ЦОС_lek_4

5

Лекция 4. Линейные дискретные системы: описание в z-области

1. Передаточная функция.

2. Рекурсивные звенья 1-го и 2-го порядков.

3. Карта нулей и полюсов.

4. Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения.

5. Разновидности передаточной функции рекурсивной ЛДС.

6. Первый критерий устойчивости ЛДС.

4.1. Передаточная функция. Соотношения вход/выход в z-области

Основной характеристикой ЛДС в z-области является___________________________

, (4.1)

которое называют _____________________________. Это ее математическое определение.

Получим определение ПФ, подобное тому, которое было введено в теории линейных аналоговых цепей.

Запишем соотношение вход/выход в виде __________________________________

. (2.2)

Согласно теореме о свертке, в z-области ей соответствует____________

(4.2)

откуда получаем определение передаточной функции:

. (4.3)

Передаточной функцией ЛДС называется________________________________

Определим, чему равно данное отношение на основании РУ (2.4):

, (2.4)

применив Z-преобразование к левой и правой частям:

.

Приведем подобные слагаемые:

Запишем соотношение вход/выход:

. (4.4)

На основе которого получаем, передаточную функцию общего вида:

. (4.5)

Выводы:

1. Передаточная функция общего вида соответствует ________________ЛДС и имеет вид ___________________________________ функции.

2. Передаточная функция является характеристикой собственно ЛДС, т. к. она зависит только от ______________________

3. При (по умолчанию) порядок рекурсивной ЛДС равен максимальной (по модулю) степени z ______________________

Передаточная функция нерекурсивной ЛДС ( ; ):

(4.6)

имеет порядок _____________

4.2. Рекурсивные звенья 1-го и 2-го порядков

Рекурсивными звеньями 1-го и 2-го порядков называют соответствующие рекурсивные ЛДС с передаточными функциями:

(4.7)

(4.8)

Звено называют базовым, если числитель передаточной функции равен единице:

; (4.9)

. (4.10)

В таблице соответствий имеем соответствие между __________________________

________________________________________________________________________

; (4.11)

. (4.12)

4.3. Карта нулей и полюсов

Нулями передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых _____________________________________

Полюсами передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых ______________________________________

Карта нулей и полюсов — это изображение нулей (кружками) и полюсов (звездочками) на z-плоскости одновременно с единичной окружностью.

Пример 4.1 (самостоятельно, см. пример 3.7)

Определить нули и полюсы передаточной функции звена 2-го порядка:

. (4.13)

Построить карту нулей и полюсов. Записать ИХ с учетом ННУ.

1. Определяются радиус и аргумент комплексно-сопряженных полюсов:

Записываются комплексно сопряженные полюсы:

2. Умножаются на числитель и знаменатель и определяются нули:

3. Если нули — комплексно-сопряженные, определяется их радиус и аргумент:

Нули записываются в показательной форме:

4. Строится карта нулей и полюсов.

5. Записывается ИХ, сначала без учета ННУ, затем — с учетом ННУ:

4.4. Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения

Взаимосвязь передаточной функции и РУ следует из их сравнения:

.

Выводы:

1. Числитель передаточной функции соответствует ____________________

Степень соответствует _________________________

Знак коэффициентов ________________

;

2. Знаменатель передаточной функции соответствует ___________________

Степень соответствует ______________________

Знак коэффициентов ________________________________

;

(левая часть РУ)

Пример 4.2

Записать РУ звеньев 1-го и 2-го порядков по их передаточным функциям:

Пример 4.3

Записать передаточную функцию, соответствующую РУ:

4.5. Разновидности передаточной функции рекурсивной ЛДС

Разновидности представления рекурсивных ЛДС обусловлены различным математическим представлением дробно-рациональной функции (4.5):

:

1. в виде произведения простейших множителей:

,

где — нули и полюсы, в общем случае попарно комплексно сопряженные;

2. в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами:

,

или при :

; (4.14)

. (4.15)

3. в виде суммы простых дробей:

, (4.16)

где — ______________________________

4. в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами:

;

или при :

, (4.17)

. (4.18)

4.6. Первый критерий устойчивости ЛДС

Определим отображение в z-области первого критерия устойчивости (2.7):

. (2.7)

Представим передаточную функцию в виде суммы простых дробей (4.16):

.

Определим ИХ(см. (3.6)):

Подставим ИХ в (2.7):

Изменим порядок суммирования:

Первая сумма — ________________, следовательно, должно выполняться условие:

что возможно, если для полюсов выполняется условие

В общем случае полюса комплексно-сопряженные, поэтому для радиусов полюсов должно выполняться условие:

Первый критерий устойчивости: для того чтобы ЛДС была устойчивой необходимо и достаточно чтобы все полюсы передаточной функции располагались _________