий случай получается предельным переходом. Здесь мы отметим только, что если последовательность {Fh} глад­

ких функционалов такова, что Fk-+F				в 2?l(Pw),		DFh->- DF в
&t(Pw, II* =	II) и LFh	LF в ^ ( И ,	то
Е [(Л/р/((Т) -	M Fh, (Г))*] = Г \ IDFhИ		-	DFU, (w)	Pw (dw) 0
		wro		при		fc,/ с ' — оо.
Отсюда следует Е ( sup		IMF (t) — М F , (t) l2\ -> 0 it			силу нсравеп-
	\0<l*T1			)
ства Колмогорова и Дуба		(следствие теоремы I — 6.1). Остальные

утверждения теоремы легко проверяются непосредственно.

§ 8. Случай стохастических дифференциальных уравнений и проблема гиноэллиптичности уравнений теплопроводности

Сначала мы получим результат о регулярности вероятностного распределения (индуцированной меры) винеровских функционалов. Этот результат принадлежит Малливэну.

О п р е д е л е н и е 8.1. Пусть v — борелевская вероятностная ме­ ра на 1\‘. Говорят, что v е Цр,п для натурального m, если существует

328	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИА МНОГООБРАЗИЯХ

константа К > О такая, что *)

Z)°4p(х) v (dx)

R''

для всякого**) ср eS JfR '1) и а = (а1, аг, .. ., аД такого, что[а| =

= ах + а2 + . . . +

ad<^m;

f)

обозначается через Ж°°.

т—1

Следующая лемма из анализа предполагается известной.

Л е м м а 8.1.***)

(I).

Если \

то v(dx)

имеет

плотность

относительно лебеговой меры dx:

v(dx) = g(x)dx,

(II)

Если

то плотность g(x)

можно

выбрать принадле­

жащей классу С“ .

Пусть

F — (Fl, Fa, . .. , Fd): Wj -*■Rd — Позначный винеровский

функционал, а мера I1’* (P w) — образ

меры Pw при отображении

F

(т. е. вероятностное распределение функционала F ). F* (Р и ) явля­

ется борелевской вероятностной мерой на Rd.

что

F —

Т е о р е м а

8.1

(Малливэн

[114]).

Предположим,

= {Fl, F2, ..., Fd

удовлетворяет следующим двум условиям:

(А.1)

F* е

//„ , * -

1,

2, ....

d,

I/ V fttlnf*

Со = (F\ <DF\ DF>„,

LF‘, i, j =

1,

2,

. . ,

d)

таков, что С,, cr Й^. Кроме

того,

предполагая,

что Cr- t с

//„ ,

опре­

делим класс Сг равенством

Cr =

Cr_, U{iDF1, Du>u,

и

Сг-

i =

l , 2 , . . . , d )

и предположим, что Сг <= #«, для всякого г = 0,

1 , __

(А.2)

Полагая

0 ° ( w ) =

<DF'(w), DF*(w)>„,

( 8.1)

предположим, что det(o’J(w )) > 0 для Pw п. в. w.

матрицу

через

Кроме

того, обозначая

обратную к

(o<j(ip))

('Y4(u?))i

предположим, что

е

(Fw)

для

всех р ^

1

и

i, j = 1,

2, ...,

d.

Тогда F * (P w) e

Жж

и, следовательно, имеет С00-плотность от­

носительно меры Лебега.

Для доказательства нам понадобится следующая лемма.

*)

||<р»11 =

sup, |ф(*)|.

**) <Z5(Rrf) = Fo(Rd) — совокупность всех С“ -фупкций с компактными но­ сителями.

***) См. £113].

		§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ					329
Л е м м а	8.2. При предположениях				(А.1) и	У«Ч	для
						(А.2) ч'3^ Я „
всяких i, j =		1, 2,	. . d и справедливы следующие формулы:
Dyij =	-	2	t hi'Dcshl,				(8.2)
		h ,l= l
L f =	_	2)	yihy*lLaM+ 2	2	T*V V	<£aw, Domn} H.	(8.3)
		A,/=l	h,l,m ,n= 1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим				a(')ij = oij +		еб’Л Тогда a(e,,j e / / .
и, согласно	лемме		7.4, непосредственно находим, что обратная к
a<e)iJ матрица			такова, что		п что вышеприведенные

формулы (8.2) и (8.3) справедливы с заменой а и у соответственно

на а(е) и 7 <е). Но в силу предположения

(А.2) ясно,

что o<e)lj -*■ olj в

3?P(Pw) и

-*■

в

2?P(PW)

для

всех

р >

1.

Следовательно,

£)ytE)iJ и Ьу^

11

сходятся

к правым частям равенства (8.2) и (8.3),

соответственно, в 2?p(Pw) для всех р~>1.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

8.1.

Пусть

q(w )^ H x и

с р е ^ 5 (И ,!).

Для простоты

мы будем

писать

ср(м>) = ср » F(w). Тогда

Ф ^ Я оо. Согласно лемме 7.4,

f

2 А Я Я \ д 7 р > н ?РТУ(с*и;)=

f 2

yik(DFk, DFmyf]dm(poFqPw(dw)=

' T

h

' r h,m

W0

wj

=

f 2

о FgPw (dw) =

( <5{(р о F (w) q (w) Pw (dw).

^rh,m

%

W0

wj

С другой стороны, но лемме 7.4, (7.16)

и лемме 7.3,

f

2 yih<DFk, Dy>HqPW(dw) =

тft

w„

j#)21ИРи'(&),

■=»1 j

wo

w0r

где винеровский фупкциопал S,(ц?) задается так:

Si («о =

4- 2

( А

)

-

УihPFhq -

L (yihFhq) } =

k

=

4

2

l^

( A

)

-

A

A

-

L ( A

)

Ph - yihqLFh-

A

-

2 Ф

( А

) ,

ЯA n )

=

- 2

yihLFhq -

2

CD ( A ) , Z>Fft>H =

A

A

=

-

2A A

A

-

2 A ? д а \

z>A

* -

2A vift </>?, z > A H =

=

-

2

Y^

A

+

2

? T V m< W ”*,DFft> H - 2 y ift<P9,DFft>n.

ft

A,;,m

A

330			ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Обозначим Si через B,[q\. Тогда
		j	д;ф о F (w) q(tv) Pw (dw) = f		cp о F (w) Bi [q] Pw (dw).
		Wo		<
Последовательное применение формулы Ито дает
	,f	(дндьг •••dim<Р) ° F И pW (d"') = f				ф • F (и) ?m (н?) PW (dw),
	<				<
где	qm (w) = Bim[ .. . [ # i2 [1]] .. . ]. Нетрудно убедиться но индукции,
что	qm— полиномиальная фупкция от					и элементов из Ст и по­
этому		qm^ H „ но предположению			(А.1)	и	лемме 8.2.		Следова­
тельно,
I	( *	А	bm4>)(x)fi*(Pw) w	l =	1 4 А		dimy°F(w)PW(dw) <
Rd					wx
			J I qrn (w) I Pw (dw).					^	те ЦY II00»
где K m=				Таким образом,				/ * (P w) ^ Ж°°.
	Теперь рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
			U X it = oia(Xl)dwa(t) +	bi (Xi)dt,		£ =	1,2,	..., d,	g	„
			( X 0=a:						'	•

на винеровском пространстве(\Уо, Pw). Мы будем предполагать, что

о и Ь удовлетворяют	тем	же	условиям,	что	и в §	2: Иа(х)!! +
+ I b(х) |^ К(1 + \х\);	а	и b	имеют ограниченные			производные
всех порядков. Для фиксированных t u x ,				решение X t = X(t,x,w) —
= (Х‘ (£, х, w), X2 (t, х, w), . ..,			Xd(t, x,	w))	является	Позначным

винеровским функционалом. Мы покажем, что решение удовлетво­ ряет предположению (А.1) теоремы 8.1.

Ради	простоты обозначений	мы	предполагаем, временно, что
d = г =	1. Для Xi(w) = X(t, х,	w)	аппроксимирующая последова­

тельность гладких функционалов Х\п = X (n) (£, х, w) определяется посредством эйлеровской аппроксимаций (пользуясь теми же обозна­ чениями, что и в § 2):

t	1.
Х\п = х + Jа(х £>(4)) dw (s) +	j Ъ (хЭД,,) ds.	(8.5)
О	О

Для фиксированных л и ! Х(П)— гладкий функционал (DX<n), h) *)

*) (•> • )— билинейное отображение пары Н* и И (— спаривание между

II* и II).