Расчётно-проектировочная работа оформляется по стандарту СТО СГАУ 0208410-004-2007, который предусматривает следующие структурные элементы:

1.титульный лист;

2.задание;

3.реферат;

4.содержание;

5.основная часть;

6.список использованных источников.

Пояснительная записка выполняется на листах писчей бумаги формата А4 без рамки на одной стороне листа с полями: левое – не менее 30 мм, правое – не менее 10 мм, верхнее – не менее 15 мм, нижнее – не менее 20 мм.

Титульный лист служит обложкой и оформляется чертёжным шрифтом по ГОСТ 2.304 на листе формата А4. На обложке записывается номер работы, её название, фамилия студента и номер группы.

Расчётные схемы, эпюры в пояснительной записке вычерчиваются карандашом, расчёты и пояснения пишутся чернилами.

6. ПРИМЕРЫ

Стальной ступенчатый брус (рис. 2) жёстко защемлён одним концом, другой конец бруса до нагружения находится на расстоянии δ от опорной поверхности. Он нагружен силами F1, F2, F4, после чего его температура повышается на Т. Требуется определить реакции опор и построить эпюры N, σ, u при

следующих данных:				F1 = 400 кН, F2 = 300 кН, F4 = 600 кН, d1 = 6 см, d2 = 8см,
d3 = 4 см, δ = 0,1 мм,				T = 20 К, 1 =1,5 м, 2 =1 м, 3 = 0,5 м, E = 2 105 МПа,
α =12,5 10	−6	1	.
		°K

Брус без нижней опорной поверхности

В случае одной верхней опорной поверхности реакция в ней определится из уравнения равновесия:

∑Z = 0 : RA −F1 + F2 −F4 = 0,

RA = F1 − F2 + F4 = 400 −300 +600 = 700 кН.

7

Для определения внутренних усилий разобьём брус на участки, граница-
ми которых являются точки приложения сил или сечения, где изменяются
диаметры (рис. 2).
RA = 700 кН	N, кН	σ, МПа		u, мм
I	700	+	247,6
	+
F1 = 400 кН	300	106,1		1,12
II				+
F2 = 300 кН				1,7
	600		119,4
III
F4 = 600 кН				2,55
IV				2,67
	Рис. 2
Используя метод сечений и уравнение статики ∑Z = 0, найдём значения
внутренних усилий N на каждом участке (рис. 3):

NI = RA = 700 кН, NII = RA − F1				= 700 −400 = 300 кН, NIII = F4 = 600 кН, NIV = 0.
Напряжения в брусе вычислим по формуле σi =								Ni	, где Ni – нормальная
								Ai
сила на участке бруса, A		=	πd 2		–	площадь поперечного сечения бруса,
				i
i				4
i = I, II, III, IV – номера участков.
A = A =				πd	2	π 62
				1 =			= 28, 27 см2 ,
I	II			4		4
A	= πd22				= π 82		= 50, 27 см2 ,
III				4		4
A	= πd32				= π 42		=12,57 см2 .
IV				4		4

8

Определим нормальные напряжения на каждом участке:

σI

=

700 103

= 247, 6 МПа,

28, 27 10−4

σII

=

300 103

=106,1 МПа,

28, 27 10−4

σIII

=

600 103

=119, 4 МПа,

50, 27 10−4

σIV = 0.

Z

RA = 700 кН

700 кН

700 кН

I

F1 = 400 кН

NI = 700 кН

F1 =

400 кН

II

F2 = 300 кН

NII

= 700 – 400 = 300 кН

III

NIII = 600 кН

NIV = 0

IV

F4 = 600 кН

F4

= 600 кН

Рис. 3

Абсолютные деформации на участках бруса вычисляются по формуле

i

=

Ni i

+α ΔT

i . Так как напряжения уже вычислены, то воспользуемся

EAi

формулой

i =

σ

i +α

T

i

σ

i :

i

=

i +α T

E

E

247, 6 106

12,5 10−6

=11,16 10−4 м =1,116 мм,

I

=

+

20

0, 75

11

2 10

106,1 106

+12,5 10−6

= 5,854 10−4 м = 0,585 мм,

II

=

20

0, 75

11

2 10

9

			119, 4 106	+12,5 10−6				= 8, 47 10−4
	III	=			20		1		м = 0,847 мм,
			11
			2 10

IV = 0 +12,5 10−6 20 0,5 =1, 25 10−4 м = 0,125 мм.

Перемещения сечений бруса вычислим по формуле ui = ui−1 + i , где i = 0, I, II, III, IV – номера границ между участками, нулевая граница относит-

ся к заделке верхней опоры, граница IV совпадает с нижним концом бруса. u0 = 0, uI = u 0 +Δ I =1,116 мм,

uII = uI +	II =1,116 +0,585 =1, 701 мм,
uIII = uII +	III =1, 701+0,847 = 2,548 мм,
uIV = uIII +	IV = 2,548 +0,125 = 2, 673 мм.

По вычисленным значениям нормальных сил, нормальных напряжений и перемещений построим соответствующие эпюры (рис. 2).

Марку стали назначим из условия прочности при центральном растяже-

нии, сжатии:		σ		≤	σТ , σ		≥ n		σ		=1,5 247, 6 = 371, 4 МПа.
			наиб		n	Т	Т			наиб
					Т

Этому пределу текучести будет соответствовать сталь 45Г2, у которой

σТ = 400 МПа.

Брус с нижней опорной поверхностью

После приложения нагрузки и изменения температуры брус удлинится и коснётся нижней опорной поверхности. В обеих опорных поверхностях появятся реакции RA и RB (рис. 4).

Составим уравнение статики:

RA − F1 + F2 − F4 + RB = 0,

(1)

из которого следует, что задача статически неопределима, так как для определения двух неизвестных сил имеем лишь одно уравнение.

Составим уравнение совместности деформаций бруса:

						IV
						∑ i N + T = δ,	(2)
						i=I
	где	iN	=	Ni i		− удлинения участков бруса от действия нормальных сил;
				EAi
		= α(				3 ) T − температурное удлинение бруса.
	T		1 + 2 +
	Определим методом сечений нормальные силы на каждом участке бруса:
	NI = RA ,		NII = RA − F1, NIII = RA − F1 + F2 , NIV = RA − F1 + F2 − F4 .

10

Подставим эти значения нормальных сил в уравнение (2):

RA

I + (RA − F1 )

II + (RA − F1 + F2 )

III + (RA − F1 + F2 − F4 )

IV

=

EA

EA

EA

EA

I

II

III

IV

= δ − α

T ( 1 +

2

+ 3 ).

Из этого уравнения следует

E δ−α ΔT (

1 +

2 +

II

III

IV

III

IV

IV

RA =

3 ) + F1

A

+

A

+

A

− F2

A

+

A

+ F4

A

II

+

III

+

IV

III

IV

IV

=

I +

II

III

IV

A

A

A

A

I

II

III

IV

11

(0,1 10

−3

−12,5 10

−6

20 3)

+400 10

7

0, 75

+

1

+

0,5

−

= 2 10

28, 27

50, 27

12,57

−300

107

1

+

0,5

+

600 107

0,5

0, 75

+

0, 75

+

50, 27

12,57

12,57

28, 27 10−4

28, 27 10−4

+

1

+

0,5

= 243,5 кН.

50, 27 10−4

12,57 10−4

NI = 243,5 кН,

NII

= 243,5 −400 = −156,5 кН,

NIII = 243,5 −400 +300 =143,5 кН,

NIV = 243,5 −400 +300 −600 = −456,5 кН.

RA = 243,5 кН

N, кН

σ, МПа

u, мм

I

243,5

86,1

+

+

F1 = 400 кН

156,5

55,4

0,51

II

-

-

F2 = 300 кН

143,5

28,6

0,49

+

+

III

+

456,5

363,2

0,883

F4 = 600 кН

-

-

IV

0,1

RB = 456,5 кН

Рис. 4

11

Вычислим нормальные напряжения на каждом участке:

σI

=

N

I

=

243,5 103

= 86,1 МПа,

28, 27 10−4

AI

σII =

N

II

=

−156, 5 103

= −55, 4 МПа,

28, 27 10−4

AII

σIII =

NIII

=

143,5 103

= 28, 6 МПа,

50, 27 10−4

AIII

σIV =

NIV

=

−456,5 103

= −363, 2 МПа.

12,57 10−4

AIV

Определим абсолютные удлинения участков бруса:

I =

NI I

+α I

T =

243,5 103 0, 75

+

12,5 10

−6

0, 75

20 =

EAI

1011

28, 27 10−4

2

= 5, 0984 10−4 м = 0,51 мм;

II =

NII

II

+α II

T =

−156,5 103 0,75

+12,5 10−6 0, 75 20 =

EAII

2 1011 28, 27 10−4

= −0, 201 10−4 м = −0, 02 мм;

III =

NIII

III

+α

III T =

143,5 103 1

+12,5 10−6

1 20 =

2 1011 50, 27 10−4

EAIII

= 3,927 10−4 м = 0,393 мм;

IV =

NIV

IV

+α

IV T =

−456,5 103 0,5

+12,5 10−6

0,5 20 =

1011 12,57 10−4

EAIV

2

= −7,829 10−4 м = −0, 783 мм.

Определим перемещение нижних границ участков:

u0 = 0;

uI = u0 + I = 0 +0,51 = 0,51 мм;

uII = uI +

II

= 0,51−0, 02 = 0, 49 мм;

uIII = uII

+

III

= 0, 49 +0,393 = 0,883 мм;

uIV = uIII +

IV = 0,883 −0,783 = 0,1 мм.

12