Вариант 5

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)

Контрольная работа № 1

1. Дана матрица

Найти ранг матрицы

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Вычислить:

, если = (–2;1; –4); = (1; –2; 0); = (0; –1; 3).

5. Даны четыре вектора

=(3;4; – 3); =(2;1; – 4);=(– 5;5;0);=(8; – 16;17)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицейА= .

6. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=2x₁²+ x₂²–6x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=2x₁²– 5x₂²+8x₃²– 4x₁x₂+2x₁x₃+6x₂x₃.

Контрольная работа №2

1. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке , а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точку , если ее центр совпадает с точкой.

3. Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр параллельно прямой. Сделать чертеж.

4. Определить, находятся ли точки ,,,на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.

5. Найти расстояние от точки пересечения прямых идо плоскости.

Вариант 6

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и .

Установить, имеет ли матрица обратную.

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Найти , если,, векторыиперпендикулярны.

5. Даны четыре вектора

=(– 2;1;7); =(3; – 3;8);=(5;4;1);=(18;25;1)

в некотором базисе. Показать, что векторы ,,образуют базис, и найти координаты векторав этом базисе.

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицейА= .

7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=4x₁²+ x₂²–4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)= 2x₁²+x₂²+3x₃² +2x₁x₂–2x₁x₃ –2x₂x₃._.

Контрольная работа №2

1. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у которого две биссектрисы лежат на прямых и, а одна из его сторон на прямой. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 24, а координаты ее фокусов ,.

3. Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с абсциссой, равной 0.

4. Найти угол между плоскостями и.

5. Лежат ли прямые ,ив одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.