книги / Прочность и колебания элементов конструкций

§ 10. КРИТИЧЕСКАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ВАЛА

261

степенью свободы, мы, вообще говоря, увеличиваем жесткость систе­ мы и вместе с тем увеличиваем, конечно, и величину шкр.

При расчетах удобнее всего исходить из кривой статического прогиба вала. Рассматривая вал как балку с соответствующим закреплением концов и принимая во внимание действие весов Qt и собственного веса, мы можем без затруднения построить кривую изогнутой оси и, следовательно, найти значение т] для любого сече­ ния вала. После этого знаменатель в формуле (25) легко вычисляет­ ся. Для вычисления величины числителя примем во внимание, что потенциальная энергия изгиба равна работе изгибающих сил, сле­ довательно,

о

о

Первая часть полученного равенства легко вычисляется на ос­ новании построенной кривой изгиба.

Общая формула (25) дает возможность получать и дальнейшие приближения для величины сокр. В самом деле, исходя из определен­ ной формы изгиба, мы получаем для критической скорости величи­ ну, большую действительной. Для получения точного значения икр нужно из всех возможных форм изгиба выбрать ту, которой соответ­ ствует минимум выражения (25). Общее решение этого вопроса представляет задачу вариационного исчисления. Мы можем как угодно близко подойти к этому решению и подобрать кривую из­ гиба, сколь угодно близкую к действительной, или следующим пу­ тем: задаемся формой кривой изгиба и представляем прогиб TJ в виде ряда

Т 1 Ф (х )+ у 4 аф(х)+у430(х)+...

(26)

У нас <р(х), i|)(x), 0(х), ... представляют собой функции, удовлет­ воряющие на концах условиям закрепления. Вставляя выражение (26) в формулу (25) и выполняя интегрирование, мы получим выра­ жение для юкр в виде функции от неопределенных пока коэффициен­ тов Аи А 2, . . . Ограничиваясь несколькими членами ряда (26), можем значения коэффициентов А 1г А 2, . . . подобрать так, чтобы выражение (25) получило минимальное значение. Чем больше ко­ эффициентов мы возьмем в выражении (26), тем, конечно, с боль­ шей точностью можно будет найти (окр. В частном случае вала с опертыми концами выражение (26) выгодно выбрать таким образом:

Применение этого выражения к решению некоторых вопросов устойчивости показывает, что обыкновенно двух членов ряда доста­ точно для получения нужной степени точности.

262 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В ПАРОВЫХ ТУРБИНАХ

ЛИТЕРАТУРА ПРЕДМЕТА

I. Сочинения fi статьи, относящиеся к расчету вращающихся дисхов

S t о d о 1 a A. Die Dampfturbinen. Mit einem Anhang fiber die Aussichten der Warmekraftmaschinen und fiber die Gasturbine. 4 umgearbeitete und erweiterte Auflage, Berlin, J. Springer, 1910, 708 S. CM. SS. 312—340 (§§ 74—82).

S t о d о 1 a A. Die Nebenspannungen in		rasch umlaufenden Scheibenradem.
Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure,		1907, Bd	51, № 32, SS. 1269—1274.
G г fi b 1 e г M. Der Spannungszustand in Schleifsteinen und Schmirgelscheiben.
Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1897, Bd			41, № 30, SS. 860—864.
G г fi b 1 e г M. Versuche fiber die	Festigkeit von Schleifsteinen. Zeitschrift des
Vereines deutscher Ingenieure, 1899, Bd	43, № 42, SS. 1294—1300.
G г fi b 1 e г M. Versuche fiber die	Festigkeit rotierender Scheiben. Zeitschrift
des Vereines deutscher Ingenieure, 1906, Bd 50, № 8, SS. 294—298.
B a s c h A., L e о n A. Uber rotierende		Scheiben gleichen Fliehkraftwider-

standes. Sitzungsberichte der keiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien.

Mathematisch — naturwissenshaftliche Klasse. 1907, Abt. 2a, Bd 116,	HeftlO,
SS. 1353—1389.	York...,
M o r l e y A. Strength of materials. New impression, London —New

Longmans, Grean and Co., 1920, IX+555 p. CM. pp. 359—363. [Это издание пол­ ностью повторяет четвертое издание этой книги: М о г 1 е у A. Strength of mate­ rials. Fourth edition, London — New York — Bombay — Calcutta — Madras, Longmans, Grean and Co., 1916, Chapter XI, § 126, pp. 359—363 (вращающийся диск); § 127, pp. 364—372 (вращающийся цилиндр); § 128, pp. 372—375 (враща­ ющийся диск переменной толщины).]

Т и м о ш е н к о С. П. Сопротивление материалов. Киев, Л. Идзиковский, 1911, 518+V стр. [См. стр..425—430 (§§ 155-157).]

M c K e n z i e J . N. High-speed steam-turbine rotor design and construction. Engineering, 1910, vol. 90, July 8, pp. 64—70; July 15, pp. 101— 106.

Более точные исследования по вопросу о напряжениях в быстро вращающихся дисках имеются в работах:

P u r s e r F. On the application of Bessel’s functions to the elastic equilibrium of a homogeneous isotropic cylinder. Transactions of the Royal Irish Academy, 1902, vol. 32, Section A, Part III, pp. 31—60.

C h r e e C. On thin rotating isotropic disks. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1891, vol. 7, Part 4, May 4, pp. 201—215.

C h r e e C. Long rotating circular cylinders. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1892, vol. 7. Part 6, February 8, pp. 283—305.

L о v e A. E. H. Lehrbuch der Elastizitat. Autorisierte deutsche Ausgabeunter Mitwirkung des Verfassers besorgt von A. Timpe, Leipzig-Berlin, B. G. Teubner, 1907, 664 S. [CM . SS. 172—175 (§ 102).].I

II. Статьи, относящиеся к вопросу: «Различные теории прочности»

G u e s t J. J. On the strength of ductile materials under combined stress. Philo­ sophical Magazine and Journal of Science, 5th Serie, 1900, vol. 50, Ns' 302, July,

pp.69—132.

M о h г O. Welche Umstande bedingen die Elastizitatsgrenze und den Brush

eines Materiales? Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1900, Bd 44, № 45, SS. 1524—1530. [Перевод на русский язык: М о р О. Чем обусловлены предел упругости и временное сопротивление материала? «Новые идеи в технике», Сбор­ ник, № 1, Теории прочности, Изд-во «Образование», Петроград, 1915, стр. 1—50.] R o t h Р. Die Festigkeitstheorien und 'die von ihnen abhangigeir Formeln des Maschinenbaues. Zeitschrift ffir Mathematik und Physik, 1902, Bd 48, Heft 2,

SS.285—316. [Перевод на русский язык двух последних глав этой работы (SS. SS. 301—316): Р о т П. Теории прочности и построенные на них формулы маши-

ЛИТЕРАТУРА ПРЕДМЕТА

263

ностроения. «Новые идеи в технике*, Сборник, № 1, Теории прочности, Изд-во «Образование*, Петроград, 1915, стр. 103—121.]

К а г ш a n T h . Uber die Formanderung dfinnwandiger Rohre,			insbesondere
federnder Ausgleichrohre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure,			1911, Bd 55,
№ 45, SS. 1889—1895.	Шерепечатка: K a r m a n	Th. Collected works. Vol. 1,
London, Butterworths	scientific publications, 1956,	pp. 304—320.]

Ти м о ш е н к о С. П. Формулы сложного сопротивления с точки зрения различных теорий о прочности. Известия С.-Петербургского политехнического института. 1905, том 3, вып. 3—4, стр. 415—455.

Ти м о ш е н к о С. П. Сопротивление материалов. Киев, Л. Идзиковский, 1911, Отдел 1, Гл. IV, § 36 (Различные теории прочности), стр. 79—82.

III.Вопросы о местных напряжениях разбираются в работах:

Кi г s с h [G.]. Theorie der Federn. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieu. re, 1898, Bd 42,..№ 16, SS. 429—436.

L e o n A. Uber die Spannungsverteilung in der Umgebung einer halbkreisformigen Kerbe und einer viertelkreisformigen Hohlkehle. Wien, Lehmann und Wentzel, 1908, 12 SS. (Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der tech-

nischen Hochschule in Wien,	№ 1, 1908.)
L e o n A. Kerbgrosse und	Kerbwirkung. Mitteilungen aus dem mechanischen

Laboratorium der technischen Hochschule in Wien, № 10, 1910, Wien: Lehmann und Wentzel, 56 S.

Т и м о ш е н к о С. П. О влиянии круглых отверстий иа распределение на­ пряжений в пластинках. Известия Киевского политехнического института, 1907,

год 7, книга		3, стр.	95—113.		einer Obergangstelle	m it
F o p	р 1	A. Die	Beanspruchung auf Verdrehen an
scharfer Abrundung. Zeitschrift des				Vereines deutscher	Ingenieure, 1906, Bd	50,
№ 26, SS.	1032— 1035.			eines Rotationskorpers um seine Achse. Zeit­
W i 1	1 e r s F. A. Die Torsion
schrift fur Mathematik und Physik,				1907, Bd 55, Heft 3, SS. 225—263.

IV. Вопросы критической скорости для быстро вращающихся валов рассматри­ ваются в работах:

S t о d о 1 a A. Die Dampfturbinen. Mit einem Anhang fiber die Aussichten der Warmekraftmaschinen und fiber die Gasturbine. 4 umgearbeitete und erweiterte

Auflage, Berlin, J. Springer,				1910, 708 S. CM. SS. 358—372 (§§ 88—90).
D u n k e r l e y			S. On	the whirling and vibration	of shafts. Philosophical
Transactions	of	the	Royal	Society of London, Series	A, 1894, vol. 185, Part 1,
pp. 279—360.
C h r e e C. The whirling and transverse vibrations of rotating shafts. Philoso­
phical Magazine and Journal of Science, Series 6, 1904, vol. 7, № 41, May,						pp. 504—
542.	F.,	S o m m e r f e l d A. Uber die Theorie des Kreisels.				Leipzig,
K l e i n

B. G. Teubner, 1910, Heft 4; Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie, 966 S.

CM. SS. 761—966.

M о r 1 e у A. The calculation of vibration and whirling speeds. Engineering, 1909, vol. 88, July 30, pp. 135—137; August 13, pp. 205—207.

F 5 p p 1 A. Vorlesungen fiber technische Mechanik. Bd 4: Dynamik, 3 Auflage, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1909, VIII-t-422 S. CM. § 43 (SS. 283—302).

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Сборник института инженеров путей сообщения, С.-Петербург, 1913, вып. 82 стр. 1—21. Отдельный оттиск, С.-Петербург, 1913, 22 стр.

Вопрос о кручении и изгибе призматических брусков силами, приложенными по концам, приводится, как показал Барре СенВенан 1), к интегрированию дифференциального уравнения

ааФ а*Ф п

дх% "T” ду2

при заданном значении производной по нормали дФ/dv на контуре поперечного сечения стержня.

При изложении этой задачи обыкновенно исходят из рассмотре­ ния деформаций и решения для различных частных случаев полу­ чают, пользуясь свойствами функций комплексного переменного.

В настоящей заметке принят иной метод изложения задачи СенВенана. На частных примерах мы показываем, что выводы получа­ ются проще, если определять напряжения непосредственно, не пере­ ходя к перемещениям. При этом оказывается, что напряжения могут быть выражены через производные одной функцииф, функции

напряжений, удовлетворяющей	дифференциальному уравнению
aai|)	д2г з _
дх2	ду2

Вслучае кручения величина q постоянна и нахождение функции

фможет быть сведено к определению провисания равномерно рас­ тянутой мембраны под действием равномерно распределенной на­ грузки а). При изгибе задача приводится к определению провисания мембраны под действием сплошной переменной нагрузки.

^S a i n t - V e n a n t В. Memoire sur la torsion des prismes, avec des conside­ rations sur leur flexion, ainsi que sur l’equilibre interieur des solides elastiques en general, et des formules pratiques pour le calcul de leur resistance a divers efforts s’exergant simultanement. Memoires presentes par divers savants a l’Academie des sciences de l’lnstitut imperial de France, 1856, tome Quatorzieme, savants etrangers-

XIV, pp. 233—560. CM. p. 332. [Перевод на русский язык: С е н - В е н	а н Б.
Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Физматгиз, М., 1961.	Мемуар

окручении призм, стр. 15—378. См. уравнение (109) на стр. 123.]

2)Р г a n d t 1 L. Zur Torsion von prismatischen Staben. Physikalishe Zeit-

schrift, 1903, Jahrgang 4, № 26b, SS. 758—759. [Перепечатка: P г a n d t 1 L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hydround Aerodynamik. Teil I, Berlin (Gottingen) — Heidelberg, Springer — Verlag, 1961, SS. 79—80.]

§ 1. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

265

Аналогия с мембраной не только дает возможность установить наглядное представление о распределении напряжений, но ею можно воспользоваться и для определения функции ф. В настоящей статье на частных примерах показано, как можно найти ф, пользуясь ме­ тодой Рэлея — Ритца1).

КРУЧЕНИЕ

§ 1. Ф ункция напряж ений при кручении

Предположим, что призматический стержень скручивается сила­ ми, распределенными по концевым поперечным сечениям. Боковая поверхность стержня свободна и объемных сил нет. В таком случае мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия

дХх		дХ„		дХ ,	О,
дх		ду		дг
дУх		ак „		дУ2			( 1)
дх ^		ду	^	дг	и >
dZx		dZ.,		dZ,
	-Л- — Л----1 = 0
дх		' ду	'	A-»	v >
				дг
положив						у _ _ _ аф
Xx = Yv = Z, = X y= 0,				Хг	ду		(2)
						д х '
где ф — функция только х		и у.

Кроме уравнений равновесия (1) напряжения должны удовлет­

ворять дифференциальным			зависимостям
	2 (Я.-)-р.) агэ _		~	^y/v2 (Л-+r wц )	ца2е-v »
	ЗЯ.+ 2ц	а*2	’	ЗЛ+ 2р	дхду	’
Д2К„	2 (Я.-|- ц)	аго	■П	Л2 V I	о		(3 )
	ЗЛ.-(- 2;х ду2		и’		Ш Т г-и'
	ЗЛ-|- 2[х	дг2		ЗЛ+2|.1	дудг

где 0 = Х * + К г/+ 2 г, к и р, — коэффициенты Ламэ.

Принимая во внимание значения напряжений, найдем, что пер­ вые четыре уравнения системы (3) удовлетворяются тождественно, а два последних дают для функции ф условия

а /	а 2ф		а2ф	\ __
дх \	дх2	^	ду*	и '
а / а2ф			а2ф	у
ду \	дх2	^	ау 2	/

г) R i t z W. Ober eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1909, Bd 135, Heft 1, SS. 1—61. [Перепечатка: R i t z W. Gesammelte Werke. Oeuvres publiees la Societe Suisse de physique. Paris, Gauthier — Villars, 1911, pp. 192— 250.]

266	И З Г И Б И К Р У Ч Е Н И Е	П Р И ЗМ А Т И Ч Е С К И Х	С Т Е Р Ж Н Е Й
	Следовательно,
	дх3	' дуг = const.	(4)

Значение ф на контуре поперечного сечения найдется из таких соображений. Для всякой точки А контура (рис. 1) касательное напряжение имеет направление касательной к

О_____ контуру, следовательно,

X z cos (х, v) + Yz cos (у, v) = О,

или

<Эгр ду . <Эгр д х _ п ду ds + дх ds и ’

где s — дуга контура, отсчитываемая в на­ правлении, указанном стрелкой. Таким об­

zразом, ф на контуре постоянно, и мы в даль­ нейшем для односвязных контуров будем по­ лагать эту постоянную равной нулю.

Легко	показать, что напряженное со-
х стояние,	определяемое	функцией	ф, дейст­
вительно	соответствует	кручению	стержня.

В самом деле,

f J X zdxdy = ^ ^ d x d y = О,

] ] Y zdxdy = - ^ ^ d x d y = 0,

и, следовательно, касательные напряжения, приложенные по кон­ цам стержня, приводятся к паре сил. Момент этой пары равен

М = 5$ Yzx dxdy — $§ Xzy dx dy.

Подставляя вместо напряжений их выражения через ф, легко по­ казать, что для односвязных контуров

М = 2 ^ tydxdy.

Значение постоянной в правой части уравнения (4) найдем, если перейдем от напряжений к перемещениям. В самом деле, левая часть уравнения (4) может быть переписана так:

дХг	dYz _	/дехг	двуЛ	д_ ( ди _ d v \ .
ду	д х ~ ^ \ д у		д х ) ~ ^ д г \ д у		д х ) ’

множитель, заключенный в скобках, представляет собой удвоен ный угол поворота поперечного сечения стержня, взятый с обрат­

§ 2 . ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ	267
ным знаком, следовательно, постоянная в уравнении (4)	равна

—2 рт, где т — угол закручивания, приходящийся на единицу дли­ ны стержня.

Таким образом, задача о кручении стержней сводится к интегри­ рованию уравнения

(4')

причем на контуре ф = const.

В случае односвязного контура положим 1)5=0, тогда задача све­ дется, как заметил Л. Прандтль, к определению провисания натя­ нутой мембраны, имеющей такой же контур, как и поперечное сече­ ние скручиваемого стержня, и нагруженной равномерно распреде­ ленной нагрузкой. Если растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, принять равным единице силы, то нагрузка на единицу поверхности мембраны должна быть 2р.т, тогда провисания мембраны будут иметь те же значения, что и я]5 в уравнении (4'). Л. Прандтль воспользовался этим обстоятель­ ством для экспериментального изучения распределения напряже­ ний при кручении. Здесь будет показано применение аналогии Л. Прандтля к вычислению напряжений.

§ 2. Общий метод определения функции напряжений

Задача об определении функции ф приводится, как мы видели, к разысканию провисания равномерно нагруженной мембраны, удерживаемой на контуре равномерно распределенными растяги­ вающими усилиями. При разыскании формы равновесия мембраны удобно воспользоваться самым общим началом статики, началом возможных перемещений. Истинная форма равновесия мембраны будет характеризоваться тем, что на всяком возможном отклонении от этой формы работа всех приложенных к мембране сил равна нулю.

Если считать мембрану нерастяжимой, то при провисании края ее несколько сместятся и растягивающие мембрану усилия со­ вершат при этом отрицательную работу, величину которой получим, умножая усилие, приходящееся на единицу контура мембраны, на разность между площадью мембраны до провисания и проекцией площади мембраны на плоскость контура после провисания.

При малых провисаниях величина искомой работы напишется так:

Здесь интегрирование должно быть распространено на всю пло­ щадь мембраны.

268 ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

При всяком отклонении мембраны от положения равновесия изменение найденной сейчас работы растягивающих сил должно быть равно по величине и противоположно по знаку приращению работы сплошной нагрузки, лежащей на мембране.

Следовательно,

[ { ? x j + { w ) 2] d x d y = N 2iix^ dxdy

или

6 И{ т [(Ф) 2+(1 г)] - № } d x d y = 0.

Задача сводится, таким образом, к разысканию минимума ин­ теграла

7 = П Ш й г ) * + ( Ю Т - 2^ } d x dy.

(5)

Тот же результат мы мржем получить и иным путем, не поль­ зуясь аналогией Л. Прандтля.

Предположим, что мы, удерживая постоянным значение функ­ ции ф на контуре, дадим ей весьма малые приращения в других точ­ ках поперечного сечения. Такому изменению функции напряжений будут соответствовать приращения напряжений bXz и bYz. Так как всякая система напряжений, определяемая на основании ус­ ловий (2), удовлетворяет уравнениям равновесия (1), то и прираще­ ния 6XZ и бY z будут удовлетворять этим уравнениям. В таком слу­ чае работа этих усилий на всяком возможном перемещении должна равняться приращению потенциальной энергии системы.

Применим это заключение к действительным перемещениям. При­ ращение потенциальной энергии, приходящееся на единицу длины стержня, может быть написано так:

Работа усилий, соответствующих приращениям напряжений, будет

(bXzu + bYzv)dxdy = ( — u ^ - + v ^ 'jd x d y .

Выполняя интегрирование по частям и принимая во внимание, что на контуре бф=0, найдем для искомой работы, отнесенной к единице длины стержня, выражение

2т 6фdxdy,

приравнивая это найденному выше приращению потенциальной энергии, сводим задачу к нахождению минимума интеграла (5).

§ 2. ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

269

Если удается найти выражение для if, соответствующее этому минимуму, мы получаем точное решение задачи о кручении. В тех же случаях, когда разыскание точного решения сопряжено с боль­ шими трудностями или такого решения получить нельзя, мы можем, пользуясь выражением (5), получить приближенное решение, за­ меняя задачу вариационного исчисления о разыскании минимума интеграла I элементарной задачей о нахождении максимума или ми­ нимума некоторой функции. Для этого мы берем приближенное вы­ ражение функции напряжений в виде ряда

'K=<Po+ai<Pi+a2<p1!+ . . . + апфп-

(6)

При этом функции ф0, . . ., ф„ выбираем так, чтобы на контуре каждая из них обращалась в нуль и чтобы выражение (6) при над­ лежащем выборе коэффициентов а1( . . . , ап по возможности ближе подходило к точному выражению ф.

В каждом частном случае такие функции можно подобрать, потому что приблизительный вид той поверхности, по которой прови­ сает нагруженная мембрана, нам известен. Для определения же коэффициентов аг, . . ., ап мы вставляем выражение ф„ вместо ф под знак интеграла (5) и определяем соответствующее значение ин­ теграла /„. Далее подбираем коэффициенты так, чтобы этот инте­ грал имел минимальное или максимальное значение, т. е. чтобы были удовлетворены уравнения

да1 • • •» дап

Отсюда мы получаем те значения коэффициентов аг, . . ., ап, при которых выражение для фп дает наилучшее приближение к точ­ ному решению.

Особенно просто разыскание функций ф0, . . . , ф„ в тех случаях, когда уравнение контура сечения может быть представлено в таком виде:

F(x, у) = 0

и F внутри контура в нуль не обращается. Тогда выражение (6) может быть заменено таким:

Утп= Р(х,у) 2?		атпхту \		(7)
	т—0, л=0
Для прямоугольника,	например,
Фи„ = (*2- а	2) («/*-&*)	Y	атпхтУп.	(7')
	т = 0 , л=0

Здесь х = ± а и у= ± Ь — уравнения сторон прямоугольника.

2 7 0	ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Для	всякого выпуклого многоугольника
♦«» = (<*1* + Ьху + сг) (а3х + Ь£ + с,) {а^с + Ь3у + с ,)...
	. .. 2	атпхтуп. (7")
	т=0. п=0

В тех случаях, когда для мембраны, соответствующей контуру поперечного сечения скручиваемого стержня, известны типы нор­ мальных колебаний, мы можем воспользоваться соответствующими нормальными функциями и вставить их вместо Фо, . . . , фп в выра­ жение (6). Таким путем мы можем получить решения для прямо­ угольника, равностороннего треугольника, сектора и для сечения, ограниченного дугами двух концентрических кругов и двумя ра­ диусами х).

§ 3. Частные случаи

Круг. В случае круглого стержня радиуса г имеем для контура уравнение

F(x, у)=г2—хг—у3= 0.

Легко видеть, что первый член выражения (7) представляет точ­ ное решение уравнения (4'), нужно только положить

В таком случае

У = }Л£-(г2— х2— у2).

Эллипс. Для эллиптического контура имеем

f < * .r t = ( £ + £ - i ) = o .

Опять легко проверить, что первый член выражения (7) удовлетво­ рит уравнению (4'), если только положить

|1та2&

а90— а*+Ь* *

х) Такого рода решения недавно опубликованы А. Н. Динником. См. Д и н - н и к А. Н. Аналогия Прандтля в теории кручения. Влияние радиальной трещины на жесткость сплошного и трубчатого валов. Известия Донского политехнического

института в	Новочеркасске, 1912, том 1, отдел 2, стр. 309—336. [Перепечатка:
Д и н н и к	А. Н. Избранные труды. Том 3. Киев, Изд-во АН Укр. ССР, 1956,

стр. 238—254. Д и н н и к А. Н. К аналогии Прандтля в теории кручения. Ж ур­ нал Русского физико-химического общества, 1912, том 44, физический отдел, вып. 5, стр. 257—260.]