- •Тема 1. Теория сигналов.
- •Спектры гармонических сигналов
- •Спектры непериодических сигналов
- •Свойства преобразования ф.
- •Тема 2. Вероятностные методы теории информационных процессов.
- •Моментные функции случайных процессов
- •Свойства корреляционных функций
- •Эффективный интервал корреляции
- •Взаимные моменты случайных процессов
Спектры гармонических сигналов
Спектр сигнала содержит общую составляющую с амплитудой, равной .
Спектры периодических сигналов произвольной формы:
Спектр может быть получен (представляем сумму гармонических сигналов) путем разложения в гармонический ряд Ф.
– амплитудный спектр;
– фазовый спектр;
– энергетический спектр.
Спектры непериодических сигналов
Методически .
Спектральное разложение детерминированного непериодического сигнала называется преобразованием Ф.
– комплексный амплитудный частотный спектр
| |- амплитудный спектр
Свойства преобразования ф.
Теорема Парсеваля
Для математического моделирования операций преобразования типов сигналов используют специальные пробные функции:
δ - функция Дирака:
функция Кронекера (аналог δ функции для дискретных сигналов):
Единичная функция Хевисайда: для создания математических моделей сигналов конечной длительности.
(или 1, =0)
Тема 2. Вероятностные методы теории информационных процессов.
Случайные события
Любой принятый сигнал апостериорно представляет собой детерминированный процесс или событие. Априорно наблюдатель/приемник не знает в точности поведение сигнала, он для него не определен, т.е. случаен.
Математический аппарат описания априорно неопределенных процессов или событий:
Теория вероятности
Теория нечетных множеств
Теория вероятностей:
Статистический подход
Аксиоматический подход (Колмогоров)
Объекты теории вероятности:
случайные события
случайные величины
случайные вектора
случайные процессы
Случайное событие – произошло или нет, мера случайности – вероятность .
- да
N – всего событий,
Случайная величина
Случайный вектор , где - случайная величина.
Другой пример случайных событий – сигналы систем контроля состояния (логические сигналы). ИИС может одновременно фиксировать несколько случайных событий, т.е. ансамбль событий, например, смотрите рисунок выше.
А:
B:
С:
Эти события могут быть зависимыми или независимыми.
Отношения событий
Сумма: – по крайней мере одно событие имеет место.
Формула сложения вероятности:
Произведение: – и то, и это событие одновременно.
Формула умножения вероятности:
Здесь - условная вероятность.
Несовместимые события:
Несовместимые события образуют полную группу, если ∑ вероятности этих событий = 1. Обычно - ансамбль гипотез,
Формула полной вероятности
- ансамбль гипотез (полный).
Событие может произойти только совместно с одной из гипотез.
Очевидно,
Тогда
- апостериорная условная вероятность.
Пусть – вероятность состояния сигнала (сообщения), и нас интересуют априорные условные вероятности посылки , если мы получили .
Тогда формула Байеса:
Но , следовательно:
Случайный процесс как модель сигнала
В общем случае определяемая одномерной или многомерной функцией распределения и плотностью распределения вероятности.
Одномерная модель (модель сечения сигнала в момент t=t0)
ξ - фиксируемая случайная величина или
Многомерная модель (случайный процесс – статистический ансамбль выборочных функций)
Здесь
Чаще всего ограничиваются исследованием одномерных и двумерных моделей.
Свойства функций и плотности распределения вероятности.
Если то
|
|
Для дискретных по величине случайных сигналов (квантованных):