Лекция 3
Алгебра случайных событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий и булева алгебра. Аксиоматическое определение вероятности.
2. Алгебра случайных событий
2.1. Пространство элементарных событий
В этой лекции мы изложим теоретико-множественный подход к основным понятиям теории вероятностей. Пусть проводится некоторый эксперимент со случайным исходом. Результатом эксперимента всегда является один и только один исход из полной группы несовместных событий. Каждый такой исход называют элементарным событием (или элементарным исходом) и обозначают буквой . Совокупность всех элементарных событий, которые могут появится в эксперименте, называют пространством элементарных событий и обозначают буквой .
В теоретико-множественной трактовке любое событие А представляет собой некоторое подмножество А={} пространства элементарных событий . Событие А происходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет подмножеству А элементарное событие , представляющее исход данного опыта. Таким образом, событие А есть подмножество множества , состоящее из элементарных исходов , которые благоприятствуют событию А. Поэтому, в дальнейшем, не будем делать различий между событием А и соответствующим подмножеством А.
Среди событий, являющихся подмножеством множества , можно рассмотреть и само множество ; оно называется достоверным событием. Ко всему пространству еще добавляется пустое множество ; это множество тоже рассматривается как событие и называется невозможным событием.
Для математической формализации модели случайного эксперимента требуется в первую очередь построить пространство элементарных событий . Однако поскольку понятие «элементарный исход» строго не определено, то задача построения пространства элементарных событий допускает несколько решений. На практике построение такого множества осуществляется из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента однозначно описывались на основе построенного множества.
Пример 2.1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании один раз игральной кости. Обозначим через X число выпавших очков. Построить пространство элементарных событий и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={X кратно3}, B={X – нечетно}, C={X < 7}, D={X > 7}.
Решение. Очевидно, что за элементарные события здесь лучше всего взять события: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, которые образуют полную группу несовместных событий. При помощи этих элементарных событий можно легко описать все перечисленные в задаче события:
A={3;6}, B={1;3;5}, C=, D=.
Отметим, что при решении вероятностных задач построение пространства элементарных событий играет большую роль. Если это пространство построено удачно, то решение задач может значительно упроститься; в противном случае она может представлять значительные трудности или даже вообще не будет найдено. Так, в рассматриваемой задаче за элементарные события можно было бы взять события: 1={X – четные}, 2={X – нечетные}, которые также образуют полную группу несовместных событий, т.е. пространство элементарных событий. Однако тогда перечисленные в задаче события невозможно было бы описать.