Нахождение матрицы, обратной данной

Пусть дана невырожденная матрица

	а11	а12	а13
А=	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

	а11	а12	а13
DА =	а21	а22	а23	≠ 0
	а31	а32	а33

Обратной матрицей А^-1 будет матрица

	A11/DА	A21/DА	A31/DА
A^-1 =	A12/DА	A22/DА	A32/DА	,		( 13 )
	A13/DА	A23/DА	A33/DА

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij определителя D_A.

Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А^-1. Например, элементы с₁₁ и с₂₃ определяются так:

···

···=

В итоге

	а11	а12	а13	A11/DА	A21/DА	A31/DА		1	0	0
С=AA^-1=	а21	а22	а23	A12/DА	A22/DА	A32/DА	=	0	1	0	=E
	а31	а32	а33	A13/DА	A23/DА	A33/DА		0	0	1

Матрица

	A11	A21	A31
A^~ =	A12	A22	A32			( 14 )
	A13	A23	A33

называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение А^~). Обратная матрица А^-1 через присоединённую А^~ выражается так:

A^-1 =	1	A^~	( 15 )
	DA

Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:

1. Находим определитель матрицы А.

2. Находим алгебраическое дополнение всех элементов а_ij матрицы и записываем новую матрицу.

3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).

4. Умножаем полученную матрицу на 1/D_A.

Пример 6. (Алёна Иванова, КШ-061).

Дана матрица

	2	5	7
A =	6	3	4
	5	-2	-3

Найти обратную матрицу.

1. Вычисляем определитель матрицы А:

	2	5	7		2	5	7
DA =	6	3	4	=	0	-12	-17	=	2(492 - 493) = -2
	5	-2	-3		0	-29	-41

Так как D_A ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А^-1.

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

A11=	3	4	= -1,	A21= -	5	7	= 1,	A31=	5	7	= -1,
	-2	-3			-2	-3			3	4

A12= -	6	4	= 38,	A22=	2	7	= -41,	A32= -	2	7	= 34,
	5	-3			5	-3			6	4

A13=	6	3	= -27,	A23=-	2	5	= 29,	A33=	2	5	= -24.
	5	-2			5	-2			6	3

следовательно,

	-1	1	-1		1/2	-1/2	1/2
A = -1/2	38	-41	34	=	-19	41/2	-17
	-27	29	-24		27/2	-29/2	12