Равенство матриц
Две матрицы А = (aij) и В = (bij) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если aij = bij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы
A= |
a11 |
a12 |
|
и |
|
B= |
b11 |
b12 |
a21 |
a22 |
|
|
b21 |
b22 |
Равны, если
a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22.
Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n), либо квадратные одного и того же порядка n.
Линейные операции над матрицами
Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.
Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством:
aij + bij = cij (I = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).
Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.
Пример 1.
a11 |
a12 |
+ |
b11 |
b12 |
= |
a11+b11 |
a12+b12 |
a21 |
a22 |
b21 |
b22 |
a21+b21 |
a22+b22 |
Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный
А + В = В + А (6)
и сочетательный
(А + В) + С = А + (В + С) (7)
законы сложения.
Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:
kА = k(aij) = (kaij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)
Пример 2.
k |
a11 |
a12 |
= |
ka11 |
ka12 |
a21 |
a22 |
ka21 |
ka22 |
Произведение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка
A= |
a11 |
a12 |
|
и |
|
|
В= |
b11 |
b12 |
a21 |
a22 |
|
|
|
b21 |
b22 |
Произведение обозначается так: A . B = C (или AB = C).
Чтобы найти элемент с11 первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b11 и b21) и полученные произведения сложить: c11 = а11b11 + a12b21;
чтобы найти элемент с12 первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить: с12 = а11b12 + a12b22.
Аналогично находятся элементы с21 и с22.
С = AB = |
a11b11 + a12b21 |
a11b12 +a12b22 |
a21b11 + a21b21 |
a21b12 + a22b22 |
Сформулируем правило умножения двух матриц.
Произведением матрицы А = (аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (bij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (сij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-ой строки (ai1, ai2, … ain) матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца (b1j, b2j, … bnj) матрицы В.
Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.
Пример 3.
a11 |
a12 |
a13 |
b11 |
b12 |
b13 |
a21 |
a22 |
a23 . |
b21 |
b22 |
b23 = |
|
|
|
b31 |
b32 |
b33 |
a11b11 + a12b21 + a13b31 |
a11b12 + a12b22 + a12b32 |
a11b13 + a12b23 + a13b23 |
a21b11 + a2 b21 + a23b31 |
a21b12 + a22b22 + a23b32 |
a21b13 + a22b23 + a23b33 |
|
|
|
Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).
Найти произведение матриц
А= |
1 |
-3 |
2 |
и В= |
2 |
5 |
6 |
3 |
-4 |
1 |
1 |
2 |
5 | ||
2 |
-5 |
3 |
1 |
3 |
2 |
Найдём каждый элемент матрицы-произведения:
c11 = a11b11 + a12b12 + a13b13 = 1.2 + (-3).1 + 2.1 = 1
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1.5 + (-3).2 +2.3 = 5
c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 1.6 + (-3).5 + 2.2 = -5
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 3.2 + (-4).1 + 1.1 = 3
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 3.5 + (-4).2 + 1.3 = 10
c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 3.6 + (-4).5 + 1.2 = 0
c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 2.2 + (-5).1 + 3.1 = 2
c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 2.5 + (-5).2 + 3.3 =9
c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 2.6 + (-5).5 + 3.2 = -7
Cледовательно,
АВ= |
1 |
5 |
-5 |
3 |
10 |
0 | |
2 |
9 |
-7 |
Далее Кристина находит произведение ВА:
ВА= |
2 . 1 + 5 . 3 + 6 . 2 |
2(-3) + 5(-4) + 6(-5) |
2 . 2+ 5 . 1 + 6 . 3 |
|
1 . 1 + 2 . 3 + 5 . 2 |
1(-3) + 2(-4) + 5(-5) |
1 . 2+ 2 . 1 + 5 . 3 |
= | |
1 . 1 + 3 . 3 + 2 . 2 |
1(-3) + 3(-4) + 2(-5) |
1 . 2+ 3 . 1 + 2 . 3 |
|
= |
29 |
-56 |
27 |
17 |
-36 |
19 | |
14 |
-25 |
11 |
Видим, что АВ ≠ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.
Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:
(А + В) . С = А . С + В . С (8)
С . (А + В) = С . А + С . В (9)
А . (В . С) = ( А . В) . С (10)
Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.
Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).
Найти значение матричного многочлена