Metodichka_po_statistike

Для выявления направления и формы связи между изучаемыми признаками определяются средние значения факторного и результативного признака по исследуемым группам предприятий.

Для этого суммарный объем выпуска продукции, и стоимость ОПФ по определенным группам, соотносят с числом предприятий в группе (табл. 2.3).

По групповым средним показателям выносится суждение о тенденции изменения стоимости ОПФ и ее влиянии на объем выпуска продукции.

Таблица 2.3.

Влияние стоимости ОПФ на объем выпуска продукции.

Группы		Число	Суммарный	Средний			Средняя
предприятий		предприятий	объем выпуска	объем			стоимость
по стоимости		в группе, ед.	продукции по	выпуска			ОПФ по
ОПФ, млн. р.			группам,	продукции,			группам,
			млн.р.	млн.р. (	x	)	млн. р. (	y	)
2,9	– 4,9	3	12,1	4,03			3,50
4,9	– 6,9	4	25,5	6,37			5,87
6,9	– 8,9	8	72,6	9,07			8,10
8,9 – 10,9		8	80,9	10,11			9,42
10,9	– 12,9	2	24,5	12,25			11,85
Итого		25	215,6	8,62			7,89

Из аналитической группировки следует, что между факторным ОПФ и результативным (объем) признаками прослеживается функциональная связь, т.е. с увеличением степени оснащенности предприятий ОПФ возрастает выпуск продукции (связь прямая).

На основании группировочных средних данных по ОПФ и объему выпуска продукции построим эмпирическую кривую, характеризующую связь между факторным и результативным признаками.

Анализ рис.1 показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, т.к. точки расположены практически по прямой линии.

Средний объем		продукции,		15
	выпуска		млн.руб.	10
				5
				0

4,03 6,37 9,07 10,11 12,25

средняя стоимость ОПФ по группам, млн.руб.

Рис.1. Зависимость объема выпуска продукции от стоимости основных производственных фондов(ОПФ).

После установления направления и формы связи между признаками приступают к оценке степени тесноты связи.

Теснота связи по линейной зависимости изменяется, как известно, с помощью линейного коэффициента корреляции r. Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

		nå xi yi − å xi å yi
r =			.
		[nå xi2 − (å xi )2 ][nå yi2 − (å yi )2 ]

Для удобства проведения вычислительных операций следует построить вспомогательную таблицу и рассчитать соответствующие значения, входящие в формулу расчета линейного коэффициента корреляции (табл. 2.4).

Таблица 2.4.

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции.

	№	x	y	x2	y2	x y
	предприятия
		i	i	i	i	i i
	1	8,7	12,0	75,69	144,0	104,4
	2	6,0	6,30	36,0	39,69	37,8
	…	…	…	…	…	…
	25	8,9	10,5	79,21	110,25	93,45
	Итого	197,3	215,6	1617,5	2449,5	1963,75

Подставляя числовые значения в формулу, получим величину линейного коэффициента корреляции, по которой высказываем суждение о степени тесноты связи между рассматриваемыми признаками:

25 *1963.75 −197.3* 215.6

r = [25 *1617.5 − (197.3 )2 ]* [25 * 2449.5 − (215.6)2 ] = 0.92.

В данном случае r = 0,92 свидетельствует о весьма тесной связи между ОПФ и объемом выпуска продукции, так как он находится в пределах 0,9-1,0.

Коэффициент детерминации, представляющий собой квадрат коэффициента корреляции r2, показывает долю вариации результативного признака вследствие вариации признака, т.е. ОПФ: r2= 0,84, или 84% изменения объема выпуска продукции на предприятиях объясняется оснащенностью их основными производственными фондами.

На основании решения задания делается общий вывод о направлении и силе связи между двумя анализируемыми признаками.

Задание 3.

Необходимо изучить данную тему и усвоить способы расчёта обобщающих показателей вариационного ряда: показателей центра распределения (средняя арифметическая, мода и медиана) и показателей вариации (размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).

Для выполнения задания вначале необходимо выписать последовательно все значения признака – объем производства продукции.

Далее следует построить ряд распределения по этому же признаку или выполнить группировку.

Для этого необходимо вначале установить число групп и величину интервалов, на которые следует разбить совокупность.

Выполненная группировка дополняется графиками, в которых производятся вспомогательные расчеты для определения искомых показателей (табл. 3.1).

Таблица 3.1.

Распределение предприятий по объему выпуска продукции.

Группы

Число

Середина

Расчетные значения величин для определения

предприятий

соответствую

предприя

искомых показателей

по объему

щего

тий в

производства

интервала

xi

группе f

x ′

x' f

x′ −

(x′ −

)2

(x′ −

)2 f

S

x

x

x

i

3-5

3

4

12

-4,64

21,53

64,59

3

5-7	3	6	18	-2,64	6,97	20,91	6
7-9	6	8	48	-0,64	0,41	2,46	12
9-11	9	10	98	1,36	1,85	16,65	21
11-13	4	12	48	3,36	11,29	45,16	25
Итого	25	-	216	-	-	149,8	-

Расчеты выполняются в следующей последовательности. 1.Определяется длина интервала i :

i = (xmax - xmin)/ (1+3,322 lg n) = (12,4-3)/5,6508 = 2,0.

2.Рассчитываются показатели центра распределения (средняя арифметическая x , медиана Me, и мода Mo). Для расчёта x используются данные табл. 1 – итоговая строка по графе 4:

x = (Σ x' f) / (Σ f) = 216/ 25= 8,64 млн. р.

M	0 = X m0 + I mo	f mo − fmo−1	,
		( fmo − f mo−1 ) + ( fmo − f mo+1 )

где Х mo - нижняя граница мод. интервала;

Imo - величина модального интервала;

fmo - частота модального интервала;

fmo −1 - частота предшествующая модальному интервалу;

fmo+1 - частота следующая за модальным интервалом;

Мода – это вариант с наибольшей частотой → модальный интервал будет 9-11.

Mo = 9+2*(9-6)/((9-6)+(9-4)) =9,75 млн.руб.

Моду можно отразить графически при помощи гистограммы.

Гистограмма распределения предприятий

по объему выпуска продукции

10

8

7

6

5

4

3

1

0																	х
1			4		6		8		10 Мо		12	14

На оси абсцисс выстраивается ряд сомкнутых прямоугольников, основание у которых величина интервала, а высота – частота интервала. Затем вершины прямоугольника с наибольшей высотой соединяются с вершинами рядом стоящих прямоугольников, и из точки их пересечения на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой точке будет Mo.

	å f	+ 1
	2	− Sme −1
Me = xme + ime			,
		fme

xme - нижняя граница медианы,

ime - величина мед. интервала, å f - сумма частот,

Sme −1 - накопленная частота до мед. интервала,

	fme - частота мед. интервала.
	Для того, чтобы определить медиану, необходимо найти её порядковый номер
	N =	å f	, а затем по накопленной частоте определить медиану.
		2
	N = 25 = 12.5 Þ медиана будет в 4 интервале
		2	25 + 1 −12
				= 9.2 .
	Me = 9 + 2 * 2
			9
	Медиана определяется графически при помощи кумуляты:
			Кумулята ряда распределения
			предприятий по объёму выпуска
				прдукции
			30
			25
			20
		S	15
			10
			5
			0
			3	5	7	9	11	13
					X	Me
		По накопленным частотам находим порядковый номер медианы (12,5) и
	проводим линию параллельно оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Далее из
	точки пересечения на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой
	точке будет Me

3. Рассчитываются показатели вариации (ср. линейное отклонение d , дисперсия C2 и коэффициент вариации V).

При расчете показателей вариации по интервальному ряду распределения необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие

расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения. Результаты вспомогательных расчётов для определения

дисперсии σ 2

и среднего квадратичного отклонения σ содержатся в графах 4-8

(табл. 3.1).

Среднее линейное отклонение определяется:

å

x¢ -

f

x

- 4.64 - 8.64

* 3 + .... +

3.36 - 8.64

* 4

d =

=

= 8.64

25

å f

Дисперсия объема выпуска продукции рассчитывается по формуле

средней взвешенной:

C2 = å(x¢ -

x

)2 f

=

149.8

= 12.24.

å f

25

Среднее квадратическое отклонение объема выпуска продукции определяется как корень квадратный из дисперсии:

σ = σ 2 = 3,5 млн. р.

Коэффициент вариации: V = σ ×100% = 3.5 ×100% = 40.5% .

x8,64

Исследуемый	ряд распределения не соответствует нормальному закону
распределения, т.	к.	x	= Me ¹ M o . Поэтому для выявления характера

распределения нужно не только оценить степень однородности совокупности, но и дать оценку его симметричности. Для оценки степени симметрии используют коэффициент симметрии:

As = x − M o = 8,64 − 9.75 = −0,32 .

σ3.5

Полученный результат свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии и поэтому данное распределение нельзя отнести к типу нормального распределения.

Задание 4.

На основании ранее выполненной группировки по ОПФ (задание 2) необходимо проверить правило сложения дисперсий по объему выпуска продукции. Прежде всего необходимо выписать по выделенным группам значения объема выпуска продукции по каждому предприятию совокупности (таблица 4.1).

Таблица 4.1.

Сводка индивидуальных значений объема продукции по группам предприятий

Группы
предприя
тий по	Индивидуальные значения показателя объема производства хi, млн.
ОПФ					руб.
2,9-4,9	4,1	4,7	3,3
4,9-6,9	6,3	5,4	7,3	6,5
6,9-8,9	12,0	8,9	8,0	8,4		9,2	7,7	8,9	9,5
8,9-10,9	10,2	9,5	9,3	10,6		9,5	11,3	10,0	10,5
10,9-12,9	12,1	12,4

Вначале определяется общая дисперсия σ2, отражающая суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию объема выпуска продукции.

Для этого выполняется вспомогательная таблица (таблица 4.2), в которой рассчитываются необходимые значения, используемые для определения дисперсии

Таблица 4.2

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии σ2

	Индивидуальные	Частота	Вспомогательные расчеты величин
	значения признака –	повторения
			для определения дисперсии
	объема производства	индивидуальн
	хi	ых значений f
			xf	x -			(x -		)2	(x -		)2 f
					x			x			x
	3,3	1	3,3	-5,3			28,09			28,09
	4,1	1	4,1	-4,5			20,25			20,25
	…	…	…	…			…			…
	12,4	1	12,4	3,8			14,44			11,44
	Итого	25	215,6	-			-			147,52

Предварительно определяем общую среднюю арифметическую:

x = (Σ x f ) / Σ f = 215,6 / 25 = 8,6 млн.руб.

Затем рассчитываем дисперсию по объему выпуска продукции:

σ2 = ( Σ (x - x )2 f ) / Σ f = 147,52/ 25 = 5,9 Далее найдем среднее квадратическое отклонение:

σ = √5,9 = 2,42 млн. руб.

Для расчета внутригрупповых дисперсий необходимо выполнить соответствующие вычисления средних величин и дисперсии по объему выпуска продукции по каждой группе.

Для этого необходимые расчеты следует выполнить в форме вспомогательной таблицы (таблица 4.3).

Таблица 4.3.

Вспомогательная таблица для расчёта частных внутригрупповых дисперсий.

Индивиду		Расчетные величины					Дисперсия
альное	Частота					Средняя
значение							по
	повторения					арифмети
признака							отдельным
	индивидуальн					ческая
– объем		xi - xi		(xi - xi)2	(xi - xi)2 f		группам
	ых значений f					xi
производ							σi2
ства xi
			1 группа
3,3	1	-0,7		0,49	0,49
4,1	1	0,1		0,01	0,01
4,7	1	0,7		0,49	0,49
Итого	3				0,99	4,03	0,33
			2 группа
5,4	1	-1		1	1
6,3	1	0,1		0,01	0,01
…	…	…		…	…
7,3	1	0,9		0,81	0,81
Итого	4	-		-	1,83	6,4	0,45
			3 группа
…	…	…		…	…	…	…
1	2	3		4	5	6	7
Итого	8	-		-	12,32	9,1	1,54
			4 группа
…	…	…		…	…	…	…
Итого	8	-		-	3,23	10,1	0,4

5 группа

…	…	…	…	…	…	…
Итого	2	-	-	0,45	12,25	0,225

Вычисление средней арифметической и дисперсии по каждой группе производится по формулам:

å xf

и

σ

2

=

å(x -

x

)2

f

x =

å f

å f

с последующей записью расчётных значений

и σ 2

в графах 6 и 7 табл. 4.3.

x

После

определения

частных

внутригруппировок дисперсий

рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

σ i2 =

åσ i2 fi

=

0,33 * 3 + 0,45 * 4 + 1,54 * 8 + 0,4 * 8 + 0,225 * 2

=

18,78

= 0,751 .

å fi

25

25

Далее рассчитывается межгрупповая дисперсия δ 2 :

δ 2 = å(

x

i −

x

)2 fi

= (4,03 - 8,6)2 × 3 + (6,4 - 8,6)2 × 4 + (9,1 - 8,6)2 × 8 + (10,1 - 8,6)2 × 8 + (12,25 - 8,6)2 × 2 = 5,179

å fi

25

Таким образом, суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

С 2 = δ 2 + σ i2 = 0,751 + 5,179 = 5,93

Полученный результат совпадает с результатом исчисления общей дисперсии обычным способом, что дает основание судить о правильности выполнения расчетов.

На основании соотношения межгрупповой и общей дисперсии судят о существенности связи между факторным и результативным признаками, показателем которой является эмпирическое корреляционное отношение η :

	η =	δ 2		=		5,179		= 0,93 .
		σ 2				5,93

Величина 0,93 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.