ЦОС_Lek_3
.doc
Лекция 3. Z-преобразование
-
Преобразование Лапласа.
-
Z-преобразование.
-
Основные свойства Z-преобразования.
-
Обратное Z-преобразование.
-
Связь комплексных переменных p и z. Смысл нормированной частоты.
-
Связь комплексных p- и z-плоскостей.
-
Таблица соответствий.
3.1. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа (интеграл):
,
где:
— функция непрерывного времени (оригинал);
— ее изображение по Лапласу (L-изображение);
— оператор Лапласа:
. (3.1)
Преобразование Лапласа справедливо в области абсолютной сходимости интеграла.
В теории линейных аналоговых систем оно позволило ввести фундаментальное понятие _____________________________ в _____________________________ виде.
При переходе имеем дискретное преобразование Лапласа (ряд):
.
3.2. Z-преобразование
Выполнив замену переменных:
, (3.2)
получаем формулу Z-преобразования (ряд):
, (3.3)
где — последовательность (оригинал); — ее z-изображение.
Z-преобразование справедливо (3.3) в области абсолютной сходимости ряда:
,
называемой областью сходимости z-изображения.
3.3. Основные свойства Z-преобразования
-
Линейность: если последовательность равна линейной комбинации последовательностей, то ее z-изображение равно линейной комбинации z-изображений данных последовательностей:
Доказательство
-
Теорема о задержке: z-изображение последовательности, задержанной на отсчетов, равно z-изображению незадержанной последовательности, умноженному на :
,
.
Доказательство:
-
Теорема о свертке: z-изображение свертки последовательностей равно произведению z-изображений сворачиваемых последовательностей:
.
Доказательство:
3.4. Обратное Z-преобразование
Точная формула:
,
где C — замкнутый контур на комплексной z-плоскости, охватывающий начало координат и особые точки (полюсы) дробно-рациональной функции .
Способы вычисления обратного Z-преобразования
-
На основе теоремы Коши о вычетах:
,
где — k-й полюс, а — вычет в k-м полюсе:
.
Пример 3.1
Задано z-изображение . Найти оригинал .
1) отображается относительно положительных степеней z — числитель и знаменатель умножается на _____:
2) определяются полюсы; в данном случае имеем __________ полюс:
3) определяются вычеты: в данном случае имеем __________ вычет:
__________
. (3.4)
-
С помощью разложения на простые дроби.
Дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простых дробей, если, если ___________________________________________
, (3.5)
где — k-й полюс; — ___________________; — константа разложения при k-м полюсе.
На основании свойства _________________Z-преобразования и (3.4) получаем оригинал:
. (3.6)
-
С помощью таблицы соответствий, которая будет получена в разд. 3.6.
3.5. Связь комплексных переменных p и z. Смысл нормированной частоты
Комплексные переменные p и z связаны соотношением (3.2):
;
. (3.7)
Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:
-
алгебраической:
, (3.8)
где ; .
Рис. 3.1. Комплексные p- и z-плоскости
-
показательной:
. (3.9)
Сравнивая с (3.7), имеем:
Нормированная частота (рад) — это ________________________________
3.6. Связь комплексных p- и z-плоскостей
-
Начало координат p-плоскости:
.
Начало координат p-плоскости отображается _________________
Рис. 3.2. Отображение начало координат p-плоскости на z-плоскость
-
Точки p-плоскости :
.
Две точки отображаются в ____________________
Рис. 3.3. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость
-
Отрезок на оси частот p-плоскости :
, .
Отрезок длиной отображается ____________
Рис. 3.4. Отображение отрезка p-плоскости на z-плоскость
-
Ось частот p-плоскости :
, .
Ось частот p-плоскости отображается ____________________________
____________________________________________________________________
Неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость
Множеству точек на p-плоскости (рис. 3.5):
,
на z-плоскости соответствует — __________
Однозначное отображение — внутри коридора , где (один оборот единичной окружности).
Рис. 3.5. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость
-
Коридор в левой p-полуплоскости: , :
, где и .
Коридор в левой p-полуплоскости отображается ____________________
Рис. 3.6. Отображение левой p-полуплоскости на z-плоскость
3.6. Таблица соответствий
Пример 3.3
Найти z-изображение цифрового единичного импульса :
Пример 3.4
Найти z-изображение последовательности и область его сходимости.
Изобразить карту нулей и полюсов.
Область сходимости:
Для определения нулей и полюсов z-изображение выражается относительно положительных степеней z!
.
Нули — это значения z, при которых___________________________________
Полюсы — это значения z, при которых ________________________________
Карта нулей и полюсов — это символическое изображение нулей и полюсов на z-плоскости одновременно с единичной окружностью.
Пример 3.5
Найти z-изображение последовательности и область его сходимости. Изобразить карту нулей и полюсов.
Область сходимости:
Нули и полюсы (числитель и знаменатель умножаем на ):
Карта нулей и полюсов:
.
Таблица соответствий
№ |
Последовательность |
z-изображение |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
Пример 3.6
Найти оригинал по z-изображению . Учесть ННУ.
Изобразить карту нулей и полюсов.
В таблице имеем соответствие:
На основании свойства линейности и теоремы о задержке:
С учетом ННУ:
Нули и полюсы (самостоятельно):
Карта нулей и полюсов (самостоятельно):
Пример 3.7
Найти оригинал по z-изображению . Учесть ННУ.
Изобразить карту нулей и полюсов.
В таблице имеем соответствие:
Определим и :
На основании свойства линейности и теоремы о задержке:
С учетом ННУ:
Полюсы
Нули (умножаем на числитель и знаменатель и находим корни числителя):
.
Получены комплексно сопряженные нули. Определим их модуль и аргумент:
; ;
.
Карта нулей и полюсов: