Вероятность 10

104

ЛЕКЦИЯ 10

Нормальное распределение. Функция нормального распределения. Функция Лапласа. Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм. Распределения, связанные с нормальным: распределения Стьюдента, Пирса и Фишера. Характеристическая функция нормального распределения.

8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

8.1. Функция нормального распределения

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение, объясняется тем, что суммы случайных величин с ростом числа слагаемых при довольно широких предположениях ведут себя асимптотически нормально (см. тему "Центральная предельная теорема").

Плотность функции нормального распределения имеет вид

. (8.1)

Функция нормального распределения имеет вид

. (8.2)

Однако часто вместо функции нормального распределения используется функция Лапласа.

Пусть a=0, =1, то получим

. (8.3)

Такая функция называется стандартным нормальным распределением. Запишем данную функцию в следующем виде

.

Поскольку F₀(+)=1, то в силу симметрии первое слагаемое равно 0,5, а второе слагаемое есть функция Лапласа

. (8.4)

Таким образом,

.

Отсюда получаем равенство

, (8.5)

связывающее функцию нормального распределения и функцию Лапласа.

Для стандартного нормального распределения и функции Лапласа существуют обширные таблицы. Однако здесь нужно иметь в виду, что иногда вместо рассмотренных функций используют функции

. (8.6)

или интеграл ошибок

. (8.7)

Замечание. Открытие нормального распределения связано с именами К. Гаусса и П. Лапласа, у которых оно впервые появилось связи с исследованием по теории ошибок и методу наименьших квадратов. Поэтому нормальное распределение называют еще распределением Лапласа-Гаусса, или просто распределением Гаусса или Лапласа.

Найдем математическое ожидание нормального распределения:

.

Вычислим дисперсию:

.

Таким образом,

M[X] = a, D[X] = ²,

т.е. нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: a, имеющему смысл математического ожидания, и , имеющему смысл среднего квадратичного отклонения.

Рис. 8.1

График плотности функции нормального распределения имеет следующий вид (кривая Гаусса). Максимум будет при x=a, точки перегиба в точках a– и a+. Кривая симметрична относительно прямой x=a. С уменьшением  кривая становится все более островершинной.

8.2. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (,), имеет вид

.

В случае нормального распределения эта формула примет следующий вид

. (8.8)

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |X–a|<. Заметим, что неравенство равносильным ему двойным неравенством a–<X<a+. Тогда

.

Таким образом,

. (8.9)

В частности, если , то

P(|X–a|<) = 2(1) = 0,6827;

если 2, то

P(|X–a|<2) = 2(2) = 0,9545;

если , то

P(|X–a|<3) = 2(3) = 0,9973.

Последнее равенство показывает, что во многих практических вопросах при рассмотрении нормального распределения можно пренебречь возможностью отклонения случайной величины от a больше, чем 3 Это есть т.н. правило "трех сигм".

Например, каждому кто занимался измерениями, встречался с ситуацией, когда появляется "дикое значение". В связи с этим возникает проблема: исключать это значение или его следует оставить. Так, при разработке норматива времени для изготовления одной детали проделали следующие измерения: 5,0; 4,8; 5,2; 5,3; 5,0; 6,1. Последнее число сильно отличается от других. В связи с этим возникает вопрос, не скрыта ли здесь ошибка в измерениях. Вычислим среднее значение и среднее квадратичное отклонение =0,46. После этого построим "трехсигмовый" интервал: (4,84; 6,61). Поскольку значение x=6,1 не выходит за пределы трехсигмовой зоны, то его нельзя считать "диким".

Другой пример. На конвейере изготовляются детали. На основании статистических данных контроля деталей вычисляют среднее квадратичное отклонение . Затем строят прямую средней линии, окаймленную трехсигмовой полосой. Если точки контрольных измерений находятся внутри трехсигмовой полосы, то технологический процесс следует считать стабильным и качество продукции высоким. Если точки близки к контрольным линиям, но не выходят за пределы трехсигмовой зоны, то это указывает на разладку технологического процесса. Если же точки выходят за пределы трехсигмовой зоны, то это означает, что идет брак.

Пример 8.1. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика X от проектного по абсолютной величине не превышает 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратичным отклонением 0,4 мм, определить, сколько процентов годных шариков изготовляет автомат.

Решение. Поскольку =0,4 мм и =0,7 мм, то

Следовательно, автомат изготовляет 92% годных деталей.

8.3. Распределения, связанные с нормальным

8.3.1. Распределение Пирсона (²-распределение)

Пусть независимые случайные величины U₁, U₂, …, U_k описываются стандартным нормальным распределением: U_i=N(0,1). Тогда распределение суммы квадратов этих величин

(8.10)

называется распределением ² ("хи-квадрат") с k степенями свободы. В явном виде плотность функции этого распределения имеет вид

(8.11)

где – гамма-функция; в частности, (n+1)=n!.

Рис. 8.2

Распределение Пирсона определяется одним параметром – числом степеней свободы k. Графики этой функции изображены на рис. 8.2. Числовые характеристики распределения Пирсона:

Если случайные величины ²(k₁) и ²(k₂) независимы, то

.

Отметим, что с увеличением числа степеней свободы распределение Пирсона постепенно приближается к нормальному.

8.3.2. Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть U –стандартная нормально распределенная случайная величины, U=N(0,1), а ² – случайная величина, имеющая ²-распределение с k степенями свободы, причем U и ² независимые величины. Тогда распределение величины

(8.12)

называется распределением Стьюдента (t-распределением) с k степенями свободы. В явном виде плотность функции распределения Стьюдента имеет вид

Рис. 8.3

(8.13)

График этой функции изображен на рис. 8.3.

Числовые характеристики распределения Стьюдента:

Отметим, что с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

8.3.3. Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть ²(k₁) и ²(k₂) – независимые случайные величины, имеющие ²-распределение соответственно с k₁ и k₂ степенями свободы. Распределение величины

(8.14)

называется распределением Фишера (F-распределением) со степенями свободы k₁ и k₂. В явном виде плотность распределения Фишера имеет вид

(8.15)

График этой функции изображен на рис. 8.4.

Числовые характеристики распределения Фишера:

О

Рис. 8.4

тметим, что между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределение Пирсона, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения:

8.4*. Характеристическая функция нормального распределения

Пусть случайная величина  распределена по стандартному нормальному распределению. Тогда для характеристической функции получим

.

Делая замену y=x–it, получим

.

Из теории функций комплексной переменной известно, что

.

Поэтому окончательно получаем .

Как мы видели, если случайная величина  распределена по стандартному нормальному закону, то случайная величина =t+m распределена но нормальному закону с параметрами m и . Тогда характеристические функции f_(t) и f_(t) связаны по свойству 2 соотношением

,

или, окончательно получаем, что характеристическая функция для нормального распределения имеет вид

. (8.16)