книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

301

О граничным условием

		<2-1				<2-1				(1)" 0 на	д£>.
ч	- f	, 2 “ " <*>н	р	<*> +		2	р1<*> $	(*> +	#
						2=1					(6.46)
Положим
		2	Z	=	(s ^	0; X (s) е		5£)}„			(6.47)
Так	как	J /аи (X (s)) ds =		0	и. н., то 2Z имеет				п. н. лебегову		меру
		о	где		еа = {1а,		га) — взаимно			непересекающиеся
О и (0 ,о о )\ ^ = [)еа,

а

открытые интервалы. Каждый интервал еа называется интервалом

экскурсии, а часть

{X(t), t ^ e a) называется экскурсией

процесса

X(t).

Пусть

A (t) — непрерывная

справа

фупкция,

обратная

к

Положим*)

D =

{s e [0 ,

оо);

A (s) — A (s—) > 0).

Тогда

легко видеть, что совокупность интервалов

экскурсий

совпадает

с

множеством интервалов

{ ( Л ( ц — ),

А(и)), n e D I .

Пусть &~t—по­

полнение о-поля a[X(u), В(и),

и

пусть g(s) —

-вполне

измеримый процесс такой, что

s >-* Е [g (s)2]

ограничено па каждом

конечном интервале. Тогда

Y k (t) =

2

является

непре-

j g(s)

(s)

рывным iFt - мартингалом. Для

0

интервала

экскурсии

каждого

ва = (^оЕ)

fa)

5

g (s) dB\{s) = Y h( r M

- Y h{laAt)

•аГ1[0,2]

по определению. Этот интеграл также обозначается через

A ( u ) \ t

j

g (s) dBh(s),:

если

ea =

(A (u —), A (u)).

A (u —) Д2

Т е о р е м а

6.6. (I) Имеет место формула

E ( 2

A (u ) Д2

J

g(s)dBk(s)

M

g (s)2 ds

\ u = D L A ( u - ) A 2

k =

1, 2, . . . ,

r,

t^ O ,

(6.48)

(II) Предположим далее, что функция s>-+g(s) непрерывна справа и имеет пределы слева и что а°(х) принадлежит классу С3

*) а (0—) = 0.

302 ГЛ. V. ДИФФУЗИОНПЫЕ ПРОЦЕССЫ ИА МНОГООБРАЗИЯХ

на D. Тогда

	A (v )\t
2 *	J	g(s) dBk(s) =		(s) dBk(a) + j		g (s)	dcp(a),
vsD' A(u-)At			о		0	“	S"
					k =	1, 2,	t > 0 .	(6.49)
		А(и)Д<
Здесь 2 *		j"	определяется как предел no				вероятности конеч-
	“ s D	A(u-)f\t		A(u)At
ной	суммы		2	I	тогда и только тогда, когда этот
			•USD
		А ( и ) ~ А ( и —)> е		А(«-)Д<
предел существует.				Дадим сначала		доказательство в		частном
Д о к а з а т е л ь с т в о .

случае отраженного броуновского движения, а затем общин случай сведем к этому частному случаю.

(а)	Случай отраженного броуновского движения,					т. е. случай
Oft (х) =	6ft с г — d, b(х) = 0 ,		т (х) =	0 и [}(х) = 0.	ф(£))	определяется
В этом случае		система	3t(£) = (X(£), 5(f),
посредством уравнения
	Х г (t) =	X* (0) +	В{ (t),	i = 1,2, . .	d — 1,

X d(i) = X d (0) + 5 d(i) + <p(0.

Пусть пространства траекторий W (D), 7f(D), Жй{В),

соответ­

ствующие о-поля

^ (W (D)),

3S{W(D)),

3&(Ж0(О))

и a-копечпая

мера n на (W0{D), ЗВ(Ж0(/d)))

определены также, как и в гл. IV,

§ 7.

Положим Dp = {ne(0,

°о);

А (и) — А {и—) > 0} = D\{0)

и

для

tte D p

fX (t + {А(и—))—X (А (и—)),

0^Lt^LA(u) —A(u—): =о[р(и)],

Р ^

= |Х (А {и)) - Х { А ( и - ) ) ,

t >

А (и) - А (и - ) .

Мы знаем, что

р: Dp э и

р (и) е

Ж 0 {D)

является (^"t) 'CTa"

циопарным

пуассоповским

точечным

процессом,

на

(Ж„ (D),

33(7fa{D)))

с характеристической

мерой

п,

где

^ A(D- Пусть

пг, %^D, является мерой па Ж{Б),

полученной из

меры

п

при

отображении*) w<-+c,+ w. Введем следующие обозначения:

рд W ( D ) W (D)

определяется равенством

(ptw)(s) =

w(t f\s)

(6.51)

(iостановленная траектория),

0,: W(Z))

W(D)

определяется равенством (0,ш) (а)= w(t + а)

(6.52)

(сдвинутая траектория),

*) (6 + «*0(0 = £ + **»(*)-

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

303

f>0D: W(D)-*~W(D) определяется равенством (рэдш)(s) = in(sf\o(w)),

(6.53)

где

а(ш) = inf {t > 0; w(t)^dD}

(6.54)

( траектория, остановленная при достижении границы) .

Пусть через X обозначается траектория t *-*■X (t). Ясно, что X — случайный элемент со значениями в W (D).

П е р в а я ф о р м у л а э к с к у р с и и . Пусть Z ( s ) ~ (^^-предска­ зуемый неотрицательный процесс, a f(s, in, in')— неотрицательная борелевская функция па (0, °°)Х W (D )X W (D). Тогда

Е [ 2	Z (s)f(A (s—), PA(S-)-^, Рао[вА(8-)-^1)] =
(s < i,s S D p							J
	=	E \\Z {8) Г J		f(A(s)l9Ms)X ,w )n x^ ( d w )						ds] .	(6.55)
		lo	3T(D)
Доказательство следует непосредственно из того факта, что сум­
ма под знаком математического ожидапия в левой									части пи что
иное, как
j	f	z 00/ {A (s —). PA(S-)X•X И (s —))+ w) X p(dsdw)
о F V ® )
(см. § 3 гл. II).										(6.55)	полу­
Посредством случайной замены времени t >-►ф(t) в
чается				э к с к у р с и и .			Пусть	Z(s)— (^'t) -вполне
В т о р а я ф о р м у л а
измеримый неотрицательный процесс, a f(s, w, ц?')									такая же функ­
ция, как и выше. Тогда
£ { . « P(O L D		Z {А{S_ ) ) 1		{SН		’ рА (-)Х) Реп[<W -)X])| =
		=	£ H Z ( s ) f		f	n s , PsX,w )nx^(dw)\d<?(s)}.					(6.56)
			lo	L ^ D)					J	J
Пусть т(£) определяется равепством							(6.24). Положим в (6.56)*)
		/ (s,	w,w') — S(t			s, s, in, in') I(0(№')>i_S);
тогда имеет место						у х о д а .	Пусть	Z(s) — (3~t) -вполне
Ф о р м у л а п о с л е д н е г о
измеримый неотрицательный					процесс и g(s, s ',			ш,	in ')— неотрица­
тельная борелевская функция						на (0,	°°)Х (0, ° o ) X W (D)XW (D ).

*) Эта идея принадлежит Мэзоннёву [128].

304 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Тогда

Е {Z (т (t ) ) g ( t — т (t), т (t), pX(t)X, ран [0T(i)^])^<T(O>o}} =

= £

l z

(s) f

(

g{t — s, s,psX, w ) / {a(u,)> , _ s)« X(s)(d u ;)ld (p (s )L

(6 .5 7 )

'•

(ЗГ(О)

J

J

Для

каждых

i = l, 2, ...,

г и t,>0,

w^t + to)—w*(tn

явля­

ется

непрерывным

$f+t0(^(Z?))- мартингалом

относительно*)

nl ('\o(w)>tt). Следовательно, для любого

фР(Щ)-вполне

изме­

римого процесса Ф(в, w)

такого, что

Г®<»Ш

1

I

|Ф (s, w) р ds

n\dw) <

оо для каждого

t >» 0

зг(°) L

•

можем определить стохастический интеграл

<Да(ю)

j

Ф (s, w) dwi (s).

Легко видеть, что

t/\a(w

t Aa(to)

lim

|

Ф (s,w)dwl(s)~

j

Ф (s, w) dw' (s)

*0*0

t0J\0(w

0

существует в 2 >Z(W(D)1nl),

I ЛАо(»)

_

A

Г (До(и>)

-J

J

]

® ( s ,

w)dw{ (s)

n} (dw) —

)

| Ф (s, w)* ds I

(dw)

3T(D))L\

0

J

jr‘(D) L o

J

(6.58)

и для любой

3$i

(Ж

(D))- измеримой случайной величины Il(w) в

^ 2(Г(£>), пЕ)

I

I |ф (s>w) dw1(s)l II (w)

(dw) =

j

I |ф(я, w)dwl(s) |Я(и>)и5(сйо),

JfWLo

J

3T(D)LO

J

t >

t0.

(6.59)

Докажем (6.48). Без ограничения общности можем

предполо­

жить,

что

Х(и)

задается в

каноническом виде,

т.

е.

Х(и, w) =

= w(u), we=\V(D). Пусть

g(s)=g(s,

w)

является

(J?((W (D )))-

вполпе измеримым процессом таким, что функция

&►-*■ E (g ($)2) ог­

раничена

па

каждом

копечном интервале. Для

заданпых

s > 0,

*) £ е 0D фиксировано. o(w) определяется равенством (6.54).

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

305

W«в W (D) E i c ' e f (.D), положим

g(s + и, [гг, w']s), ф*(ц, гг, u;') = |0j

где [гг, «7'], определяется равенством

Г	M /N
[w,w]s(u) = \
L >	I (W (и — s),

если w(s) =	w' (0),
в противном	случае, (6.60)

0 < м < г ? ,

. (6.61) u > s .

Пусть t >

0 задано и фиксировано. Положим

(i-s )A a (w ')

А ($>

w') = !

j

Ф*, (и, w, w') dw'г (и)

,

О

(6.62)

о,

о

I

t<Zs

в том же смысле, что и выше. В силу

(6.58),

( /[ (s, гг, w') nw{s) (dw') =

ar(D)

■(a(u!')+s)A<

nw(s)(dw'),

если xv(s) = w' (0),:

a

-

1

g (и,

К

ir']s)2 du

3 T (D )

®д«

0,

в противном

случае.

Из определения яспо, что

f[(A (s —), PA(S-),

X,POD [9A(S-)x D =

/

A(s)\t

Y

/ A(s)Ai

Y

=

J

g (u )d X > )

=

j

g (u) dB{(u)) .

(6.63)

' A(s—)Д<

/

\ A (s -)A «

/

Согласно формуле экскурсии и (6.62),

(

А«)

л(ОДАг

J

g(u)dBl(«)

=

А(«-)дг

faДг

\

I

i

Г (а(и>')+*)Д ‘

rett(s)(dir')

= е \ f

g(u)4u\+ Е

j’dcp(s) J

j

g(u,[w,w']s 4u

l о

J

lo

y(D)L «Д*

-

fa A t

^

/

'

A (s)\t

1

+ g (u)2Я du

ЯI v

|(

«en .

д/-_ \

I

se D p ,* < (f(0 A (s - )

,0

20 С. Ватанабэ, H. Ппэла

306	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НЛ МНОГООБРАЗИЯХ

Теперь докажем (II). В случае (а), формула (6.49) принимает вид

	ЩЫ		_	t
2 *	j	g (и) dBl(п) =		J g (и) dBl(и),	i = 1, 2, . . . , d — 1,	(6.64)
SSD A(s-)At				0
И		A(s)Af		j	*
	2 *	j	g(u)dBd(u) = j g(u)dBd(u) + Jg(M)dcF(a).			(6.65)
	5=0 А(8-)Л(			о	о

Докажем (6.65). Будем называть g(s)

ступенчатым процессом, если

существует

последовательность

(j?f (W (D))) -моментов

остановки

00 =

0 <

О! < а2 <

•. •<

On . . .

°°

и

(W (£>))}- измеримая слу­

чайная

величина

gi

такая,

что

g(s) = gu

если s <= [ощ1+1)

для

1 =

0, 1, .. .

6.6. Пусть

g(s) — ступенчатый

процесс.

Тогда

(6.65)

Л е м м а

имеет место.

Если,

например, g(s)*»l, то (6.65) спра­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ведливо тривиальным образом. Действительно,

A(s)A*

A(sjA*

f

dBd (и) =

J

dXd( t ) ^ X d(A {s)/ \ t)-X d(A(s-)/\t) =

A(s-)A«

A(S-) A*

s e

Dp,

A (s) ^ t или

A (s — )

0,

,

X d(i),

S G D p,

A (s — )sg^£ < A ( s )

xd(aAi)-xd(0),

s =

0,

и поэтому левая часть равенства

(6.65)

совпадает с Xd(t) — Xd(0)=*

= Bd(t)+ ср({). Аналогичное рассуждение применимо

и

в

случае

общего ступенчатого процесса g{s).

Л е м м а

6.7. Пусть g {s )~ ^ ((W (D))-согласованный процесс та­

кой, что функция s *—*■g (s) непрерывна справа и имеет пределы сле­ ва. Тогда для всякого е > 0, существует ступенчатый процесс ge(s) такой, что

|gE(s) — g (s) К	e для всякого s.	(6.66)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть	{а„} определяется следующим обра­
зом: do = 0 и

On = inf{ * > оп- й \ g { t ) — g (О п -1)|>е)Д тг .

ОО

Тогда а„ t оо и ;gE(s) = 2 8 (®n) 1\оп,оп+л («) имеет требуемые свойства.

Л е м м а	П—0	1	J
	6.8. Для %^-dD и t >		0 положим
р}'1(В) =	nl (B \ a > t)=	[В; а > 3 - для В е=Я {Ж {0)). (6.67)
		(0 >	f)

§ 6. СЛУЧАЙ с ГРАНИЧИВШИ УСЛОВИЯМИ

307

Тоеда р5-*— марковская	мера	на Ж(В), сосредоточенная на
(w е W (D ) ; w(0 )= | , o (w )> t }		такая, что
{ш; w (tj) «= Еу, w (t2 s	E2, ... ,w (t„) <= En} =

= | dxx Jdx2 ... J					(tu Ху) П P {ti, хй ii-м, xi+1)			(6.68)
E !	E 2		E „			i= i
Зля 0 < tt <	t2 < ... <		t„ < t и Ei& 38(D). В				вышеприведенном		со­
отношении
Kl (s,x) =		K~'r (s, x — |)h(t — s, x)				s > 0,	x<=D,
			K(t)					о
p(s, x; u, y) =		h (t - и,	у)	Q		0 <	s < и < t, x, у e
		h (l — s , x ) E		(u — s, X, y),				D,
		j> (s,			ca
h (s, x) =					^7= ]	elp{ - i} j 4
и		D			0
		Д (0	=	f « + (tI *)da: -			Л
				D
где K+(t, x)	и p°(t, x, у)			определяются так же, как и в гл. IV,					§ 7.
Доказательство леммы легко следует из свойств меры п.
С л е д с т в и е . Процесс				*
	bd(s) = wd(s)— j				A(t, и, w(u))du		(0< l s < t )
				0

является одномерным броуновским движением относительно веро­ ятностной меры рЛ‘ на W(D), где

/ 0

y—dh ( t - u , x)

А (t, и, х) =

h(t — и, х)

—(х"'У’

ехР12(Г=Д)

(6.69)

				j exp{-2TT=T)}dt)
Л е м м а		6.9.	Пусть	g (s )~ ограниченный	Ш,(\\(0)))-вполне
измеримый процесс. Тогда для фиксированных					s, w ^ W (D ) и лю­
бых е 3*	е' >	0
р/
f j	Ф ? (“ »		» ') diy'd («) Ло(»')>в)П"(*) (dir') <		( | / * - | + 1) 1glU
					(6.70)
ede ! g |* — sup |g(n, w) (,				а Фв определяется равенством (6.60).

20*

308	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию к лемме 6.8,

j

]

(и, w, w') dwd (и)

Ло(«c')>e>^,0(S) (dw') ^

JT(D)

о

( 8f

<

I

| j Ф*g ( u , w , w ' ) d b d (u)

^ ’e (dw’) n ' « s)(e(w ’) >

z) +

ar’(D) I о

' 8'

J

j j

|Ф ,* ( и 1и > ,и ;')4 (в ,и ,

H

) | d J

^

(S)’6(du;' ) и№(8)

IF’(D) lo

J

< | S | , e ' . / = y ^

+

l s U < (

/

I

+ 1 ) , sU>

где мы воспользовались следующими фактами:

«

Ч

°

И

> x)dx*=е ) =У

[

я

+

(е,

\А (е, и, w(u))du

И*’8 {dw) п1(о (w) >

е ) <

yp(D) L о

j

j А (e, и, w(u))du

(xs,E(dw) n£ (a (w) > e )

=

W(O) Lo

J

=

(

Wd (e) nl (dw) = J *dK+ ( e , x - t ) d x

= 1.

)T(D)

Пусть

теперь

g(s)— {$, (W (D) )} — вполне

измеримый

процесс

такой, что функция

s<-+ b(g (sf)

ограничена

на

каждом

ограни­

ченном интервале. Введем следующие обозначения:

s e(t)=

2

A(s)\t

(6.71)

A(e)-A(e-)>e

t

г

Го(ш')Л((-«)

s

-I

Y e(t) = ]d<f(s)

j

j

Ф

> ,

w, w') dwd(u) h a w ^S n ^’^dw') ,

0

Lr(D)i

0

)

J

(6.72)

Me(t) =

St( t ) - Y . ( t ) .

(6.73)

Л е м м а 6.10. При e I 0 M e(t)~^ \g(s)dB^(s) в 2%(P).

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

309

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим (f-*)Ao(ti>')

/2 (s, w, w')

=

j

Фg{u, w , w

(s) + w ') d w 'd{u)

для

OsS^ss^f,

0

» s W ( D )

и

(6.74)

w’ e = T 0 (D).

Тогда, очевидно,

сЛ t

M, (f) =

j

g (U dBd(и) 7(0>e) +

0

<P(0

f

f 4 A (s~ ), PA(S—)^* w ) ^{<т(®')>8) Яр ([dsdw )

+

i

о

жуо)

(uo доводу

стохастических

интегралов

см. гл. II,

§

3). Следова­

тельно,

для

каждого

фиксированного t

M,(t)-+- M(t)

в 2%(Р) при

е -*■ 0, где

a/\t

<р(0

__

м (t) =

J

g (и) dBd (и) +

j

)

ft (A (s - ) ,

p ^ X

,

w') Nv {dsdw')

0

0

JjP0(D)

И

"oAi

j

E(M{t)2 = E

f

g(ii)2du

+ £ jdq>(s)

(/!

(s, psX, w')\2n{dw')j =

L 0

Lo

r

0(D)

=

E \g(uf du\.

.0

J

Предположим, что процесс g(s) ограничен и докажем, что M{t) является {9St(W (D) ) }-мартингалом. Достаточно показать, что для любых ограниченных измеримых по Борелю функций Fl{w), F2(w) на W (D) и 0 < ti < £2

где	E(M{t2)H) = E{M{tl)H)1				(6.75)
НИ	= F, (Рл^)-)®) F*(Р*1-А(Ф((1)-) [вА(Ф((1)-)Ю]).
Для доказательства (6.75)		установим следующую оценку:
	E{Mi{tt)H) = E{Mt(tl)H )+ o {l)			(е 1 0).	(6.76)
Во-первых, ясно, что
/°Л<2	\	/вЛ*1		\
Е [ j g {и) dBd (и) / {а>е}Я j		= Е Ц	g{u)dBd {и) 1{0>В}Нj +		о (1).

3 10 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

В силу мартингального свойства стохастического интеграла относиТЛТП.ИП /V^ *

твльно Nr,

rf(f2)

L e	5Го<">				w' ) I<ouo')>t)Np{dsdw')H
					/i*(4	(» - w) .) ho{u>r)>t) Np(dsdu/) fl"j.
	*('i)
	L оI	r„(D) I
Имеем
<Р(«!)	1
S						)>e}Np(dsdw') =
о JT0(D)
	=Оа,««Г((]),О(0д(,_)Л)>е^ 2 ( Л ( 5 '					)	’ Р д ( * - ) х		- P a D	f 0 A ( S - ) X	] ) -
		h
	~	0 d(p (S) y$ iD/ ‘ (Sl P*X ’ “О								(dw'): =	/ ' _
где	рсш[0л(.-)Х] =		рав[еЛ(		х ] - Х и (9 -- д \				г,	в < Ъ — Ъ и
	то					v	) ) •		Е сли
I"	/>2 (s>Р-Д> w ) 1{а(и>')>е)П (dw') =
3ri(D)	" (J2—*)AtrCic')
	j p \ D )	3	Ф# (^i рД, w )dw'^‘( и )					Ti<HV)>einXW (dw') =
		-			e
			(	j Фg(M>рД , w')dw'c (u)
			ЖФ)								(cfo/)
и поэтому
_	j йф <s)	f ;	(s, pA ,		KJ') / И(„ , >вд* („ ^				+

Pi-*)
- I	Ф П «-р8Х 1!о-
0	) dw d(U)j

Если обозначим второй член через лс

0 ve), то, согласно лемме 6.9,