книги / Прочность и колебания элементов конструкций

§3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

321

гают наибольшего отрицательного значения на контуре пластинки. При больших прогибах эти именно усилия вызывают коробление у

16 м Г

ЬЬ>

"

максимальные

напряжения, поливенные '

k i t

а'Т н г

элементарным

пцтем

| _и

| -

__

14

с г

_

моксимальньи *

1Z

\

A k t

напряжения,

4 ч 60г

k h*

соопПетстбин.шие&

■46,3 ь

максимальные напряжена

10

17^

.7 ; з „

k b *

соотбетстЗунзщие G2

У

1 U

U

/о3 ,

8

L .

£

Т

г

г; 10«

( I - е

1Г

6

Т 1 \

4

апряж ения,

^

7

2

отб е memo ующиВ Т ,

19 “Н___ ................ J___ 1........L

-г

О

8

12

16

2 0

2 4

2 8 '

ЖГЗб 40

44

48_Г

-2

h

Рис. 3.

краев пластинки. Что касается моментов Gt и G2, то они возрастают с удалением от центра пластинки.

На том же рисунке представлено прямой, параллельной оси аб­ сцисс, изменение максимальных напряжений изгиба, полученное на основании элементарной формулы изгиба. Двумя кривыми представ­ лены изменения максимальных напряжений, соответствующих мо­ ментам Gi и й2, взятым из таблицы В.

К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

Издание Института инженеров путей сообщения, Петроград, тип. А. Э. Коллинса, 1915, 42 стр.

При решении вопроса о напряжениях, возникающих в рельсах под действием катящихся колес, будем исходить из обычного пред­ положения, что поперечины в местах прикрепления рельсов упруго оседают от приходящихся на них нагрузок и что эти осадки пропор­ циональны давлениям. В таком случае расчет рельса сводится к исследованию изгиба многопролетной балки, расположенной на упругих опорах. В настоящей статье мы показываем, что без ущер­ ба для надежности получаемых результатов можно исследование изгиба многопролетной балки заменить рассмотрением изгиба стержня, непрерывно опирающегося на упругое основание. Такая замена в значительной степени упрощает статические расчеты рельс в особенности в тех случаях, когда желательно оценить влияние на изгиб рельса не одиночного груза, а целой системы грузов.

Еще большие упрощения указанная замена нам дает в том слу­ чае, когда мы переходим к оценке динамических напряжений. Рассматривая рельс как стержень, лежащий на упругом основании, мы приводим вопрос о влиянии противовесов, давления пара и раз­ личных неправильностей в колесе и рельсе на возникающие в рель­ сах напряжения к исследованию колебаний системы с одной сте­ пенью свободы. Такая задача, конечно, может быть разрешена самыми элементарными приемами.

Чтобы оценить влияние массы стержня на динамические проги­ бы, мы исследуем вопрос о собственных колебаниях стержня, лежащего на упругом основании, и показываем, что период этих колебаний в целом ряде случаев мал по сравнению с периодом вы­ нуждающих колебания сил, и в таком случае собственные колеба­ ния рельса не имеют практического значения.

В заключение мы намечаем несколько опытов, которые, как нам кажется, могли бы способствовать выяснению действительных на­ пряжений, возникающих в рельсах под влиянием давлений колес.

§ 1. Расчет рельса как балки на упругих опорах

Допустив, что шпалы под рельсами оседают упруго и что осадки пропорциональны давлениям, мы сводим расчет рельса к расчету многопролетной балки на упругих опорах. Теория изгиба такой бал­ ки подробно разработана и потому каких-либо принципиальных

§ 1. РАСЧЕТ РЕЛЬСА КАК БАЛКИ НА УПРУГИХ ОПОРАХ

323

затруднений при определении напряжений, возникающих в рельсе под действием статической нагрузки, не встречается. Вопрос услож­ няется лишь большим количеством вычислений, которые необходи­ мо произвести в том случае, когда желательно учесть влияние на изгиб рельса целой системы грузов. Мы здесь ограничимся лишь приведением нескольких известных формул, которыми и восполь­ зуемся для оценки степени надежности результатов, получаемых при замене упругих опор соответствующим упругим основанием.

В дальнейшем условимся пользоваться такими обозначениями:

EJ — жесткость	при	изгибе рельса в вертикальной плоскости;
/ — расстояние	между	осями шпал, которое	в дальнейшем везде
принимается постоянным; D — значение тех			двух вертикальных

сил, которые должны быть приложены к шпале в местах прикрепле­ ния рельс для того, чтобы вызвать осадку шпалы, равную 1 см.

Кроме того, для краткости введем обозначение у = 6 EJ/l3D. Величина у представляет собой численный коэффициент, которым

вполне характеризуется относительная жесткость рельса и осно­ вания.

Если допустить, что D меняется в пределах от 8000 кг/см до 15 000 кг/см, I меняется в пределах от 66,6 см до 82,6 см и J — в пределах от 1480 см4 до 751 см*, то при Е —2-10* кг/см2найдем, что у меняется в пределах от 1,1 до 7,5. Эти пределы примерно соответ­ ствуют нашим русским условиям.

Расчет обыкновенно ведется в предположении действия на рельс одного сосредоточенного груза Р. В таком случае наибольшее зна­ чение изгибающего момента мы получим, располагая груз посре­ дине пролета между шпалами. Если допустить, что рельс прочно скреплен с опорами и предположить наличие четырех опор, то для величины наибольшего изгибающего момента получим формулу

М = Р 1	8 у + 7
4	4Т+ Ю •

При шести опорах соответствующая формула имеет вид

м _ Р1	9у3 + 45у+13
4	Зу2 + 44у+19 ’

Увеличивая число опор до 8, мы получим для наибольшего момента выражение

м _ \р 1 32у* + 524Y 2+ 568у + 97

8 4V*+194Y2+330Y +71 ‘

Как изменяется величина Л4шах в зависимости от у и от числа опор, видно из нижеследующей таблицы I.

Дальнейшее увеличение числа опор, очевидно, не окажет прак­ тически заметного влияния на величину наибольшего изгибающего

324 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

Т а б л и ц а I

Значения максимального изгибающего момента

M maxfPl в балке

V

1

2

3

5

7

п = 4	0,268	0,319	0,352	0,392	0,414
/1 = 6	0,254	0,292	0,322	0,369	0,405
п = 8	0,255	0,291	0,317	0,354	0,384

момента. Если при изгибе рельс свободно может приподниматься над опорами, то при взятых пределах для у и при расположении груза посредине пролета мы всегда будем иметь передачу давле­ ния на четыре опоры и, следовательно, для вычисления изгибающих моментов придется пользоваться первой строчкой вышеприведен­ ной таблицы.

При определении наибольшего давления на шпалу груз Р рас­ полагают непосредственно над средней шпалой. В таком случае при распределении давления на 3, 5 или 7 опор и при условии прочного скрепления рельса с опорами, получим для средней опорной реак­ ции R формулы

	п = 3,	R	У + 2
			Зу+ 2 ’
	П= 5,	R	Уа+ 18у + 7
			5уа + 34у + 7 ’
	П = 7,	R	у®+72уа+ 131у + 26
			7у®+196уа+193у + 26 '

Изменение этой реакции в зависимости от у и п видно из ниже­ следующей таблицы II.

Т а б л и ц а II

Значения опорной реакции балки R/P

V	1	3	5	7
л = 3	0,600	0,455	0,412	0,391
п = 5	0,566	0,455	0,404	0,372
л = 7	0,545	0,427	0,385	0,360

Дальнейшее увеличение опор может оказать на величину сред­ ней опорной реакции лишь ничтожное влияние, которым практи­ чески можно пренебречь.

$ 1. РАСЧЕТ РЕЛЬСА КАК ВАЛКИ НА УПРУГИХ ОПОРАХ

325

Если рельс при изгибе может на опорах свободно приподнимать­ ся, то число опор, на которые передается давление при расположе­ нии груза над средней опорой, будет зависеть от величины у. При у ^ 3 давление передается лишь на три опоры. С увеличением у 1) давление передается на пять шпал, и мы для вычисления наиболь­ шей реакции должны пользоваться такими числами:

V

1

3

5

7

R/P 0,600 0,455 0,404 0,372

Приведем теперь несколько чисел, которые характеризуют из­ менение прогиба рельса в зависимости от расположения груза Р. При неограниченном числе опор наименьший прогиб, очевидно, бу­ дем иметь в том случае, когда груз располагается непосредственно над шпалой. Для получения приближенного значения этого прогиба нужно только значение средней опорной реакции, приведенное в последней строке таблицы II, разделить на величину D, характе­ ризующую жесткость опоры. Действительное значение искомого прогиба будет в случае бесконечно длинного рельса несколько мень­ ше, но этой разностью, как мы уже указывали, можно пренебречь. Таким образом, получаем

Y

1

3

5

7

{DIP 0,545 0,427 0,385 0,360

Для разыскания наибольшего прогиба рельса неограниченной длины воспользуемся числами для балки, расположенной на шести упругих опорах. Располагая груз Р посредине пролета балки, мы при помощи известных формул для опорных реакций находим для прогиба под грузом такие значения:

Y

1

3

5

7

fiD/P 0,574 0,446 0,400 0,371

При увеличении числа опор прогиб /х несколько уменьшится, но это изменение должно быть весьма малым, и потому мы, на осно­ вании приведенных значений для / и /1( можем заключить, что при весьма медленном передвижении колеса, оказывающего давление на рельс, траектория точки касания колеса с рельсом будет весьма мало отклоняться от прямой линии.

Если рельс при изгибе может свободно приподниматься над опо­ рами, то, при наших пределах для у и при расположении груза над шпалой, давление передастся на 3 или на 5 шпал.)*

*) Предполагается, что мы остаемся в пределах

326	К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

При расположении груза посредине пролета работают четыре опоры. Для прогибов / и fx мы получаем такие значения:

у	1	3	5	7
fD/P	0,600 0,455		0,404	0,372
/iD /P	0,620 0,465		0,404	0,371

Следовательно, и в этом случае траектория точки касания дви­ жущегося колеса будет весьма мало отличаться от прямой линии. Эго обстоятельство даст нам возможность в дальнейшем, при иссле­ довании динамических напряжений, значительно упростить решение задачи.

§ 2. Изгиб стержня, лежащего на сплошном упругом основании

Мы видели, что давление Р колеса на рельс распределяется на целый ряд опор. Чем больше жесткость рельса и чем податливее опоры, тем на большее число опор передается давление. Если сосре­ доточенные опорные реакции заменить сплошными реак­

втивными усилиями, то мы пе-

\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧчЧЧ		рейдем от балки,				лежащей на
		упругих опорах, к балке,						ле­
		жащей		на сплошном			упру­
		гом основании.				Такая	заме­
		на	повлечет		за	собой		тем
Рис.	1.	меньшие погрешности в вели­
		чине изгибающих моментов и
большее число шпал	распределяется	опорных		давлений, чем				на
		давление от			груза Р. Чтобы
оценить эти погрешности, напомним здесь некоторые формулы,								от­
носящиеся к задаче об изгибе стержня			на сплошном			упругом ос­
новании.

Пусть стержень неограниченной длины, лежащий на сплошном упругом основании, изгибается сосредоточенной силой Р (рис. 1). Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня напишется

так:
E J ^ = - k y .	(1)

Здесь через k обозначена величина, характеризующая жесткость упругого основания, ky — усилие, приходящееся на единицу длины стержня в том месте, где прогиб равен у. Если ввести для

$ 2. ИЗГИБ СТЕРЖНЯ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ	3 2 7
сокращения письма обозначения
а = \ f 4EJ ’ <*>= аде,	(2)

то интеграл уравнения (1) в рассматриваемом случае представится так:

(cos9 + slnV) - g 4

(3)

Наибольший прогиб получится, очевидно, под грузом; он будет

равен
/ - 2 Г -	W

С возрастанием х, т. е. с удалением от места приложения силы, прогиб, как видно из общего выражения (3), быстро убывает и обра­ щается в нуль при ф=Зя/4. Дальше прогиб становится от­ рицательным, потом, переходя через нуль при ф=7я/4, снова приобретает положительное зна­ чение и т. д.

Вид получающейся при этом волнообразной кривой, пред­ ставлен на рис. 2. Для получе­ ния подобного искривления нужно себе представить, что скрепления стержня с упругим основанием не допускают сво­ бодного вертикального переме­ щения стержня при изгибе.

Имея кривую изгиба беско­ нечно длинного стержня под дей­

ствием силы Р, приложенной в начале координат, легко найти прогиб точки, соответствующей началу координат, при действии любой системы сосредоточенных сил. На основании теоремы о взаимности перемещений заключаем, что кривая, представленная на рис. 2, есть линия влияния для прогиба стержня в начале координат. Следовательно, прогиб при действии системы сосредоточенных сил представится формулой

/=2Лл,. (5)

Для удобства пользования формулой (5) мы приводим в таблице III х) ряд значений функции rj..S*

des	г) Таблицу эту заимствуем из книги: Z i m m e r m a n n Н. Die Berechnung
	Eisenbahn Oberbaues. Berlin, Verlag von Ernst und Korn, 1888, 308 S. CM.
SS.	284—285.

	328		К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС
							Т а б л и ц а III
	<р	ч	ih	Ч.	<Р	ч	ч.	ч«
	0,0	1,0000	1,0000	— 1,0000	3.6	—0,03659	—0,01241	0,02450
	0,1	0,9907	0,8100	—0,9003	3.7	—0,03407	—0,00787	0,02097
	0,2	0,9651	0,6398	—0,8024	3.8	—0,03138	—0,00401	0,01770
	0,3	0,9267	0,4888	—0,7077	3.9	—0,02862	—0,00077	0,01469
	0,4	0,8784	0,3564	—0,6174	®/4л	—0,02786	0,00000	0,01393
	0,5	0,8231	0,2415	—0,5323	4.0	—0,02583	0,00189	0,01197
	0,6	0,7628	0,1431	—0,4530	4.1	—0,02309	0,00403	0,00953
	0.7	0,6997	0,0599	—0,03798	4.2	—0,02042	0,00572	0,00735
	1/4п	0,6448	0,0000	—0,3224	4.3	—0,01787	0,00699	0,00544
	0,8	0,6354	—0,0093	—0,3131	4.4	—0,01546	0,00791	0,00377
	0.9	0,5712	—0,0657	—0,2527	4.5	—0,01320	0,00852	0,00234
	1,0	0,5083	—0,1108	—0,1988
					4.6	—0,01112	0,00786	0,00113
	U	0,4476	—0,1457	—0,1510	4.7	—0,00921	0,00898	0,00011
	1,2	0,3899	—0,1716	—0,1091	в/4л	—0,00898	0,00898	0,00000
	1.3	0,3355	—0,1897	—0,0729	4.8	—0,00748	0,00892	—0,00072
	1.4	0,2849	—0,2011	—0,0419	4.9	—0,00593	0,00870	—0,00139
	1.5	0,2384	—0,2068	—0,0158	5.0	—0,00455	0,00837	—0,00191
	ЧгП	0,2079	—0,2079	0,0000	5.1	—0,00334	0,00795	—0,00230
	1.6	0,1959	—0,2077	0,0059	5.2	—0,00229	0,00746	—0,00259
	1.7	0,1576	—0,2047	0,0235	5.3	—0,00139	0,00692	—0,00277
	1.8	0,1234	—0,1985	0,0376	5.4	—0,00063	0,00636	—0,00287
	1.9	0,0932	—0,1899	0,0484	7/4л	0,00000	0,00579	—0,00290
	2,0	0,0667	—0,1794	0,0563	5.5	0,00001	0,00578	—0,00290
	2,1	0,0439	—0,1675	0,0618	5.6	0,00053	0,00520	—0,00287
	2,2	0,0244	—0,1548	0,0652	5.7	0,00095	0,00464	—0,00279
	2.3	0,0080	—1,1416	0,0668	5.8	0,00127	0,00409	—0,00268
	3/4п	0,0000	—0,1340	0,0670	5.9	0,00152	0,00356	—0,00254
	2.4	—0,0056	—0,1282	0,0669	6,0	0,00169	0,00307	—0,00238
	2.5	—0,0166	—0,1149	0,0658	6,1	0,00180	0,00261	—0,00221
	2.6	—0,0254	—0,1019	0,0636	6,2	0,00185	0,00219	—0,00202
	2.7	—0,0320	—0,0895	0,0608	8/4я	0,00187	0,00187	—0,00187
	2.8	—0,0369	—0,0777	0,0573	6.3	0,00187	0,00181	—0,00184
	2.9	—0,0403	—0,0666	0,0534	6.4	0,00184	0,00146	—0,00165
	3.0	—0,0423	—0,0563	0,0493	6.5	0,00179	0,00115	—0,00147
	3.0	—0,04226	—0,05632	0,04929	6.6	0,00172	0,00087	—0,00129
	3.1	—0,04314	—0,04688	0,04501	6.7	0,00162	0,00063	—0,00113
	я	—0,04321	—0,04321	0,04321	6.8	0,00152	0,00042	—0,00097
	3.2	—0,04307	—0,03831	0,04069	6.9	0,00141	0,00024	—0,00082
	3.3	—0,04224	—0,03060	0,03642	7,0	0,00129	0,00009	—0,00069
	3.4	—0,04079	—0,02374	0,03227	% л	0,00129	0,00000	—0,00060
	3.5	—0,03887	—0,01769	0,02828

§ 3 . П Р И Л О Ж Е Н И Я К Р А С Ч Е Т У Р Е Л Ь С	3 2 9
Составляя последовательные производные от выражения	(3)

по х, легко найдем общие выражения для изгибающего момента и пе­ ререзывающей силы в любом сечении стержня, изгибаемого сосредо­ точенной силой Р. Выражения эти имеют вид

М = — EJ - 0	= — -£■ (sin ф — cos ф) = ^ i\lt	(6)
Q = — E J ^	= — ^ е-ч>cos ф = — -у Л*-	(7 )

Путем сложения действия сил легко, конечно, составить выра­ жения для изгибающего момента и перерезывающей силы при дей­ ствии системы сосредоточенных сил. Нужные для соответствующих вычислений значения функций % и т)а приведены в таблице III.

Если стержень не скреплен с упругим основанием, то при дей­ ствии силы Р мы будем иметь реактивные усилия основания, отлич­ ные от нуля лишь на протяжении я/2а в обе стороны от места при­ ложения силы. Дальше прогиб становится отрицательным, и так как мы собственным весом стержня пренебрегаем, то работать на изгиб за пределами указанного выше участка он не будет.

Величины наибольшего прогиба и наибольшего изгибающего мо­ мента соответствуют месту приложения груза. Значения их для дан­ ного случая могут быть вычислены по формулам

М ш .,- 1 ,0 9 ^ ,

f= 1 ,0 9 ^ .

(8)

§ 3. Приложения к расчету рельс

Воспользуемся результатами предыдущего параграфа для расчета рельс. Мы видели, что все обстоятельства изгиба стержня, лежащего на сплошном упругом основании, определяются величинами к и а. Выразим эти величины в зависимости от жесткости рельса и шпа­ лы. Если через I назовем, как и прежде, расстояние между шпалами, то при переходе от упругих опор к упругому основанию за k при­ дется принять величину, определяемую такой формулой:

k = Y кг/см*.	(9)
Следовательно,
“ = K W - T K ^ -	о»)

Если считать рельс скрепленным с опорами, то на основании (6) получим для наибольшего изгибающего момента при действии одного сосредоточенного груза Р такое выражение:

(П)

330 К В О П РО С У О П Р О Ч Н О С Т И Р Е Л Ь С

Наибольшее давление на шпалу, очевидно, будет равняться

( 12)

Результаты, полученные для М и R при различных у, приведены в нижеследующей таблице IV. Там же приведены соответствующие

					Т а б л и ц а IV
	V		1	3	5	7
Упругое	I	М/Р1	0,226	0,300	0,337	0,367
основание	\	R/P	0,553	0,420	0,370	0,340
Упругие	1	М/Р1	0,255	0,317	0,354	0,384
опоры	\	R/P	0,545	0,427	0,385	0,360

значения этих величин в случае передачи давления на упругие опо­ ры. Значения эти взяты из последних строчек таблиц I и II.

Если рельс при изгибе может свободно приподниматься над опо­ рами, то для вычисления момента и давления на шпалу следует вос­ пользоваться формулами (8). Полученные на основании этих формул результаты и соответствующие им величины для рельса, лежащего на упругих опорах, приведены в таблице V.

					Т а б л и ц а V
	V		I	3	5	7
Упругое	/	М/Р1	0,246	0,327	0,368	0,400
основание	X	R/P	0,603	0,458	0,403	0,371
Упругие	1	М/Р1	0,268	0,352	0,392	0,414
опоры	\	R/P	0,600	0,455	0,404	0,372

Сравнивая приведенные в этих таблицах результаты, видим, что формулы, выведенные в предположении наличия сплошного упругого основания, дают для изгибающего момента и давления на шпалу вполне удовлетворительные значения.

Наибольшая разность в моментах получается в случае гибкого рельса, скрепленного с опорами. Погрешность здесь достигает 11%. Во всех других случаях погрешности значительно меньшие. Еще меньше погрешности в определении давления на шпалу R. В слу­ чае свободно приподнимающихся концов (табл. V) давления на шпа­ лу, вычисленные разными способами, почти совпадают по своей величине.