ЭПЮР 1,2,3

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Начертательная геометрия Эпюр 1, 2, 3

Методические указания к самостоятельной работе для студентов технических специальностей всех форм обучения

Красноярск 2011

УДК 621.882 (075)

Рецензенты к.т.н., доцент Д. В. СОРОКИН

(Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева); д.т.н., профессор А. Г. ЕРМОЛОВИЧ

(Сибирский государственный технологический университет)

Печатается по решению методической комиссии ИКТ

Начертательная геометрия. Эпюр 1, 2, 3 : метод. указания к самостоят. работе / сост. : О. В. Бразговка, О. П. Микова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. – Красноярск, 2011. – 52 с.

© Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Вчисло дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Предметом начертательной геометрии является применение способов построения изображений трехмерных фигур на плоскости. Одной из основных задач начертательной геометрии является разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, по их плоскостным изображениям графическим путем.

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры, представляющие совокупность точек, линий и поверхностей, изучаются по их проекционным изображениям.

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемым предметам. Начертательная геометрия является лучшим средством развития у человека пространственного мышления, а также составляет теоретическую базу для построения чертежа.

Методические указания имеют целью дать достаточный и разнообразный материал для выполнения самостоятельной работы студентов по начертательной геометрии – эпюров 1, 2, 3.

Вцелях правильного решения задач, перед каждой главой указаний даны теоретические сведения, методические указания и подробные решения типовых задач, а в приложения приведены примеры выполнения самостоятельных графических работ. Также сделана попытка графически представить материал в таком виде, чтобы он мог содействовать развитию у студентов пространственных представлений. С этой целью широко использованы аксонометрические изображения и трехмерные модели условий задач и их решений, дополняющие чертеж в ортогональных проекциях. Раскрывая с достаточной наглядностью содержание задачи, наглядные изображения содействуют пониманию эпюра и правильному и осмысленному решению задач в проекциях.

Студенты выполняют самостоятельные графические работы в соответствии с требованиями, приведенными в общих указаниях к решению задач, в сроки, указанные в «Рабочем плане проведения расчетнографических работ и курсового проектирования».

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТ

1.Каждую задачу необходимо решить сначала мысленно «в пространстве»: по эпюру студент должен представить себе форму и расположение заданных геометрических элементов.

2.Составить алгоритм решения задачи, при помощи которого находятся искомые элементы.

3.Вычертить рамку и основную надпись по ГОСТ 2.104-68 на соответствующем формате.

4.Написать условие задачи чертежным шрифтом 5 по ГОСТ 2.304-81.

5.Вычертить по координатам графическое условие задачи, соблюдая типы линий:

∙сплошная толстая основная (толщина s≈1 мм) – для заданных и искомых линий, видимых контуров фигур и видимых линий пересечения;

∙штриховая (толщина линии ≈ 0,5 мм) – для линий невидимого контура и невидимых линий пересечения;

∙сплошная тонкая (толщина линии ≈ 0,5 мм) – для осей проекция, линий связи, дополнительных построений, проекций точек;

∙штрихпунктирная тонкая (толщина линии ≈ 0,5 мм) – для осевых и центровых линий.

6.По составленному алгоритму перейти к графическому решению задачи в проекциях.

7.Проверить правильность решения задачи по этапам алгоритма, применяя теоремы и правила начертательной геометрии.

8.Оформить эпюр, соблюдая типы линий, следующим образом:

∙заданные элементы, дополнительные построения – простым карандашом;

∙на линиях связи стрелками показать порядок построения проекций точек;

∙искомые элементы – красным цветом;

∙проекции точек, линий – шрифтом 5.

9.Заполнить основную надпись (см. пример в приложении).

1. ЭПЮР 1

Эпюр 1 состоит из двух задач. Задачи данного эпюра решаются без методов преобразования чертежа, применяя основные правила и теоремы начертательной геометрии.

Ниже приведены теоретические сведения, алгоритмы построения и пространственные модели для решения первой и второй задач эпюра 1.

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек или совпадают. Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны между собой

(рис. 1, а).

Пересекающиеся прямые – прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых (рис. 1, б).

Скрещивающиеся прямые – лежат в параллельных плоскостях, не пересекаются и не параллельны между собой. Хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пресечения не лежат на одной линии связи (рис. 1, в).

a"

Ê"

n"

1"Ù(2")

b"

3"

m"

4"

x

x

x

x

a'

n'

2'

Ê'

1'

b'

m'

3'Ù(4')

а

б

в

Рис. 1

Взаимное положение двух плоскостей

Плоскости в пространстве могут быть параллельными и пересекающимися.

Для параллельных плоскостей справедливо следующее определение: две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости

(рис. 2).

	a"	b"	n"		B"		m"
							n"
1"		m"				1"
		A"		A"	C"
					3"		2"
	2"
x			x	x			x
				A'
	2'	A'			3'		2'
					C'
1'	b'	m'	n'		B'	1'	n'
	a'						m'
		а			б

Рис. 2

Пересекающиеся плоскости в пространстве пересекаются по прямой линии, для нахождения которой достаточно построить две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей. Построение линии пересечения плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью приведено на рис. 3, а, с фронтально проецирующей плоскостью – на рис. 3, б.

	n"
	A"
m"	N"
	M"
x	x
	M'
m'	N'
	n'

а б

Рис. 3

Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая относительно плоскости может занимать различные положения: принадлежать плоскости, быть ей параллельной, пересекать плоскость.

Прямая принадлежит плоскости, если:

∙она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости

(рис. 4, а);

∙она проходит через одну точку, принадлежащую данной плоско-

сти, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости

(рис. 4, б).

а

б

Рис. 4

Прямые особого положения в плоскости – линии уровня (горизон-

таль, фронталь) и линии наибольшего наклона к плоскостям проекции. Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и па-

раллельные горизонтальной плоскости проекции (рис. 5, а).

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные фронтальной плоскости проекции (рис. 5, б).

а

б

Рис. 5

Прямая параллельна плоскости, если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости. На рис. 6, а прямая m параллельна стороне треугольника АВ, на рис. 6, б прямая m параллельна отрезку АВ, построенному в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми a и b.

а

б

Рис. 6

Прямая пересекает плоскость в точке, если она не параллельна этой плоскости (рис. 7, а). Для построения точки пересечения прямой m с плоскостью треугольника АВС необходимо выполнить следующие этапы:

∙через прямую m провести проецирующую плоскость α;

∙построить линию MN пересечения плоскости треугольника АВС и построенной плоскости α;

∙построить точку К пересечения заданной прямой m и построенной линии MN;

∙определить видимость прямой m относительно плоскости треугольника АВС (рис. 7, б).

а

б

Рис. 7

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости (рис. 8, а). Для построения перпендикуляра n к плоскости α, исходя из свойства проекций плоских углов, необходимо провести в заданной плоскости горизонталь и фронталь в качестве двух пересекающихся прямых (рис. 8, б).

а

б

Рис. 8

Определение натуральной величины отрезка общего положения

Отрезок общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением. При этом ортогональная проекция отрезка всегда будет меньше его действительной величины (рис. 9, а).

Для графического определения на эпюре натуральной величины (НВ) отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один катет проекцию отрезка, а за другой катет – разность удаления концов отрезка от соответствующей плоскости проекции (рис. 9, б).

а

б

Рис. 9

Если необходимо на прямой общего положения m (рис. 10, а) от заданной точки К отложить отрезок определенной длины требуется выполнить следующие построения:

∙на прямой m задать произвольную точку M;

∙найти НВ отрезка КМ;