LekSe1-2-28o

§5. Определители

1. Каждой квадратной матрице А соответствует некоторое число A , называемое ее определителем

(определитель называют также детерминантом и обозначают через det A).

Если А имеет порядок n, то говорят, что

A – определитель n-го порядка

2. Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле:

a11a12 a11a22 a12a21, (1) a21a22

а определитель 3-го порядка – по формуле:

a11	a12	a13
a21	a22	a23			(2)
a31	a32	a33

a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31 a13a22a31 a23a32a11 a33a12a2

Можно также говорить и об определителях

1-го порядка, если положить det(a11) = a11

3. Определитель (n – 1)-го порядка,

полученный вычеркиванием строки i и столбца j из определителя n-го порядка A ,

называют минором элемента аij и обозначают Мij

4. Алгебраическим дополнением элемента aij

называют величину

Aij=( 1)i+jMij

5. Для определителя порядка n справедлива

формула Лапласа разложения по первой строке

= A a11A11 a12A12 ... a1nA1n. (3)

6.Свойства определителей

1)Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

2)Если все элементы строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых,

то определитель равен сумме двух определителей 1 и 2,

в которых строка i состоит соответственно из первых или вторых слагаемых,

авсе остальные строки – те же, что и в определителе .

3)При перестановке любых двух строк определитель умножается на 1

4)Величина определителя не изменится, если

кодной из строк прибавить любую другую, умноженную на некоторое число

5)Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю

6)Определитель матрицы А равен нулю

тогда и только тогда, когда между ее строками существует линейная зависимость

7) Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера

равен произведению их определителей: AB A B

8) Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:

A ai1Ai1 ai2Ai2 ... ainAin, (4)

где n – порядок матрицыA, 1 i n.

Формула (4) называется

формулой разложения определителя по i-ой строке

9) При транспонировании матрицы определитель не меняется, т.е. AТ A для любой квадратной матрицы А

.

10) Из свойства 9 следует, что перечисленные выше свойства 1–8 определителей сохраняются, если в формулировках “строки” заменить “столбцами”.

В частности,

11)		A		a1iA1i a2iA2i ... aniAni,	(5)

где А – квадратная матрица порядка n, 1 i n.

Формула (5) называется

формулой разложения определителя

по i-му столбцу

Применение определителей к решению систем линейных уравнений

7.Система линейных уравнений Ax b,

содержащая n уравнений с n неизвестными,

имеет единственное решение

втом и только том случае, когда A 0

8. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений

с n неизвестными

Ax b

Если

A

0, то единственное решение этой системы

вычисляется по формулам

x1

A1

, x2

A2

, . . . , xn

An

, (6)

A

A

A

где Ai – матрица, полученная из матрицы А

заменой i-го столбца столбцом правых частей b

Замечание. Если A 0,

а один из определителей A1, A2 , ..., A n отличен от нуля, то система Ax b несовместна.

9.Однородная система n линейных уравнений

сn неизвестными

Ax 0,

имеет ненулевые решения

тогда и только тогда, когда

A 0