Методическое пособие по высшей математике

	∞	1
	8. å		.
	n=2	ln n

:

.

	∞	1		1		1
	å		;		>		, n = 2,.... . ,
				ln n		n
	n=2	n
	, .
							∞	(− 1 n−1
	9. å								. ( ,
							n=1	2n − 1

, ).

:

1)

1 >	1	>	1	> ... >		1		> ... .
3		5				2n − 1
		2)		lim		1	= 0 .

n→∞ 2n − 1

, .

	∞	1
	å			, .
		2n − 1
	n=1

. f (x )= 1 . 2x − 1

+∞

dx

t

dx

1

lim ln(2x − 1

t )=

1

lim ln(2t − 1 =) +∞ .

ò

= lim

ò

=

2x − 1

2x − 1

1

t →+∞

1

2 t →+∞

1 2 t →+∞

,

. , ( ).

∞

x n

10. å

.

(n + 1 *)7

n

n=1

:

un =

x n

=

x n+1

; un+1

.

(n + 1 *)7 n

(n + 2 7)n+1

:

un+1

= lim

x n+1 * 7 n (n + 1

=

x

lim

n + 1

=

x

.

lim

un

x n * 7n+1 (n + 2

7

n→+∞

n→∞

) 7 n→∞ n + 2

,

1

x

< 1, − 7 < x < 7

7

.

,

x = −7; x = 7 .

1) x = −7

∞	(− 7 n		∞	(− 1 n
å			= å		.
	(n + 1 *)7	n
n=1			n=1	n + 1

.

	)	1	>	1	> ... >	1		> ...
						n + 1
	2		3

	) lim	1	= 0 .
	n→∞ n +1

, , x = -7

.

2) x = 7 :

∞

7

n

∞

1

1

1

1

å

= å

=

+

+ ... +

+ ...

(n + 1 *)7

n

n + 1

n=1

n=1

n + 1 2

3

, (

). , x = 7

.

- 7 £ x < 7 .

.

0.5

11. 0,001 ò x 2 e− x2 dx

0

.

:

e− x

e x = 1 +					1		x +			1			x 2			+ ...
				1!					2!
x − x 2 .
e− x2		= 1 -					1	x 2 +						1		x 4 - ...
				1!					2!
x 2 ,
x 2 e− x2				= x 2					-		1	x 4				+	1		x 6 -...
									1!								2!
,
0.5	2		− x	2					0.5						2		1				4		1			6	ö	æ		3		x	5			x	7	ö		0,5	1		1			1
									æ																			ç x										÷
ò x		e		dx = òç x												-				x		+			x		- ...÷dx = ç				-				+			-...÷		=		-			+			- ...
																	1!						2!						3			5				2!7					24		160			1792
0									0 è																		ø	è										ø		0

.

, .

0,001,

. ,

	0.5	1			1
	ò x 2 e− x2 dx »		-			= 0,048 .
		24		160
	0

6.

: 1)

;

); 2)

, ; 3)

( ,

); 4)

,

,

; 5) ; 6)

.

.

1. .

0,7; 0,8; 0,9.

, : ) ; )

; ) .

:

: A1 - .

A1 - .

A2 - .

A2 - .

A3 - .

A3 - .

P(A1 )= 0,7; P A2 (= 0,)8; P A3 = 0,9 .

A, A P(A + P(A = 1 .

, P(A1 )= 1 − 0,7 = 0,3; P(A2 ) = 1 − 0,8 = 0,2; P(A3 ) = 1 − 0,9 = 0,1.

) B - .

:

A1 A2 A3 - , .

A1 A2 A3 - , .

A1 A2 A3 - , .

,

B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

– –

P(B )= P A(1 P(A2 )P(A3 )+ P(A1 )P(A2 P(A3 )+ P(A1 )P(A2 )P(A3 =

=0,7 * 0,2 * 0,1 + 0,3 * 0,8 * 0,1 + 0,3 * 0,2 * 0,9 = 0,092 .

) C - .

C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

,

P(C )= P A(1 P )A2 (P(A3 )+ P(A1 P(A2 )P(A3 + P(A1 )P(A2 P) A(3 =

=0,7 * 0,8 * 0,1 + 0,7 * 0,2 * 0,9 + 0,3 * 0,8 * 0,9 = 0,398 .

) D - .

D - . ,

D = A1 A2 A3 . P(D = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,3 * 0,2 * 0,1 = 0,006 .

,

P(D = 1 − P(D = 1 − 0,006 = 0,994 .

2. . :

( ).

:

. ,

" n" ,

P , " k" ( , ),

Pn (k ) = Cn k p k q n−1 ,

n!

Cn k = k!(n − k ! ;) q = 1 − p .

, p = 1 ,

2

, q = 1 . 2

,

, .

, :

2

2

2

4!

æ

1 ö

2 æ

1 ö

2

3

P4 (2 )= C4

p

q

=

* ç

÷

* ç

÷

=

.

2!*2!

2

2

8

è

ø

è

ø

, :

3

3

3

6!

æ

1 ö

3 æ

1 ö

3

5

P6 (3 )= C6

p

q

=

* ç

÷

* ç

÷

=

;

3!*3!

2

2

16

è

ø

è

ø

, P4 (2 )> P6 3(.

3. ,

.

. 60% ,

– 84%. . : ) ,

? ) .

, ?

:

.

A

( ) H1 , H 2 ,..., H n , .

P(A )= P H(

Pæ)A

ö

+ P(H

2

P)

æ A

ö

+ ... + P(H

n

P)

æ

A

ö

,

1

ç

÷

ç

H

÷

ç

÷

è

H1 ø

è

2 ø

è

H n ø

P(H1 )+ P H(2

+ ...) + P H n

= 1.

æ

A

ö

-

A

Pç

÷

è

H i ø

H i

(i = 1, 2, ...n . .

P(H i

æ

A

ö

æ H

ö

P) ç

÷

è

H i ø

Pç

i

÷

=

- .

P(A )

è

A ø

A - ;

.

P(A = ? ( ):

H1 - .

H 2 - .

, , :

P(H1

)=

2

; P(H

2

)=

1

;

3

3

2

1

P(H1

)+ P H(2

= )

+

= 1 . , H1 , H 2 - .

3

3

æ

A

ö

= 0,6

-

,

,

Pç

÷

è

H1 ø

.

æ

A

ö

= 0,84

-

,

,

Pç

÷

è

H 2 ø

.

(n = 2 .

æ

ö

æ

ö

2

1

P(A )= P H(

1

P )A

÷

+ P(H

2

P)

ç

A

÷

=

* 0,6 +

* 0,84

= 0,68 .

ç

H

3

3

è

H1 ø

è

2 ø

, ,

.

						P(H1 P)		æ	A	ö			2	* 0,6
								ç		÷							10
													3
æ H i			ö					è		H1 ø
Pç		A	÷	=			P(A )					=	0,68			=	17		.
è			ø
				4.
X Y .																			1		4
X		-5			2		3		4							Y
P		0,4			0,3		0,1		0,2							P		0,2			0,8

Z = 2 X - 7Y

M (Z D(Z .

:

M (Z )= M 2 X( - 7Y = 2M) X - 7M( Y)

D(Z )= D 2(X - 7Y = 4D) X + 49( D )Y .

,

X Y .

:

M (X = -5 * 0,4 + 2 * 0,3 + 3 * 0,1 + 4 * 0,2 = -0,3 . M (Y = 1* 0,2 + 4 * 0,8 = 3,4 .

,

M (Z )= 2M X ( - 7)M Y = (2 *)- 0,3 - 7 * 3,4 = -24,4 .

X 2 Y 2 .

X 2		25	4	9	16		Y 2	1	16
P		0,4	0,3	0,1	0,2		P	0,2	0,8
M (X 2		= 25 * 0,4 + 4 * 0,3 + 9 * 0,1 +16 * 0,2 = 15,3 .
M (Y 2		= 1* 0,2 +16 * 0,8 = 13 .

:

D(X = M (X 2

- [M (X 2

= 15,3 - (- 0,3 2

= 15,21

D(Y = M (Y 2

- [M (Y 2 = 13,0 - (3,4 2 = 1,44 .

,

D(Z )= 4D X( + 49)

D Y = 4 *15,21 + 49 *1,44 = 131,4 .

5.

X

:

x £ 3,

ì 0

F (x )=

ï1

(x +

3

2

) - 3 < x £ 0,

í

9

ï

x > 0

î

1

x

æ

1

1 ö

: )

ç-

; -

÷ ;

2

è

4 ø

)

x ; )

, x .

:

) ,

x ,

(a; b :

P(a < x < b = )F b -(F )a

,

æ

1

1 ö

æ

1

ö

æ

1

ö

1

æ

1

ö2

1

æ

1

ö2

7

Pç

-

< x < -

÷

=

Fç

-

÷

- Fç

-

÷

=

ç

-

+ 3÷

-

ç

-

+ 3

÷

=

.

2

4

4

2

9

4

9

2

48

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

) x :

f (x )= F ¢ x(.

,

x £ -3,

ì 0

f (x )=

ï2

(x + 3

)

- 3 < x £ 0,

í

9

ï

x > 0

î

0

) M (x ) x :

+∞

M (x )= ò xf x (dx).

−∞

,

0	2		2	0				2	æ		3		3x	2	ö	0
						2
M (x )= òx		(x + 3 dx) =		ò	(x		+ 3x dx =)		ç x			+			÷	= -1 .
	9		9					9	ç	3			2		÷
−3				−3					è						ø	- 3

D(x ) x :

+∞

D(x )= ò x 2 f x dx( -) [M x 2 .] ( )

−∞

+∞			0				2					2 0							2		æ x 4				ö	0	3
	2					2										3	2							3
		(	)					(			)			(					)		ç				÷
ò x f													ò		x		+ 3x dx =						+ x			= .
			x dx = ò x				9			x + 3 dx =									9		ç				÷
−∞					−3							9 −3									è 4				ø	- 3	2
,
D(x )=				3	- (-1 2) =			1	.
			2				2											s (x ) x

s (x )= D x ( .

,

s (x )=	1	=	1			» 0,71 .
	2
			2
	6. . ,

x

0,9 .

, x

s = 0,5 .,

, .

:

x .

P(

x - a

< e = 2F) çæ

e

÷ö,

ès ø

a = M (x ), s =

, F(x ) - .

D x

a = M (x ) = 0; s = 0,5; e = 0,9 .

,

P(

x

< 0,9 = 2F(1,8

= 2 * 0,4641 = 0,9282 .

, 92,8% .

7. x .

M (x ) = 5 ;

D(x ) = 0,64 . ,

x (4; 7 .

:

x ,

P(a < x < b = F)

æ b - a ö

æa - a ö

ç

÷

- Fç

÷ ,

s

s

è

ø

è

ø

a = M (x ),

s =

.

a = 5; s =

= 0,8; a = 4; b = 7 .

D x

0,64

,

æ

7 - 5

ö

æ

4 - 5

ö

P(4 < x < 7 = )Fç

÷ - Fç

÷ = F(2,5 )- F -1,25(

= F) 2,5 +(F 1,25) = 0,4938( )+ 0,3944 =

0,8

0,8

è

ø

è

ø

= 0,8882

2- .

1.. .

2., .

3..

4..

.

5..

6.. .

7.. .

.

.

8.. .

9.. .

.

10.. .

11.. .

12..

13..

14..

15., ,

.

16.. .

17..

18.. .

19..

20.. .

21.n - .

n - .

22..

23.. .

24..

25., .

26..

27.n - .

28..

29.n - .

30..

31.. .

32..

33..

34..

35..

36..

37.. . .

38.. . .

39..

40.2 2l .

41., .

42.. .

43.. .

44.. .

45.. .

46.. .

47..

.

48..

49..

.

50..

, .

, .

52.:

, , , , .

53.. ,

. .

54.. .

55.. . .

56.. . .

57.. .

58..

59.. .

.

60.. .