8. Метод наименьших квадратов: алгоритм метода, условия применения.

Для оценки параметров линейной или линеаризованной модели применяется метод наименьших квадратов (МНК). Суть метода состоит в следующем: к реальным данным подбирается функция и её параметры, чтобы разности (отклонения, остатки) между реальными и вычисленными значениями у были минимальны. Но разностей много, поэтому минимизируется сумма квадратов этих разностей:

Рис.3.1. Отклонения реальных у от оценённой функции регрессии.

Как правило, вычисления проводятся на компьютере с использованием различных сервисов и программ. Далее мы рассмотрим технологию МНК, которую использовали при ручном вычислении параметров парной линейной регрессии.

Сумма квадратов остатков, зависящая от параметров a и b

где n – количество измерений. Эта функция достигает минимума в точке, где её частные производные по a и по b равны нулю:

или

an + bx = y

ax + bx² =xy

9.Идентификация отдельных уравнений системы одновременных уравнений: порядковое условие. (30)

Коэффициент уравнения называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единственный, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок. В противном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема. Уравнение структурной модели может быть идентифицируемо, если выполняется порядковое условие.

Общий вид каждого уравнения модели в структурной форме можно записать как: (2.4)

где: G – количество эндогенных переменных в модели

K – количество предопределенных переменных в модели

Необходимое условие идентифицируемости

Теорема 1.  Пусть i-ое поведенческое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство

M_i (пред)  G – M_i (энд) – 1. (2.5)

В нём: M_i (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых  в i-ое уравнение;

M_i (энд) – количество эндогенных переменных модели,  не включённых в i-ое уравнение.

Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием  идентифицируемости i-го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения

Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения

Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо.