Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ГЛАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

имени В.Г. Короленко

Общие понятия математики Материалы

к практическим занятиям по математике

для студентов факультета

педагогики и методики начального образования

Глазов 2007

ББК

Общие понятия математики: Материалы к практическим занятиям по математике. – Глазов: ГГПИ, 2007. – с.

Составители: ст. преподаватель кафедры МНО Г.В. Керова,

ст. преподаватель кафедры МНО О.А. Сальникова

Рецензент:

В пособии представлен материал для использования на практических занятиях по математике и в самостоятельной работе студентов, обучающихся по специальности «Педагогика и методика начального образования». В нем содержится достаточное количество заданий, выполнение которых позволит студентам в полной мере овладеть теоретическими основами начального курса математики.

Ó Глазовский государственный педагогический институт, 2007

Тема 1. Высказывания и операции над ними Контрольные вопросы по теории

1. Какие предложения называются высказываниями?

2. Какие высказывания называют элементарными, а какие – составными?

3. Сформулируйте определения отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции высказываний и составьте для данных операций над высказываниями таблицы истинности.

4. Какие высказывания называют равносильными?

5. Каким законам подчиняются операции над высказываниями?

Практические задания

1. Среди данных предложений найдите высказывания: а) Когда заканчиваются летние каникулы? б) Учебный год в России начинается 1 сентября. в) Какая красота! г) Ижевск – столица Удмуртии. д) Сумма пяти и трех. е) Семью восемь – сорок восемь. ж) Студент отсутствует на занятии по математике. з) Всякий человек имеет брата. и) Сумма числа х и числа 3 равна 7. к) Любой квадрат – прямоугольник.

2. Найдите значения истинности следующих высказываний:

а) ; б) 12 – 5 > 4 + 1; в)= 5; г) 2,5 N; д) 3² > 2³.

3. В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки: а) в равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой; б) 2 5; в) если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5; г) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3; д) число 23 не делится на 5; е) еслиа · b = 0, то а = 0 или b = 0; ж) если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

4. Из элементарных высказываний А: «Завтра будет дождь», В: «Мы пойдем в кино», С: «Завтра будет солнечно», D: «Завтра занятия начнутся раньше обычного» образованы составные высказывания. Запишите данные составные высказывания, используя символы. а) Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в кино. б) Завтра будет солнечно или будет дождь, и занятия начнутся раньше обычного. в) Завтра занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в кино в том и только в том случае, если не будет дождя и будет солнечно.

5. Из предложений «Треугольник АВС равнобедренный» и «Треугольник АВС равносторонний» образуйте составные при помощи логических связок «и», «неверно, что», «или», «если..., то».

6. Даны высказывания: А: «Сегодня температура воздуха ниже 0° С», В: «Сегодня ясно», С: «Я пойду кататься на лыжах» и D: «Я пойду кататься на коньках». Сформулируйте высказывания, имеющие структуру: а) А Ù В; б) С Ú D; г) А Ù (С Ú D); в) А Ù В Ù (С Ú D); д) ; е).

7. Приведите примеры высказываний, имеющих структуру вида: а) А  В; б) А  В; в) А  В; г) .

8. Определите значения истинности каждого высказывания: а) число 15 делится на 5 и на 3; б) число 23 делится на 2 или на 3; в) = 2 или= – 2; г) 55; д) –2 < 3 < 1; е) 459.

9. Выясните, в каких случаях можно найти значения истинности высказываний А Ù В и А Ú В, если: а) А – «и»; б) А – «л».

10. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы: а) А – «и», А  В – «л»; б) А – «и», А  В – «л»; в) А – «и», А Ù В – «и»; г) А – «и», А Ú В – «и»; д) А – «л»; А Ù В – «и»; е) А – «л», А Ú В – «и»; ж) А – «л», А Ù В – «л»; з) А – «л», А Ú В – «л».

11. Выясните, в каких случаях можно установить значение истинности высказывания В: а) А Ù В – «и»; б) А Ú В – «и»; в) А Ù В –«л»; г) А Ú В – «л»; д) А Ù В – «л», А – «и»; е) А Ú В – «и», А – «л».

12. Сформулируйте высказывания, которые являются отрицаниями данных высказываний и укажите, истинно само высказывание или его отрицание: а) я выполнил домашнее задание по математике; б) в январе 31 день; в) число 27 делится на 7; г) 3 + 3 = 6; д) число 35 – четное; е) 32 < 23.

13. Объясните, почему высказывания каждой из нижеприведенных пар не являются отрицаниями друг друга: а) «четырехугольник АВСМ – параллелограмм» и «четырехугольник АВСМ – трапеция»; б) «угол С – острый» и «угол С – тупой».

14. Высказывания А и В таковы, что они не могут быть одновременно истинными. Следует ли отсюда, что высказывание А является отрицанием высказывания В? Ответ поясните на примере.

15. Известно, что если высказывание А истинно, то высказывание В ложно. Можно ли на основании этого утверждать, что если А ложно, то В истинно? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.

16. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:

а) сегодня наша группа занимается зоологией и иностранным языком;

б) контрольная работа по математике состоится во вторник или в среду;

в) четырехугольник АВСD – прямоугольник или параллелограмм;

г) число 12 – четное и делится на 3;

д) треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный;

е) число 25 не делится ни на 3, ни на 4;

ж) четырехугольник ABCD не является ни прямоугольником, ни ромбом;

з) 2  3.

17. Найдите значение истинности высказывания Ú В Ù С на основании следующих данных: а) В – «и», С – «и»; б) А – «л»; в) А – «и», В – «л»; г) А – «и», С – «л».

18. Можно ли сделать вывод об истинности или ложности высказывания А Ù (Ú С), зная лишь, что: а) А – «л»; б) С – «и»; в) А – «и», В – «л»; г) В – «л», С – «и»?

19. По окончании учебного года Лена сказала подругам, что осенью она начнет заниматься в хореографическом кружке и по­ступит на курсы французского или испанского языков. В сентяб­ре, когда подруги вновь встретились, выяснилось, что Лена не занимается в хореографическом кружке, но зато изучает оба языка. Выполнила ли Лена свое обещание? Если вы считаете, что нет, то перечислите все возможные случаи, в которых высказывание Лены будет истинным.

20. Даны высказывания А: «Четырехугольник АВСК – параллелограмм» и В: «Диагонали четырехугольника АВСК в точке пересечения делятся пополам». Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам: а) А  В; б) .

21. В следующих составных высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания; укажите среди них истинные импликации: а) если число 48 кратно 8, то оно кратно 4; б) если – 3 < –1, то 3² = 6; в) если 2³ = 10, то у собаки четыре ноги; г) если 2 · 2 = 5, то ведьмы существуют.

22. В каждой из следующих импликаций выделите условие и заключение и сформулируйте отрицание импликации: а) Если идет дождь, то мостовая мокрая. б) Если я опоздал на работу, то мне объявят выговор. В) Если ученика перевели в следующий класс, то он получил по всем предметам отличные отметки.

23. Даны высказывания А: «Число 729 кратно 9» и В: «Сумма цифр числа 729 кратна 9». Сформулируйте высказывания: а) А  В; б) В А; в) А  В. Укажите среди них истинные.

24. Даны высказывания: А: «Сегодня ясно», В: «Сегодня идет дождь», С: «Сегодня понедельник», D: «Я пойду в гости». Сформулируйте высказывания, имеющие следующую логическую структуру: а) А Ù ; б); в); г)D  С; д) (А Ù В)  D.

25. Составьте таблицы истинности для следующих высказываний: а) А Ù; б) В; в) (А ) Ú (В  А); г) (А Ú В) Ù; д)А  (В Ú С); е) () Ú (А  С).

26. Докажите тождественную истинность формул, используя таблицу истинности и законы операций над высказываниями:

а) ((А  В) Ù А)  В;

б) ((А Ú В) Ù )  А;

в) А  (В  (А Ù В));

г) ((А  (В Ù )).

27. Докажите равносильность формул, используя таблицу истинности и законы операций над высказываниями:

а) А Ù (Ú) А Ù;

б) (Ù)Ú (ÙВ) ;

в) (А Ù В)  С ÚÚ С;

г) (А  В) Ù (А  С)  А  (В Ù С).