LekSe1-2-28o
.pdfФинансовый университет при Правительстве РФ
Кафедра "Математика"
Доцент Калачев Николай Валентинович
Линейная алгебра Аналитическая геометрия Линейное программирование
nkalachev@fa.ru
Москва - 2012 г
§1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1.Общий вид системы (1)
m линейных алгебраических уравнений
сn неизвестными х1, х2, ..., хn
сданными коэффициентами аij
исвободными членами bi (i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)
a11x1 |
a12x2 |
... a1n xn b1, |
|
|||||||
|
x |
|
a |
x |
|
... a |
x |
|
b , |
|
a |
1 |
2 |
n |
(1) |
||||||
21 |
|
22 |
|
2n |
|
2 |
||||
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
am1x1 am2x2 ... amn xn bm .
Таблицы
|
a |
a ...a |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
A |
a21 a22 ...a2n |
|
||
. . . . . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
am1am2 |
...amn |
~
и A
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n
. . . . . .
am1 am2 ... amn
b1 b2
... bm
называют соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (1)
2. Если все правые части bi = 0
то систему (1) называют однородной,
в противном случае неоднородной.
3.Набор чисел x 1; 2; ; n – решение системы (1)
если подстановка этих чисел вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество
4. Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение
и несовместна в противном случае.
5.Если система совместна, то она может иметь единственное решение
ив этом случае ее называют определенной
или бесконечно много решений.
итогда быть неопределенной
6.Решить систему – означает
найти все множество ее решений
7. Системы уравнений называют эквивалентными
(равносильными)
если они имеют одно и то же множество решений.
8. Элементарные преобразования
1)перестановка уравнений в системе
2)умножение любого уравнения системы на число,
отличное от нуля
3) прибавление к одному из уравнений системы другого, умноженного на произвольное число
4) исключение из системы “тривиальных” уравнений вида
0x1 0x2 ... 0xn 0
9.Метод Гаусса (ЖорданаГаусса) -
последовательное исключении неизвестных
спомощью элементарных преобразований
На практике для сокращения записи удобно проводить выкладки не над самой системой (1),
а над ее расширенной матрицей.
Элементарным преобразованиям уравнений системы
соответствуют элементарные преобразования строк матрицы:
1)перестановка строк
2)поэлементное умножение строки на число,
отличное от нуля
3)поэлементное прибавление к одной строке другой, умноженной на произвольное число
4)исключение нулевых строк.
10. Каждый шаг исключения начинают с выбора в матрице системы разрешающего элемента,
не равного нулю,
который не должен принадлежать строке,
в которой ранее уже выбрали разрешающий элемент
11. Строку и столбец содержащие разрешающий элемент,
называют разрешающими
12. Цель последующих элементарных преобразований строк ---
--превратить разрешающий элемент в единицу,
аостальные элементы разрешающего столбца в нули
13. Возникающие при этом нулевые строки
из матрицы вычеркивают