книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Рис. 5.

§8. ПОПЕРЕЧНАЯ НАГРУЗКА

201

y=b. Легко показать, что величины ц>тп, определяющие форму изог­ нутой пластинки,— нормальные координаты системы, т. е. что вы­ ражение для потенциальной энергии заключает лишь квадраты этих величин. В самом деле, потенциальная энергия изогнутой пла­ стинки, приходящаяся на единицу площади, будет

1 E h3	1 '
3 1—а2	т + к У ~ 2 { ' - а) RlRt.

Здесь через h обозначена половина толщины пластинки, а пуассоново отношение; Ri и —

главные радиусы кривизны. При малых прогибах можно положить

1 + —		d2w	,	d2w
		dx3		dy2 ’
+	-------R2
1	d2w	d2w	/	d2w \ a
RIR2	dx2	dy2	\dxdy/

Если это вставить в написанное выше выражение для потенциаль­ ной энергии, принять во внима­ ние значение w согласно фор­ муле (38) и выполнить интегрирование в пределах х=0, х—а и

у= 0, у=Ь, то получим для энергии изгиба пластинки выражение

m= 1 n=l	4	(39)
		'

Здесь через с	обозначена величина i tEfl 2—цилиндрическая
жесткость пластинки.
На основании	общего уравнения

	d.V	Фтп
	d<fmn

получаем для какой-либо координаты tpmn такое выражение через соответствующую ей обобщенную силу Фтп:

	4ФЯ
Фтп	(т2л2	Ь2
abc	\ а Г

Вставляя его в общее выражение для прогиба (38), получим

*			птх		пли
	т=« #1=« Фт„ .s in ------ Sin				о
W ~ abc			а			(40)
	£	X	(т2п2	п2л2у
	т = 1	п —I	\ а2 +	Ь2	)

202	ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Для получения прогибов в отдельных частных случаях нужно

только в общее выражение (40) вместоФтп вставлять значения, соот­ ветствующие заданной нагрузке. Возьмем для примера случай сос­ редоточенной силы Р, приложенной в точке х —с, y=d. Обобщенная

сила Фтп определится из уравнения

-=r t	ПК	• тлс	• ял4
Фтп 8фтл = ■Рбфят Sin “ Г			Sln ~ •

Вставляя это значение в общее выражение (40), получим

	тле	. nnd	тлх	. пли
	-----	sin —=— s in ------		sin - г 2-
Z	a	b	а	Ь	(41)
		fm?n2 .	л2 я 3 \ 2
m= 1 n =s 1		\~а* ‘	)

В частном случае, когда сила приложена в центре пластинки с=а/2, d—b/2, наибольший прогиб получается в точке приложения:

тах л*аЬс	У .	У	.	(2л И ) 2]		2
			Г (2 т + 1 )2
			а2	Ьг
				4РЬ3	х*		1
				7ЙЗГ		4 - [(12 (2ш+	1)2+ (2л+1)*1> •
					m=U n=U

Здесь для краткости через р обозначено отношение Ь/а. Если принять во внимание формулу

т-о о
^У	[ ( 2 т +
т—и

1 ) 2 +

1	[»
	1г82

]21

Г \l aN

nz

2

c2 h 2 f -

то наибольший прогиб может быть представлен в такой форме:

Предположим теперь, что нагрузка равномерно распределена по срединной линии пластинки у=Ь/2, и обозначим через q нагрузку, приходящуюся на единицу длины этой линии. Для получения про­ гибов в этом случае вставим в общее выражение (41) вместо Р ве­ личину qdc и проинтегрируем в пределах от 0 до а, тогда прогиб на

§8. ПОПЕРЕЧНАЯ НАГРУЗКА

203

линии распределения нагрузки будет

	т =	со nл s=eооo			тлх
8q				s i n ---------
	п					а
л ьЬс	2	2		( 2 т + 1 ) а , (2 д + 1 )а1 г
		0 п=0 (2т + 1) £			а‘		6*
					т = ео л = ее		тлх
		=	* е		2	Е	Sin ■
							( 2 т + 1 ) [ Ц а ( 2 т + 1 ) а+ (2л+1)*]а
			я 6с		т=о	п=о

В случае бесконечно длинной пластинки p= 0 и предыдущая фор­

мула перепишется		так:
8дб* л* f		.	лх .	1	Зях ,	1	. 5лх
—						с Sin---			+
	( s ln - ^ + - s ln - ^ - + T ^ “							а	- )
я*с	96 \		а 1	3	а	5
Для получения		наибольшего прогиба					положим х=а/2, тогда
		8qb3 я 4 ,
W,тах		я вс	Л _ ± + 1 _			• • • J —			48с ‘
			96 V		3 + 5

Прогиб такой же, как для балки, опертой по концам, имеющей жест­ кость с, пролет b и нагруженной посередине силой q.

Чтобы получить прогиб пластинки при действии нагрузки,

распределенной по поверхности, нужно в выражение (41) вместо Ртп вставить величину qdcdd (q — интенсивность нагрузки в рассматри­ ваемой точке; в общем случае это заданная функция от с и d) наг­ рузки, приходящейся на элемент площади, и проинтегрировать полу­ ченное выражение по с в пределах от 0 до а и по d в пределах от 0 до Ь. В частном случае, когда q постоянно, нагрузка равномерно рас­ пределена по поверхности пластинки. Для прогиба получим

	m = се п=со	. (2т + 1)ях	, (2п-\-\)лу
w =	\6q	a	b	(42)
		(2w+l)a (2л 1 а1 » •
	2? 02^ o ( 2ffl+ 1H2rt+ 1)		+ l)a~P
			b2 J
Рассмотрим прогиб пластинки по линии x=aj2. Вставляя это
значение х в выражение (42), получим
	1	1	1
	(1 + ца)а	3 ( 1 + 3 а|1а)а 1 5 ( 1 + 5 аца)а . . . ] +

w=

1

s n w + 8( 1 + i

>• (43)

2 0 4

ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

В случае бесконечно длинной пластинки ц= 0. Если принять во внимание, что

1 - 1 + 1 - 1 +	л
3 ' 5 7 ^	Т ’

то прогиб по линии х ~ а /2 представится так:

4об1	1 1 .		пи	. 1	S1I1	Зли	,	sin	5лу
W — —T"	< тт	sin —Ц-+				—	+
я ‘с	|1 5		Ь	1 З6		b	1	56

что совершенно совпадает с полученным нами выше (см. § 2) выра­ жением для изогнутой оси равномерно нагруженного стержня.

Для получения наибольшего прогиба нужно в выражении (43) положить у —Ь/2. Сумма S получающегося при этом двойного ряда может быть для каждого р вычислена с любой степенью точности. Ряд значений S и соответствующие значения wmax приведены в таб­ лице С ‘).

			Т а б л и ц а С
и		S	wmaxc^ b*
0	й п " “-783		А = ° ,0 1 3 ° 2
1
		0,733	0,01219
Т
1		0,608	0,01010
2
1		0,244	0,00406
§ 9. Совместное действие		поперечных нагрузок

и растягивающих контурных сил, расположенных в срединной плоскости

Перейдем теперь к случаям, когда изгибаемая поперечными на­ грузками пластинка сжимается или растягивается силами, при­ ложенными по контуру и действующими в срединной плоскости пластинки. Положим, что по сторонам пластинки х= 0 и х —а дей­ ствуют равномерно распределенные растягивающие усилия. Пусть Ti — равнодействующая этих усилий, приходящихся на единицу длины контура пластинки. Через Т л обозначим величину равнодей­ ствующей растягивающих усилий, приходящихся на единицу длины сторон у=0 и у=Ь. При изгибе пластинки точки ее контура несколь-

1) Числа взяты из статьи И. Г. Бубнова, упомянутой в сноске на стр. 190.

§9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 205

ко перемещаются в срединной плоскости пластинки и усилия 7\ и Та совершают некоторую работу. Работа эта в нашем случае легко может быть выражена в нормальных координатах. Рассмотрим сна­ чала работу усилий Тх. Так как сближение двух точек, лежащих по краям пластинки х=0, х=а и имеющих одну и ту же координату у, может быть выражено при малых прогибах формулой

	_1_	dx,
	2

то усилия Т1 при изгибе пластинки совершат работу

dx.

Вставляя сюда вместо w его общее выражение (38), получим для работы усилий 7\ такое значение:

1 > 2

: 1П= 1

Подобным же образом для работы усилий Г2 найдем выражение

П%—ао л = со

m = 1 п= |

При вычислении прогиба пластинки при наличии усилий Тг и Тя придется к потенциальной энергии изгиба (39) присоединить ве­ личину, равную, но противоположную по знаку, работе усилий Тх и Ts, тогда получим

у _abc

Е Е «Ч г£ +!£ ) ,+

+ т ^ £ т Е Е т > ~ + т 7'> £ т Е Е '*’А

Для какой-либо координаты <pmJf получим выражение

„ _	aiyC/ т 2„2	п2л2	Фд»я_____________ _
Фям —			я2 аЬ .	я2 ab
	-T [ —	+ - W - ) + T l l * T m + T * W T

Вставляя это в общее решение (38), получим для прогиба такое выражение:

гп —со л = со	Ф„	m nx .		nny
		s i n -------sin			b
W = I G E s Ё ( m*						(44)
		п2\»	7 > 2		Г8па ‘
m = 1 n = 1 \ a 2 •		b2)	' a V c '		b2n2c

206ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Вслучае действия сосредоточенной силы Р в точке х~с, y=d бу­ дем иметь прогиб

лт>	m=<B п=а>		■	п и к	■	n n d	. т п х	.	п п у
	-		sin -------sin			.	sin ------- sin --- c-Z-
w = n*abc4P	n	r i	/	а	I	b	Г хт 2а	Т ,п *	Ь
	£	S		д»а		«М	I Tin	й2я 2с
	m = 1	п = 1	\	аг		Ь'2 )	;2с "г

При действии равномерно распределенной нагрузки q получим

ДО=	m—со л = «
	Ё Ё [sin	^	. ^	s i n (2п+	1)ПУ]	:
.Г,«_ ,	Л! = 1 Л = J			, (2я+1)*1*	, Гх(2т + 1)2 , Га(2п+1)2П		" 1
	,'wo. , ,ЛГ(2/п+1)2
,^ ( 2 т + 1 ) ( 2 л + 1 ) ^		а2	■ + — Jr— | + - " Ж			- +	•

(45)

Рассмотрим и в этом случае прогиб по линии х=а/2. Вводя для сокращения письма обозначения Тф2/сп2= аг, 7У7’1= р, можем ин­ тересующие нас прогибы представить в таком виде:

sin	пу
	1
	1» Li [(i+p2)a+«a(i+iAaP)]
	1
	3 [(1 + 3 2р,2)2+ а 2 (1 + 32Рц2] + • • • ] +
	^У
	1

3,6	[-K'+W +SO+S)]
16<7<i4		(46)
ДО= —jr—	+
я ®с

5яу

+

3 [(1+g,*)>4 (.4 ;^)]+"']

+

В случае бесконечно длинной пластинки р= 0 . Выражение (46) может быть представлено в таком виде:

[	шпу	. 3пу	5яу
16qb*	sin -£	Sill - г 2-	Sin —г2-
	____Т6	о	о	■]
w- п*с	l+ a !	3*(32+ a 2)~ 5 * (5 2+ a 2) +

§ 9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 2 0 7

Полученный результат совершенно совпадает с выражением (16) для изогнутой оси стержня, изгибаемого равномерно распре­ деленной нагрузкой. Этого и нужно было ожидать, так как при большой длине можно положить, что пластинка в сечении лс=а/2 изгибается по цилиндрической поверхности. Элементарная полоска (шириной единица), выделенная по линии х=с/2, будет в таких же условиях, как стержень жесткости с и пролета Ь, нагруженный равномерной нагрузкой q. Для определения наибольшего прогиба можно пользоваться приближенной формулой

“ ’max — 384 ? с ! _[_а а •

(4 7 )

Для определения наибольшего прогиба в случае пластинки ко­ нечной длины придется пользоваться общим выражением (46), по­ лагая в нем у=Ы2 и вставляя соответствующие значения р и р. Заметим, что в тех случаях, когда р и р близки к единице, первый член двойного ряда с достаточной точностью представляет сумму ряда, и потому можно положить, что влияние продольных растя­ гивающих сил на прогиб таково, как и их влияние на величину первого члена двойного ряда. В таком случае для вычисления наи­ большего прогиба можно пользоваться приближенной формулой

w	— w	П +	р8 ) 8________	/ 4 3 )
“ах	К'0(1+ц2)а+ я*(1+Рц*)*			^
Здесь Wo— наибольший	прогиб	при	T *=T i=0.

При р= 0 формула эта совпадает с формулой (47). При а*=0 формула дает wmtx=w0.

Применяя формулу (48) к квадратной пластинке и полагая р= 1, получим

Если приближенную формулу (48) применить к пластинке, у которой р=1/2 и p=p*=V 4, то получим

1

Пользуясь этими приближенными формулами, можно составить уравнение, аналогичное уравнению (21), для определения наиболь­ шего значения растягивающих усилий 7\, Т2в том случае, если края пластинки могут свободно поворачиваться, но не могут сближаться при изгибе. Усилия Тг и Т 2 распределяются по краям пластинки в этом случае, конечно, неравномерно. Наибольшие значения этих усилий будут соответствовать концам линий х=а/2 и у —Ь/2,

2 0 8

ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

причем с достаточной точностью можно полагать для этих точек:

Р= T-JTг=Ьг/аг=р*.

Кприближенной формуле (48) можно прийти иным путем, рас­ сматривая пластинку как систему с одной степенью свободы. Для

прогиба возьмем выражение

. пх . пу	, . пч
ffi>= <psm — sin	(49)

удовлетворяющее условиям на контуре. Потенциальная энергия в

	таком случае представится формулой
	V =	Я 2 .	Я 2 \ S
		"а2" '	"б2" J •

Выражая координату <р через соответствующую обобщенную силу, получим прогиб пластинки в такой форме:

рг .	ПХ	sin	пу
Ф sin —			Ь
w = abcn*	а
	+'	-b2
-

Вставляя значение обобщенной силы Ф для случая равномерно распределенной нагрузки q, получим

	..	.	пх .	пу
		sin — sin		- ~
W -	16qb*		а______Ь
	I«С	(1	+ | Х 2)2

Для определения наибольшего прогиба полагаем х=а/2, у=Ь/2:

16</64	1	,еЛЧ
wmax— пвс ( l +	ц у	( 5 ° )

Эта приближенная формула дает вполне удовлетворительные ре­ зультаты для прямоугольных контуров, близких к квадрату. Для квадрата погрешность, как показывает сравнение с числами табли­ цы С, не превосходит 2,5%. В случае Ь/а= 1/2 погрешность около 5%. С дальнейшим возрастанием длины пластинки погрешность воз­ растает, так как действительная поверхность изгиба пластинки все больше отклоняется от принятой при расчете формы изгиба. Мы вос­ пользуемся тем обстоятельством, что приближенная формула дает удовлетворительные результаты для контуров, близких к квадрату, и определим для таких контуров влияние растягивающих усилий Тх и Г* на прогиб.

При наличии усилий Тх и Тъвыражение для потенциальной энер­ гии напишется в такой форме:

V	аЬс	ф 2 ( п* _	l _ i i l V Т i _л2_ L	ф2 “Ь 2	я 2 аЬ
	1 Г		) "Г 2 ' 1 ^ 4		4 Ф

S 9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 209

Пользуясь этим, выражаем координату через соответствующую ей обобщенную силу, тогда на основании общего выражения (44) получим

Ф sin —		sin лу
-= .	лх .
W л 4аЬс	а	b
\ а2 ^ Ь2 )	^	агп гс ^ Ьгл*с

Если вместо Ф вставить его значение для случая равномерно рас­ пределенной нагрузки и принять во внимание ранее введенные обо­ значения ТгЬг/сп2= аг и Тi/T2= Р, то мы получим формулу (48).

Только что изложенным приемом можно воспользоваться для определения влияния растягивающих усилий Ti и Т 2в случае пла­ стинки с заделанными краями. В основание расчетов положим та­ кую форму изгиба:

“» = ф (1 —cos^ ) ( l —c o s -^ p ).

(51)

При этом будут удовлетворены условия на контуре: w=dw/dn=

= 0.

Потенциальная энергия изгиба на основании общей формулы

(§8) будет
V = 2abcn'y• (JL + -3. +		-2 * -).
Для координаты ф получаем выражение
Ф = -------		— У
АаЬсл4
		агЬг I
Вставляя это в выражение для прогиба (51), получим
ГО)— K ~cos^i )( ~cosjF)
_4 1	----- 7 4 1	/

Обобщенная сила Ф при действии равномерно распределенной нагрузки q определится из уравнения

а Ь

Ф бф = 6ф J J q ^ 1 —cos -f- ') ( 1 —c o s dxdy = qab бф.

о о

2 1 0	ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
На	основании этого получим для прогиба выражение
	T I.
	Наибольший прогиб получим, полагая х=а/2 и у=Ь/2:
	Ф*	1	(52)
	„4С (З + Зц1 + 2ц*) •
	Для квадратной пластинки эта приближенная формула дает
прогиб
	—о 12е!	^
	W,max — U, I/O	я4с .

Для прямоугольника с отношением сторон Ь/а=ц=0,5

W„	qb4
	= 0,271 Ц -.
	’ я 4С

Значения этих же прогибов на основании решения Б. М. Кояловича ‘) будет *)

nfji

для р = 1 датах = 0 ,1 2 3 -^ ,

для р = 0,5 штах = 0,248 ^ .

Таким образом, принятая нами форма изгиба (51) дает довольно точные значения для прогиба пластинки в случае контуров, близ­ ких к квадратным. Этим обстоятельством воспользуемся для оценки влияния растягивающих усилий 7 \ и Т 2. Для этого нужно вычислить работу усилий Т\, Т2 для взятой нами формы изгиба. Вставляя в общее выражение для работы усилий 7\

- т М о М о ( - £ ) ’**

значение w и выполняя интегрирование, получим

да2! ТгФ*.

Ч К о я л о в и ч Б. М. Об одном уравнении с частными производными чет­ вертого порядка. С.-Петербург, тип. Императорской Академии наук, 1902, 125 стр.

*) Числа взяты из цитированной в сноске на стр. 190 статьи И. Г. Бубнова.