MOS
.pdfпазон H2:I5, начиная с ячейки H2, содержащей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представлен на рис. 2.1.3, б (в ячейках H2:I5). Замечаем, что результаты ручного и компьютерного вычисления произведения матриц совпали. Заметим, что если формула будет введена не как формула массива, то будет рассчитан только левый верхний элемент результата: –3.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
1 |
A |
|
|
|
B |
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
0 |
|
|
–1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
=МУМНОЖ(A2:C5;E2:F4) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
–2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) формула Microsoft Excel |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
D |
|
|
E |
|
|
F |
|
|
G |
|
|
H |
|
|
I |
|
|
J |
|
|
K |
|
|
L |
|
|
M |
|
|
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
–1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
–3 |
|
–2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
7 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
–2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) результаты расчета
Рис. 2.1.1. Вычисление произведения матриц в Microsoft Excel
Нетрудно доказать, что действие умножения матрицы на матрицу обладает с в о й с т в а м и:
(AB)C = A(BC), α(AB) = (αA)B = A(αB),
(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC, (AB)T = BT AT , AE = EA = A.
Последнее свойство показывает, что единичная матрица E среди всех квадратных матриц данного порядка выполняет такую же роль, как число единица среди чисел. Советуем читателю доказать, что никакая другая матрица в такой роли выступать не может. Указанным обстоятельством мы воспользуемся позже для того, чтобы ввести понятие обратной матрицы.
Произведение матриц, вообще говоря, зависит от п о р я д к а сомножителей: в общем случае
AB ¹ BA .
В отдельных случаях равенство AB = BA может иметь место — тогда матрицы A и B называются перестановочными между собой.
ПРИМЕР 2.1.4. Даны матрицы
41
|
|
2 |
7 |
3 |
1 |
|
|
|
|
6 |
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
|
|
|
3 |
5 |
2 |
2 |
|
, |
|
4 |
. |
||
|
|
9 |
4 |
1 |
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется вычислить матрицы AA T , |
A T A , bb T , |
b T b . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
A = |
|
3 |
5 2 2 |
|
, |
|
|
|
|
AT = |
7 5 |
4 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
||||
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 3 1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
9 |
|
|
63 49 |
|
56 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
AAT = |
3 |
5 2 2 |
|
|
7 |
|
|
5 4 |
|
= |
49 42 |
|
63 |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
4 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
63 |
|
147 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
9 |
|
|
2 |
7 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
94 |
65 |
21 |
71 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
AT A = |
7 5 |
4 |
|
|
3 5 2 |
|
|
2 |
= |
|
65 90 |
35 45 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 35 |
14 14 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 45 |
14 54 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
|
|
|
|
b |
T |
= (6 4 2), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому |
|
6 |
|
|
|
|
36 |
24 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
bb |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
b = (6 4 |
|
|
|
|
|
= 56 . |
||||
|
= |
4 |
(6 4 2) = |
|
24 16 |
|
8 |
, b |
|
2) |
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В примере 2.1.4 матрицы AA T |
|
и A T A имеют разные размеры, точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
но так же различаются размером матрицы bb T |
|
и b T b . В следующем при- |
||||||||||||||||||||||||||||||
мере размеры матриц AB и AB совпадают, однако эти матрицы A и B не |
||||||||||||||||||||||||||||||||
являются перестановочными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ПРИМЕР 2.1.5. Нужно проверить, являются ли перестановочными |
||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
, |
|
B = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данные матрицы не являются перестановочными, поскольку
42
1 |
2 5 |
6 |
19 |
22 |
|
5 |
6 1 |
2 |
23 |
34 |
|
AB = |
|
|
= |
|
; |
BA = |
|
|
= |
|
, |
3 |
4 7 |
8 |
43 |
50 |
|
7 |
8 3 |
4 |
31 |
46 |
|
и AB ¹ BA .
Если A n×n — квадратная матрица n-го порядка, то ее можно умножить саму на себя, и произведение A2 = AA n×n также является квадратной матрицей n-го порядка. Матрицу A2 можно умножить на матрицу A, и тогда получится матрица A3 = A 2 A = AAA n×n того же порядка. Вообще, k-й степенью квадратной матрицы A n×n называется матрица
Ak = AA A n×n .
k раз
По определению считается, что если A ¹ O , то
A 0 = En
(точно так же, как и нулевая степень ненулевого числа равна единице: если a ¹ 0 , то a0 = 1 ).
ПРИМЕР 2.1.6. Вычислить A3 − 2A2 + 2A1 − 4A0 , где матрица A задана в примере 2.1.5.
Решение. Имеем:
A0 = E2 |
1 |
0 |
|
= A = |
1 2 |
|
|
|
|
1 |
2 1 |
2 |
7 10 |
|
|
|||
= |
, A1 |
|
|
, A2 = AA = |
|
|
|
= |
|
, |
||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
3 |
4 3 |
4 |
15 22 |
|
|
||
|
|
7 |
|
10 1 |
2 |
|
37 |
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
||
A3 = A2 A = |
|
|
|
|
= |
|
|
, A3 - 2A2 + 3A1 - 4A0 = |
|
|
||||||||
|
|
15 |
|
22 3 |
4 |
|
81 |
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
37 |
|
54 |
|
7 |
10 |
1 |
2 |
- 4 |
1 |
0 |
= |
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
- 2 |
|
22 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
81 |
|
118 |
|
15 |
|
3 |
4 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
37 |
54 |
|
14 |
|
20 |
|
3 |
|
6 |
4 |
0 |
22 |
40 |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
+ |
|
− |
|
= |
|
. |
|
|
||||
|
81 |
118 |
|
30 |
|
44 |
|
9 |
12 |
0 |
4 |
60 |
82 |
|
|
|
В экономике и управлении матрицы очень важны. Рассмотрим одну из типичных задач — задачу планирования производства.
Предприятие может выпускать n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов. Известна технологическая матрица
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
A = a21 |
a22 |
|
a2n |
, |
|
|
|
|
|
|
am 2 |
|
|
|
am1 |
|
amn |
|
43
затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [элемент aij этой матрицы равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, …, m), которое необходимо затратить в процессе производства единицы продукции j-го вида (j = 1, 2, …, n)]. Каждый из столбцов технологической матрицы описывает некоторую технологию, т. е. процесс превращения ресурсов в конечный продукт.
Известен также вектор
b1 b = b2
bm
имеющихся в распоряжении предприятия объемов ресурсов и вектор c = (c1 c2 cn )
удельной прибыли предприятия (т. е. cj — это прибыль, которую предприятие получает от реализации единицы продукции j-го вида).
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ресурсов (вспомним: пример такой задачи мы рассматривали во введении).
Если обозначить через xj план производства продукции j-го вида, то производственная программа предприятия будет задаваться вектором
x1 |
|
|
|
x |
|
(2.1.12) |
|
x = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
Суммарный расход первого ресурса на производство всей продукции (всех видов), равный
a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn ,
не может быть больше запаса первого ресурса b1:
a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn b1.
Аналогичные требования должны выполняться и для расходов других ресурсов:
a21x1 + a22 x2 +…+ a2n xn b2 ,
|
|
|
|
am1x1 + am 2 x2 +…+ amn xn bm .
44
Прибыль предприятия от реализации всей произведенной продукции равна
c1x1 + c2 x2 +…+ cn xn ,
Цель состоит в том, чтобы подобрать отыскать такой план производства (2.1.12), который обеспечит предприятию наибольшую прибыль:
n |
|
|
z = ∑c j x j → max |
(2.1.13) |
|
j =1 |
|
|
при ограничениях по заданным ресурсам |
|
|
n |
|
|
∑aij x j bi , |
i =1, 2, …, m , |
(2.1.14) |
j =1 |
|
|
где по смыслу задачи |
|
|
x j 0, |
j =1, 2,…, n . |
(2.1.15) |
Задачу (2.1.12)—(2.1.14) удобно записать в матричном виде:
z = cx → max,
Ax b,
x θ.
§ 2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Итак, мы определили вектор как упорядоченную систему чисел и научились складывать векторы и умножать вектор на число. Известно, что аналогичные действия можно выполнять на множестве функций. Для того чтобы с единой точки зрения изучать различные множества объектов, на которых определены операции сложения и умножения на число, вводят понятие линейного пространства.
Множество L элементов
ством, если выполняются следующие условия:
1)имеется правило, которое позволяет построить для каждых двух элементов a и b из L третий элемент из L, называемый суммой элементов a и b и обозначаемый a + b;
2)имеется правило, которое позволяет построить для каждого элемента a из L и любого действительного числа λ элемент a′ из L, называе-
мый произведением элемента a на число λ и обозначаемый λa;
3)существует элемент θ L, называемый нулевым, обладающий свойством (2.1.3), каков бы ни был элемент a; для каждого элемента a из
45
L существует элемент −a L, называемый противоположным и обладающий свойством (2.1.4);
4)правила образования сумм элементов и произведения элементов на число удовлетворяют условиям (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.5)—(2.1.9).
Элементы линейного пространства условимся называть векторами
независимо от их конкретной природы.
Множество всех n-мерных векторов — упорядоченных систем действительных чисел — образует линейное пространство в смысле данного определения. Это линейное пространство называется n-мерным арифме-
тическим линейным пространством и обозначается n .
Множество всех матриц одного и того же размера m × n образует линейное пространство, которое обозначается m×n .
В качестве еще одного примера линейного пространства укажем совокупность всех многочленов степени, не превышающей данного натурального числа n, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
Говорят, что в линейном пространстве L определено скалярное произведение, если имеется правило, которое позволяет каждой паре векторов a и b поставить в соответствие некоторое число, обозначаемое a, b , причем это соответствие обладает свойствами (2.1.11). Линейное
пространство, в котором определено скалярное произведение, называется
евклидовым.
На множестве упорядоченных систем n чисел было определено скалярное произведение по формуле (2.1.10), и мы убедились, что условия (2.1.11) выполнены. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство является евклидовым.
Упомянутые ранее линейные пространства матриц и многочленов также можно превратить в евклидовы, если определить подходящим образом скалярное произведение.
Пусть L — линейное пространство, а S L — некоторое подмножество L.
Подмножество S L линейного пространства L называется подпространством этого линейного пространства, если выполняются два условия:
1) для любых двух элементов a, b S сумма этих элементов a + b также принадлежит S;
2)для любого элемента a S и любого числа λ произведением элемента a на число λ λa также принадлежит S.
Очевидно, у любого линейного пространства L существуют два
подпространства, называемых тривиальными: это само пространство L и нулевое подпространство {θ} , состоящее только из нулевого элемента.
ТЕОРЕМА. Если S — подпространство некоторого линейного пространства L, то S само является линейным пространством.
46
Предлагаем читателю самостоятельно доказать эту теорему.
ТЕОРЕМА. Если S1 , S2 — два подпространства некоторого линейного пространства L, то S1 Ç S2 также является подпространством L.
Доказательство. Если a Î S1 Ç S2 и b Î S1 Ç S2 , то это означает, что
a Î S1 , a Î S2 , b Î S1, b Î S2 , поэтому a + b Î S1 , a + b Î S2 и la ÎS1, la ÎS2
для любого числа l Î , а значит, a + b Î S1 Ç S2 и la Î S1 Ç S2 , откуда и следует, что S1 Ç S2 является подпространством L.
Заметим, что объединение двух подпространств в общем случае уже не будет подпространством.
Говорят, что n-мерный вектор b является линейной комбинацией n- мерных векторов a1, a2 , …, ak , если его можно представить как сумму про-
изведений данных векторов на какие-нибудь числа t1, t2 , …, tk Î :
b = t1a1 + t2a2 +…+ tk ak ,
при этом числа t1 , t2 , …, tk называются коэффициентами линейной комби-
нации.
Система n-мерных векторов
a1, a2 , …, ak |
(2.2.1) |
называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае.
ТЕОРЕМА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. Система векторов (2.2.1) являет-
ся линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют такие числа l1 , l2 , …, lk , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство
l1a1 + l2a2 +…+ lk ak = θ. |
(2.2.2) |
Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (2.2.1)
линейно зависима, и например, вектор ai является линейной комбинацией остальных векторов:
ai = t1a1 + t2a2 +…+ ti−1ai−1 + ti+iai+1 +…+ tk ak .
Пусть l1 = t1 , l2 = t2 , …, li−1 = ti−1, li = -1, li+1 = ti+1 …, lk = tk , тогда li ¹ 0 , при этом
λ1a1 + λ2a2 +…+ λi−1ai−1 + λiai + λi+iai+1 +…+ λk ak =
= t1a1 + t2a2 +…+ ti−1ai−1 − ai + ti+iai+1 +…+ tk ak = ai − ai = θ,
что доказывает необходимость выполнения условий (2.2.2) для линейной зависимости векторов.
47
Достаточность. Пусть выполняются условия (2.2.2), причем хотя бы |
||||||||||
одно из чисел λ1 , λ2 , …, λk не равно нулю. Пусть это будет l j ¹ 0 . Тогда |
||||||||||
a = − |
λ1 |
a − |
λ2 a − …− |
λ j−1 |
a − |
λ j+1 |
a − …− |
λk |
a , |
|
|
λ j |
λ j |
λ j |
|||||||
j |
λ j |
λ j |
2 |
j−1 |
j+1 |
k |
||||
1 |
|
|
|
|
или
ai = t1a1 + t2a2 + …+ ti−1ai−1 + ti+iai+1 + …+ tk ak ,
где
t1 = -l1 / l j , t2 = -l2 / l j , …, t j −1 = -l j−1 / l j , t j +1 = -l j +1 / l j , …, tk = -lk / l j ,
что и доказывает достаточность условий (2.2.2) для линейной зависимости векторов.
Теорему о линейной зависимости можно переформулировать так:
система векторов (2.2.1) является линейно независимой тогда и только
тогда, |
когда |
равенство (2.2.2) возможно только в случае, если |
λ1 = λ2 |
= …= λk |
= 0 . Предлагаем читателю убедиться что обе формулиров- |
ки этой теоремы эквивалентны.
ТЕОРЕМА. Если среди векторов некоторой системы имеется нуль-
вектор, то такая система векторов линейно зависима.
Доказательство. Если среди векторов a1, a2 , …, ak имеется нульвектор, например, ai = θ , то можно положить λi = 1, λ1 = λ2 = …= λi−1 = = λi+1 = …= λk = 0 , и тогда
λ1a1 + λ2a2 + …+ λi−1ai−1 + λiai + λi+iai+1 + …+ λk ak = = 0a1 + 0a2 + …+ 0ai−1 + 1θ + 0ai+1 + …+ 0ak = θ,
значит, система векторов a1, a2 , …, ak является линейно зависимой (по теореме о линейной зависимости).
ТЕОРЕМА. Если некоторая подсистема a1, a2 , …, al системы векторов линейно зависима, то и вся система a1, a2 , …, al , al +1, …, ak линейно за-
висима.
Доказательство. Если подсистема a1, a2 , …, al является линейно зависимой, то
λ1a1 + λ2a2 + …+ λlal = θ ,
где хотя бы одно из чисел λ1, λ2 , …, λl отлично от нуля, значит,
λ1a1 + λ2a2 + …+ λlal + 0al +1 + 0al+2 + …+ 0ak = θ ,
т. е. система векторов a1, a2 , …, al , al +1, …, ak является линейно зависимой (по теореме о линейной зависимости).
Принято называть n-мерные векторы
e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 1) (2.2.3)
48
единичными векторами n-мерного линейного пространства. Нетрудно видеть, что система единичных векторов n-мерного линейного пространства линейно независима.
ТЕОРЕМА. Любой вектор a = (a1 , a2 ,…, an ) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2 , …, en :
a = a1e1 + a2e2 +…+ anen .
Доказательство. Действительно,
a= (a1, a2 ,…, an ) = (a1, 0, 0, …, 0) + (0, a2 , 0, …, 0) +…+ (0, 0, 0, …, an ) =
=a1 (1, 0, 0, …, 0) + a2 (0, 1, 0, …, 0) +…+ an (0, 0, 0, …, 1) = a1e1 + a2e2 +…+ anen ,
что и доказывает теорему. Приведем без доказательства еще три теоремы о линейной зависи-
мости векторов.
ТЕОРЕМА. Пусть n-мерные векторы b1, b2 , …, bm линейно выражаются через векторы a1 , a2 , …, ak . Если m > k, т. е. число линейных комбинаций больше числа данных векторов, то векторы b1, b2 , …, bm линейно зависимы.
ТЕОРЕМА. Если векторы двух конечных систем линейно независимых векторов линейно выражаются друг через друга, то эти системы имеют одинаковое число векторов.
ТЕОРЕМА. Если в системе n-мерных векторов число векторов m больше размерности векторов, т. е. m > n , то такая система векторов
линейно зависима.
Пусть дана система n-мерных векторов .a1, a2 , …, am . и из нее выделена некоторая подсистема векторов ai1 , ai2 , …, air . Условимся называть эту
подсистему базисом данной системы векторов, если векторы подсистемы линейно независимы, а любой вектор исходной системы является линейной комбинацией векторов подсистемы.
Очевидно, что если добавить к базису . ai1 , ai2 , …, air системы векторов a1, a2 , …, am произвольный вектор a j этой системы, то система ai1 , ai2 , …, air , a j будет линейно зависима.
ТЕОРЕМА. Любые два базиса одной и той же системы содержат
одинаковое число векторов.
Эта теорема позволяет ввести новое понятие. Число векторов в произвольном базисе системы векторов называется рангом системы векторов.
До сих пор мы применяли понятия базиса и ранга к системе, состоящей из конечного числа векторов. Теперь распространим эти понятия на системы с бесконечным числом векторов, так как согласно этой теореме базис любой такой системы состоит из конечного числа векторов, не превосходящего их размерности.
49
В частности, можно говорить о базисе и ранге всех n-мерных векторов, т. е. n-мерного линейного пространства. Одним из базисов этого линейного пространства является единичный базис — система единичных векторов e1, e2 , …, en . Так как число векторов в этой системе равно n, то любой базис n-
мерного линейного пространства должен содержать ровно n векторов. Поэто-
му часто говорят: набор любых n линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.
ТЕОРЕМА. Всякий вектор n-мерного линейного пространства можно, и притом единственным образом, разложить по векторам базиса этого линейного пространства.
Доказательство. Пусть a1 , a2 , …, an — какой-нибудь базис, а x —
произвольный вектор n-мерного линейного пространства. Система n + 1
векторов a1, a2 , …, an , x линейно зависима, т. е. l1a1 + l2a2 + + lnan + +ln+1x = θ , где ln+1 ¹ 0 (в противном случае векторы a1 , a2 , …, an были бы
линейно зависимы). Если положить xi = -li / ln+1 , то можно выразить x через a1 , a2 , …, an следующим образом:
x = x1a1 + x2a2 + + xnan ,
что и доказывает теорему.
Коэффициенты x1 , x2 , …, xn разложения вектора x по векторам базиса a1 , a2 , …, an называются координатами вектора x в данном базисе. В силу
единственности линейного выражения вектора через линейно независимые векторы, как было доказано ранее, координаты вектора в данном базисе определяются однозначно. Координаты вектора, определенные при введении понятия вектора, — это коэффициенты разложения данного вектора по единичному базису.
Пусть дана прямоугольная матрица
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
||
a |
|
a |
a |
Î |
m×n . |
|
A = |
|
21 |
22 |
2n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
|||
Можно доказать, что ранг системы строк |
|
|||||
(a11 a12 a1n ), (a21 |
a22 |
a2 n ), …, (am1 am 2 amn ). |
произвольной матрицы A равен рангу системы ее столбцов
a11 |
a12 |
|
a1n |
|||||
a |
|
a |
|
|
a |
|
||
|
21 |
|
, |
|
22 |
|
, …, |
2n . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
|
amn |
50