Сопромат_ Пособие к решению тестовых заданий

напряжения по наклонным площадкам равны сумме главных

напряжений:

x+

y+

z =

1+

2+

3;

среднее напряжение σ

σ1

σ2

σ3

;

ср

3

обобщенный закон Гука:

ε1

1

[σ1

μ(σ2

σ3 )];

E

ε2

1

[σ2

μ(σ3

σ1 )];

E

ε3

1

[σ3

μ(σ1

σ2 ).]

E

относит. объемная деформация

θ

V

ε1

ε2

ε3 ;

V

θ

1 2μ

(σ1

σ2

σ3 ) ;

E

θ

1

2 μ

3σср

σср

;

E

К

модуль объемной деформации:

K

E

;

3(1

2μ)

потенциальная энергия

U

F

L

;

2

удельная потенциальная энергия

u

U σ ε

;

u

σ2

;

u

σ1 ε1

σ2 ε2

σ3

ε3

;

A L

2

2E

2

2

2

u

1

[σ2

σ2

σ2

2μ(σ σ

σ σ

σ

σ

)] ;

2

3

2

3

2E

1

2

3

1

1

u = uо + uф;

энергия изменения объема: uo

1

2μ

(σ1

σ2

σ3 )2 ;

6E

энергия изменения формы:

u

1 μ

[σ2

σ2

σ

2

σ σ

σ σ

σ

σ

)]

;

ф

3

2

3

2

3

1

2

1

1

3E

Теории прочности

72

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений):

max= 1 [ ].

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций):

	max= 1 [ ], ε1	1	[σ1 μ(σ2 σ3 )] ,
		E
	условие прочности		эквII= 1 — ( 2 + 3) [ ].

3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений):

max [

],

τmax

σ1

σ3

,

2

условие прочности:

эквIII=

1 —

3 [

],

σэквIII

(σz

σ y )2

4τ2zy

σ

.

4-я теория прочности (энергетическая теория):

uф [uф].

Условие прочности

σ

эквIV

0,5 [(σ

σ

2

)2

(σ

σ

3

)2

(σ

2

σ

3

)2

[σ] .

1

1

Для плоского напряженного состояния:

При

y=0,

σ

эквIV

σ2

3τ2

[σ] .

Теория прочности Мора:

σэквМ

σ1

[σ p ]

σ3

, где допускаемые напряжения на растя-

[σc ]

жение [

p] и сжатие [ с]

Геометрические характеристики сечений

площадь

;

73

Sx

xC

статический момент относительно оси x или y:

Sx

ydA ;

A

S y

xdA ;

A

координаты центра тяжести: x

S y

;

y

S

x

;

C

A

C

A

n

n

;

Ai yi ; S y

Ai xi

i 1

i

1

n

n

S y

Ai xi

Sx

Ai yi

i 1

;

yC

i 1

;

A

n

A

n

Ai

Ai

i 1

i

1

Осевой момент инерции: J

x

y2dA,

J

y

x2dA;

A

A

полярный момент инерции: J

p

ρ2dA ;

A

центробежный момент инерции:

J xy

xydA .

A

Прямоугольник: J x

bh3

;

J y

hb3

; Jxy=0.

12

12

πr4

πd 4

πr4

πd 4

Круг:

J p

;

J x

J y

;

J xy

0 .

2

4

64

32

Угол, определяющий положение главных осей:

tg2α0

2J xy

.

J y

J x

Моменты инерции относительно главных центральных осей

J

x

J

y

1

инерции: J

(J

J

)2

4 J

2

;

max

2

2

y

x

xy

min

Jmax+Jmin=Jx+Jy.

J y

J

x

2

2

Радиус инерции: i

; i

;

Jx=F ix

,

Jy=F iy

.

x

y

F

F

Осевой момент сопротивления:Wx

J x

;

ymax

74

для прямоугольника: Wx

bh2

; Wy

b2 h

;

6

6

для круга: Wx Wy

πR3

πD3

;

4

32

для трубчатого сечения (кольца): Wx

Wy

πD3

(1 α4 ) , где

32

α

d

; Полярный момент сопротивления: Wp

J p

;

D

ρmax

для круга: Wp

πR3

πD3

;

2

16

трубчатое сечение (кольцо): Wp

πD3

(1 α4 ) , где α

d

;

16

D

Кручение

Касательные напряжения τ

Тρ

,

J p

Максимальные напряжения в сечении

τmax

Т

,

где Wp

J p

.

R

Wp

Условие прочности τmax

Т max

τ ,

τ

τпред

Wp

[n]

Угол закручивания:

φ

ТL

;

GJ p

относительный угол закручивания: θ

Т

.

GJ p

условие жесткости:

mкax [

].

Потенциальная энергия при кручении: U

Т 2 L

;

2GJ p

Изгиб

Нормальные напряжения: σ

M x

y .

J x

Максимальные напряжения: σmax

M

ymax ,

σmax

M

.

J x

Wx

75

b( y) J x

Касательные напряжения: τ	Q Sx ( y)	.

σ

1

Главные напряжения при изгибе: σmax

σ2

4τ2

2

2

min

Условие прочности по нормальным напряжениям

σmax

M max

[σ] ,

Wx

условие прочности по касательным напряжениям

τ

QmaxSmax

[τ].

Wx

M max

J x b

[σ]

Условия прочности по теориям прочности:

1

I-я : σ

эквI

[σ

σ2

4τ2 ] [σ] ;

2

II-я: σ

эквII

0,35σ

0,65[σ

σ2

4τ2 ]

[σ] (при коэффици-

енте Пуассона =0,3);

III-я: σ

эквIII

σ2

4τ2 ] [σ] ,

IV-я: σ

эквIV

σ2

3τ2 ] [σ] ,

1

m

1

m

теория Мора: σ

эквM

σ

σ2

4τ2 ] [σ] ,

2

2

m	[σ P ]	.
	[σC ]
Закон Гука при изгибе:			1		M (x)	.
			ρ(x)		EJ x

дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

				d 2 y
1				dx		2							M ( x)	—
ρ													EJ х
					dy				2	3
	[1			(				)		]
					dx

приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси

балки: EJ	d 2 y	M (x) .
	dx2

76

уравнение углов поворота:

θ

dy

1

M ( x)dx C ,

dx

EJ

уравнение прогибов

y

1

M ( x)dxdx

Cx

D .

EJ

Дифференциальные зависимости при изгибе:

dM x

Qy ;

dQy

q(z) ;

EJ

d 2 y

M x ;

dy

θ .

dz

dz

dz2

dz

Косой изгиб

Напряжение в произвольной точке сечения: σ

M x y

M y x

;

J x

J y

tgα

M y

,

Mx=M cos

; My=M sin

, σ

M (

cosα

y

sinα

x) .

M x

J x

J y

уравнение нейтральной линии:

M x y0

M y x0

0 ,

J x

J y

угол наклона нейтральной линии к главной оси х:

tgβ

y0

M y

J x

, tgβ

J x

tgα .

x0

M x

J y

J y

условие прочности

σmax

M x

M y

[σ] ,

Wx

Wy

d 2 w

d 2v

прогиб:

EJ x

M x ; EJ y

M y , f v2 w2 .

dz2

dz2

Внецентренное сжатие–растяжение

внутренние усилия: N=F; My=F xF; Mx=F yF.

напряжения

σ

N

M y

x

M

x

y ; σ

F

(1

x

F

A

x

y

F

A

y)

A

J y

J x

A

J y

J x

или σ

F

(1

x

F

x

y

F

y) , ix, y

J x, y

A

i

i2

F

2

y

x

77

	Уравнение нейтральной линии: 1	xF	x	yF	y 0 .
		iy2		ix2

отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат:

	iy2		ix2
x0		; y0		.
	xF		yF

Изгиб с кручением

максимальные нормальные и касательные напряжения в опасных точках:

σmax

M

M x2

M y2

, τmax

M к

, (для круга:

W

πD 3

–

W

W

32

Wр

осевой момент сопротивления.

главные напряжения в опасных точках:

1

1

σ1

(σ

σ2

4τ2 ); σ2

0; σ3

(σ

σ2

4τ2 ) .

2

2

Проверка прочности:

по IV-ой теории прочности:

σ

эквIV

σ2

3τ2

[σ];

1

σэквIV

0,75M кр2

M x2

M y2

[σ]

W

1

m

1

m

по теории Мора:

σ

σ

σ2 4τ2

[σ];

эквM

2

2

m=[ p]/[ c].

1

1 m

1

m

σэквM

[

M x2

M y2

M кр2

M x2

M y2 ]

[σ];

W

2

2

Устойчивость

Формула Эйлера: F	π2 EJ min	,
кр	(μL)2

– коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня = 1; для стержня с заделанными концами = 0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом = 2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом = 0,7.

78

	Критическое сжимающее напряжение.: σкр									π2 E	,
										λ2
	гибкость стержня λ		μL	, i			J min		– наименьший глав-
					min		F
			im i n
	ный радиус инерции.
	Формула Эйлера	применима				при			гибкости стержня:

	λ λ кр	π2 E	. Для 0< < кр используется формула Ясин-
		σпц

ского: кр= a — b ,

Удар, динамическое напряжение

Динамические деформации и напряжения

, ,

Коэффициент динамичности

,

,

.

79

	16. Примеры тестовых заданий
	1. Удлинение стержня постоянного сечения при упругой
	деформации материала зависит от характеристики мате-
	риала:
		F	Пояснение к ответу
			Удлинение стержня определяется по
			закону Гука и равна
	Варианты ответов:		,
	1.	 предела текучести	Где N – продольная сила,
	2.	 предела прочности	L – длина стержня,
			Е – модуль упругости,
	3.	 модуля упругости
			А – площадь сечения.
		 плотности
	4.		Из предложенных вариантов ответов
			следует выбрать ответ номер 3 - мо-
			дуль упругости Е.

2. В нагретом стержне постоянного сечения из материала с коэффициентом температурного расширения K линейная деформация равна

		T	0			Пояснение к ответу
						Линейная деформация равна
									.
Варианты ответов:						Удлинение стержня			при изменении
1.		 К Т				температуры на	равно			.
2.		 0				Откуда получим				, т.е. вариант
						ответа 1.
		
3.			К Тl
4.			К Т
5.			К Тl

3. При испытании образца на сжатие получено значение модуля упру-

гости, которое зависит от...

80

F	Пояснение к ответу

Модуль упругости – характеристика упругости материала, зависит только от материала образца.

A

L

Варианты ответов:

1. величины силы F

2. площади сечения A

3. материала образца

4. длины образца L

4.При испытании образца на сжатие получено значение предела прочности, которое зависит от...

	F	Пояснение к ответу
		Предел прочности является характеристи-
		кой прочности материала, зависит только
		от материала образца.
A	L
Варианты ответов:
1.	 величины силы F
2.	 площади сечения A
3.	 материала образца
4.	 длины образца L
		81