4.2 Закон парности касательных напряжений. Главные площадки, главные напряжения.

Касательные напряжения связаны между собой определенной зависимостью, которая следует из условий равновесия параллелепипеда (рис. 4.2): Рассмотри первое уравнение равновесия: . Из него следует . Аналогично из уравнений получим , . Таким образом,,.

Эти соотношения носят название закона парности касательных напряжений: касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо к линии пересечения этих площадок, либо от нее.

Таким образом, на гранях выделенного элемента имеем не девять, а только шесть независимых компонентов напряжений: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx.

П

Площадки, на которых нет касательных напряжений, называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями (рис 4.4).

ри изменении ориентации граней выделенного параллелепипеда меняются и напряжения, действующие на его гранях. При этом, как доказывается в теории упругости, можно провести такие три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать.

Рис.4.4

Главные напряжения обозначаются s₁,s₂,s₃, при расстановке индексов следует выполнять соотношениеs₁s₂s₃.

Это неравенство следует понимать в алгебраическом смысле. Пусть одно из главных напряжений равно нулю, другое растягивающее – 40 МПа, третье сжимающее – 140 МПа, тогда ,, .

4.3 Виды напряженного состояния.

В расчетах на прочность деталей машин и элементов конструкций необходимо знать в каждой точке напряженное состояние, которое вполне может быть определено значениями трех главных напряжений в этой точке. В отдельных случаях одно или два главных напряжения могут равняться нулю. Соответственно различают три вида напряженного состояния в точке: объемное, плоское и линейное.

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если все три главных напряжения отличны от нуля (рис. 4.5, а). Такое напряженное состояние возникает, например, в зоне контакта зубьев шестерни или шарика и кольца подшипника.

Напряженное состояниеназывается плоским или двухосным, когда одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 4.5, б). Этот вид напряженного состояния наиболее часто встречается в расчетах на прочность. Такое напряженное состояние возникает при кручении круглых валов, в брусе, работающем на изгиб и т.д.

s₂

s₂

s₁

s₁

s₁

s₃

а)

б)

в)

Рис. 4.5

Напряженноесостояние называется линейным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 4.5, в)

4.4 Линейное (одноосное) напряженное состояние.

Примером линейного напряженного состояния может служить напряженное состояние в брусе при растяжении – сжатии.

Р

ассмотрим брус, нагруженный силойF(рис. 4.6), тогда в плоскости перпендикулярной его оси

, .

Рассмотрим площадку, наклоненную под углом aк поперечному сечению.a>0, если он отсчитывается против часовой стрелки. Обозначим полное напряжение на этой площадке р_a. Для его определения применим метод сечений. Отбросим верхнюю часть и рассмотрим в равновесии нижнюю часть.

a

n_α

,

П

α

роекцией этого напряжения: на нормаль к площадкеn_aбудет нормальное напряжениеσ_α , на саму площадку - касательное напряжениеt_a(рис 4.7).

(4.1)

(4.2)

Определим напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной. В этом случае угол между вектором р_a и s_b , тогда

,(4.3)

. (4.4)

Из выражений (4.1) - (4.3) следует:

- сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная; а максимальные касательные напряжения действуют на площадках, повернутых от главных на угол 45°: . (4.5)