Лесотранспортная логистика. Решение задач

Таблица 1.4.

Вычисление значений yx

x	lgZ=a+bx	Z	Z +1		A		yx=	A	+ C	(yx – Y )	(yx – Y )2
					Z +1			1 +10a+bx
1	1,25718	18,0800	19,0800	3,145				27,1		0,1	0,01
2	0,59511	3,93700	4,93700	12,153				36,1		3,3	10,89
3	- 0,06696	0,85700	1,85700	32,310				56,3		16,3	265,69
4	- 0,72903	0,18610	1,18610	50,586				74,6		9,1	82,81
5	- 1/3911	0,04062	1,04062	57,658				81,7		11,4	129,96
											489,36

Как видно из таблицы, вычисленные значения yx незначительно отли-

чаются от эмпирических значений Y. Ошибка составляет 489,36 /(5 −1) =

11,1%

Точка перегиба - момент перехода от возрастающей скорости к убывающей определяется по формуле:

a				1,91925		(пятилетних периода или 13 лет),
x =			=		= 2,9
				0,66207
b

1980 + 13 = 1993 год.

y = A + C = 60 + 24 = 54% составляла доля сплава в плотах в 1993 году.

2 2

Таким образом, определена логистическая закономерность изменения структуры водного транспорта леса в плотах. Аналогично выполняются расчеты молевого сплава и транспортировки в судах.

2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ МАТЕРИАЛОПОТОКА ЛЕ-

СОПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Цель работы. Освоить традиционные и компьютерные методы статистического анализа производственно-хозяйственной деятельности лесопромышленного предприятия и методы прогнозирования деятельности на тактическом уровне.

Задача. Выполнить анализ деятельности лесопромышленного предприятия за предыдущий период и обосновать план производства на первые три месяца следующего периода с вероятностью 0,95 и 0, 98.

В лесопромышленной логистике основной целью является создание такой товаропроизводящей и товаропроводящей логистической системы, чтобы при минимально возможных затратах достичь максимально возможного эффекта.

Для создания эффективной логистической системы, в первую очередь, необходимо иметь возможность прогнозировать развитие потребностей и покупательной возможности потребителей, прогнозировать развитие своего производства и возможного развития конкурентов.

Прогнозирование дает возможность обосновать параметры проектирования новых лесозаготовительных и лесоперерабатывающих предприятий на предпроектной стадии, проектирования их реконструкции, а также совершенствования технологических процессов лесного производства.

Прогнозирование чаще всего производится с использованием экстраполяционных методов, которые базируются на предположении о том, что будущее является продолжением настоящего. При этом предполагается,

что в будущем, в пределах прогноза, сохраняются существующие тенденции развития.

Прогнозирование производится с использованием математических методов, таких как метод наименьших квадратов, метод Чебышева, а в простейших случаях методов интерполирования, экспоненциального сглаживания, скользящей средней, экспертных оценок, имитационного моделирования и других.

2.1.МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

2.1.1.Метод наименьших квадратов.

Если известен вид эмпирической формулы y = f(x, a0, a1, .., am) и ее отклонения εi = f(xi, a0, a1, .., am) – yi от исходных данных (x yi). Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a0, a1, .., am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна, то есть

n
S(a0 , a1 ,..., am ) = ∑[ f ( x1 , a0 , a1 ,..., am ) − yi ]2 → min	(2.1)

i =1

Это возможно в том случае, если частные производные равны нулю:

	∂S	= 0,	∂S	= 0,...,	∂S	= 0
	∂a0		∂a1		∂am
						(2.2)

Если эмпирическая формула f(x, a0, a1, .., am) линейна относительно ее параметров, то система (2.2) может быть представлена в простом виде. Полагая:

m

S(a0 , a1 , a2 ,..., am ) = ∑[a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + ... + amϕm ( xi ) − yi ]2 ,

i =1

получим

f ( x, a0 , a1 ,..., am ) = a0ϕ 0 ( x) + a1ϕ1 ( x) + ... +a m ϕ m ( x),

отсюда

	1		∂S			n
						= ∑ϕ 0 (xi )[a0ϕ 0 (xi ) + ... + amϕ m ( xi ) − yi ] = 0	(2.3)
	2		∂a0
						i =1
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
	1		∂S			n
						= ∑ϕ m ( xi )[a0ϕ 0 ( xi ) + ... + amϕ m (xi ) − yi ] = 0
	2		∂a
				m		i =1

В частности, если эмпирическая формула представляет собой поли-

ном

y = a0 + a1 x + ... + am x n ,

(2.4)

то после некоторых преобразований система (2.3) запишется в виде:

n

n

2

n

m

n

na0 + a1 ∑ xi + a2 ∑ xi

+ ... + a m ∑ xi

= ∑ yi ;

i =1

i =1

i =1

i =1

a

n

n

+ a

2

n

n

+

n

(2.5)

0 ∑ xi + a1

∑ xi

2

∑ xi

= ... + a m ∑ xi

m

1

= ∑ xi yi ;

3

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

n

n

n

n

n

a

0 ∑ xi m + a1 ∑ xi m +1 + a 2 ∑ xi m +2 + ... + am ∑ xi

2m = ∑ xi m yi .

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

Если уравнение регрессии представлено линейным уравнением вида y = a0 + a1x, (2.6)

то параметры ее по методу наименьших квадратов находятся из системы уравнений:

		n	n
na		0 + a1 ∑ xi = ∑ yi ;
		i =1	i =1
		n	n		n
a	0 ∑ xi + a1		∑ xi	2	= ∑ xi yi .	(2.7)
		i =1	i =1		i =1

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и имеет единственное решение. Схема нахождения сумм, входящих в систему (2.7), представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Таблица для расчета параметров уравнения (2.7)

Номер	Значение па-	Значение па-	xiyi	xi2
Опыта	раметра xi	раметра yi
1	X1	y1	x1 y1	x12
2	X2	y2	x2 y2	x22
…	…	…	…	…
n	xn	yn	xn yn	xn2
∑	n	n	n	2
				n
	∑xi	∑ yi	∑xi yi	∑xi
	i=1	i=1	i=1	i =1

Для определения параметров эмпирической зависимости, выраженной уравнением регрессии второго порядка в виде

y = a0 + a1 x + a2 x,

необходимо составить систему уравнений:

	n			2		n
				n
na0 + a1 ∑xi + a2				∑xi =		∑yi ;
	i =1			i =1		i =1
	n	n	2		n	3	n
a	0 ∑xi + a1	∑xi		+ a2 ∑xi			= ∑xi yi ;
	i =1	i =1		i =1			i =1
	n	n			n		n
a	0 ∑xi 2 + a1 ∑xi 3 + a2 ∑xi 4 = ∑xi 2 yi .
	i =1	i =1			i =1		i =1

(2.8)

(2.9)

Суммы, входящие в систему (2.9), удобно вычислять, пользуясь схемой табл. 2.2.

										Таблица 2.2.
	Таблица для расчета параметров уравнения (2.9)
Номер	Значение	Значение
опыта	параметра	параметра	xi2		xi3		xi4		xiyi	xi2yi
	xi	yi
1	x1	y1	x12		x13		x14		x1y1	x12 y1
2	x2	y2	x22		x23		x24		x2y2	x22 y2
.	.	.	.		.		.		.	.
.	.	.	.		.		.		.	.
.	.	.	.		.		.		.	.
n	xn	yn	xn2		xn3		xn4		xnyn	xn2yn
	n	n	n		n		n		n	n
∑	∑xi	∑yi	∑xi	2	∑xi	3	∑xi	4	∑xi yi	∑xi 2 yi
	i =1	i =1	i=1		i =1		i=1		i =1	i =1

Решение систем уравнений (2.5), (2.7), (2.9) не представляет трудности, так как число уравнений равно числу неизвестных параметров. Недостатком метода является громоздкость вычислений.

2.1.2. Метод Чебышева.

Если в процессе обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов возникает необходимость повысить степень многочлена, то требуется не только найти еще один коэффициент, но и пересчитать найденные ранее, так как изменяется система уравнений, из которой они определяются. В таком случае легче пользоваться методом Чебышева. Эмпирический многочлен ищется в виде суммы многочленов повышающихся степеней, причем добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов в предыдущих. Прибавляя член за членом, можно видеть, как убывает сумма квадратов отклонений величин, вычисленных по найденной формуле, от экспериментальных значений. При этом методе значительно облегчается выбор степени многочлена.

Пусть для n наблюдений требуется найти многочлен степени m с m+1 неизвестными коэффициентами a0, a1, …,a m, при этом предполагается, что m<n.

Суть метода состоит в том, что эмпирический многочлен ищут не непосредственно в виде суммы степеней x, а в виде комбинаций многочленов, которые выбирают специальным образом. Запишем искомый многочлен в виде

y = a0ϕ0 ( x) + a1ϕ1 ( x) + ... + amϕm ( x),		(2.10)
где ϕ0(x) = 1, ϕ1(x) = x + α1, … ,	ϕm(x) = x + αm,
Вообще ϕ1(x) – многочлен степени l имеет вид
ϕl ( x) = x l + αl	(1) x l −1 + ...	(2.11)

со старшим коэффициентом, равным единице.

Предполагая, что многочлены каким-то образом выбраны, определим наиболее вероятные значения коэффициентов a0, a1, …,a m. Находим способом наименьших квадратов минимум функции (2.1). При этом получим систему уравнений:

	n	n				n	n
a0 ∑[ϕ0 ( xi )]2		+a1 ∑ϕ0 ( xi )ϕi ( xi ) +... + am				∑ϕ0 ( xi )ϕm ( xi ) = ∑yiϕ0 ( xi );
i =1		i =1				i =1	i =1
	n	n	1 ( xi )]	2	+... + am	n	n		(2.12)
a	0 ∑ϕ0 ( xi )ϕ1 ( xi ) +a1 ∑[ϕ					∑ϕ1 ( xi )ϕm ( xi ) = ∑yiϕ1 ( xi );
	i =1	i =1				i =1	i =1
	n	n				n	n
a	0 ∑ϕ0 ( xi )ϕm ( xi ) +a1 ∑ϕ1 ( xi )ϕm ( xi ) +... + am ∑[ϕm ( xi )]2						= ∑yiϕm ( xi ).
	i =1	i =1				i =1	i =1
	Для упрощения системы (2.12)					многочлены ϕ0(x),…,		ϕm(x)	подбира-
ются так, чтобы выполнить условия:
		n
		∑ϕl ( xi )ϕk ( xi ) = 0(l ¹ k );
		i =1
		n
		∑[ϕl ( xi )]2			¹ 0(l + 0,1,..., m).				(2.13)
		i =1
	Это означает, что хотя бы в одной из точек x1, x2, …,							x n многочлен

ϕl(x) не равен нулю. Такие многочлены называются ортогональными многочленами Чебышева. При соблюдении указанных условий в левой части

каждого уравнения (2.12) останется по одному числу, и тогда выражение для определения коэффициентов примет вид:

	n
	∑yiϕl ( xi )			(2.14)
al =	i =1		, l = 0,1,2,..., n.
	n
	∑[ϕl	( xi )]2

i =1

Из условий (2.13), учитывая, что ϕ0(x) = 1 и приняв в них l = 0, k = 1 для многочлена ϕ1(x), получим:

	n
	∑ϕ1 ( xi ) = 0.						(2.15)
	i =1
Так как согласно формуле (2.11) многочлен
	ϕ1(x) = x + α1,
то выражение (2.15) можно записать так:
	n
	∑( xi			+ α1 ) = 0,			(2.16)
откуда	i =1
					n
n					∑xi
∑xi + nα1 = 0	или			α1 = −	i =1	.	(2.17)
i =1					n
В результате
		1	n
ϕ1 ( x) = x −			∑xi .				(2.18)
		n
			i =1

Для построения многочлена ϕ2(x) положим в выражениях (2.13) последовательно l = 0, k = 2 и затем l = 1, k = 2, получим два уравнения:

n
∑ϕ2 ( xi ) = 0;
i =1
n
∑ϕ1 ( xi )ϕ2 ( xi ) = 0.	(2.19)
i =1
ϕ2(x) – многочлен второй степени со старшим членом,	равным единице.
Поэтому его можно записать в виде
ϕ2(x) = (x + β2)ϕ1(x) + γ2ϕ0(x).	(2.20)

Подставив (2.20) в систему (2.19), и учитывая, что ϕ0(x) = 1, получим

n	n
∑xiϕ1 ( xi ) + β2	∑y1 ( xi ) + nγ 2 = 0;
i =1	i =1
n	n	n
∑xi [ϕ1 ( xi )]2 + β2 ∑[ϕ1 ( xi )]2 + γ 2		∑y1 ( xi ) = 0
i =1	i =1	i =1
или учитывая выражение (2.15)
∑xiϕ1 ( xi ) + nγ 2 = 0;
n
i =1
n	n
∑xi [ϕ1 ( xi )]2 + β2 ∑[ϕ1 ( xi )]2 = 0.
i =1	i =1

Решая систему уравнений (2.22), получим:

				n
				∑xi [ϕ1 ( xi )]2
β	2	= −		i =1		;
				n
				∑[ϕ1 ( xi )]2
				i =1
				n
			∑xiϕ1 ( xi )
γ 2		= −	i =1		.
				n

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Вычисляя коэффициенты β2 и γ2, находим и многочлен ϕ2(x) по формуле

(2.20).

При вычислении величин β2 и γ2 по формулам (2.23) надо знать только суммы степеней

∑xiϕ	1 ( xi	) = ∑xi ( xi	+ α1 ) = ∑xi	2 + α1	∑xi ;
n		n	n		n
i =1		i =1	i =1		i =1
n		n		n
∑[ϕ1 ( xi )]2 = ∑( xi + α1 )ϕ1 ( xi ) =				∑xiϕ1 ( xi );			(2.24)
i =1		i =1		i =1
n		n			n	n	n
∑xi [ϕ1 ( xi )]2 = ∑( xi 2 + α1 xi )ϕ1 ( xi ) = ∑xi 3 + α1						∑xi 2 + α1	∑xiϕ1 ( xi ).
i =1		i =1		i =1		i =1	i =1

При выводах системы уравнений (2.24) учитывалось, что ∑ϕ1(x) = 0.

Таким образом, многочлены ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x) найдены. Теперь необходимо по формуле (2.14) установить наиболее вероятные значения коэффициентов a0, a1, …, am. Если многочлен (2.10) уже построен, то есть многочлены

ϕ0(x),…, ϕm(x) и коэффициенты a0, …, am найдены, но точность многочлена нас не удовлетворяет, нужно найти следующий член am+1ϕm+1(x). Для этого по формулам, аналогичным (2.20) и (2.22), строим многочлен ϕm+1(x) и по формуле (2.24) находим коэффициент am+1.

2.1.3.Метод экспоненциального сглаживания.

Вэтом методе акцент ставится на более поздние наблюдения — им придается больший вес. Прогнозируемые оценки определяются по формуле:

y(m+1) = (1-α)*ym+(1-α)α*ym-1+(1-α)α2*ym-2+……(1- α)αk*ym-k

(2.25)

где y(m+1) - это прогноз на следующий за наблюдаемым отрезок вре-

мени;

α- коэффициент сглаживания, 0<а<1;

ym-k - значение исследуемого параметра, наблюдавшееся К периодов назад.

Параметр α обычно выбирается по приближенной формуле:

	α =	2		(2.26)
		m + 1

где m - число наблюдений, входящих в интервал сглаживания (m ≥ 2). Следует заметить, что небольшое изменение а мало сказывается на

результатах прогноза. Обычно его округляют до десятых долей единицы. Преимущество метода экспоненциального сглаживания по сравне-

нию с методом наименьших квадратов - простота. Недостаток - можно прогнозировать лишь на один период вперед. Чтобы спрогнозировать